Integralrechnung. Mathematik-Repetitorium
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- Andrea Flater
- vor 9 Jahren
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1 Integralrechnung 6.1 Geometrische Interpretation 6.2 Grundaufgabe 6.3 Basisintegrale, Regeln 6.4 Produktregel: Partielle Integration 6.5 Quotienten 6.6 Variablensubstitution 6.7 Integration von Potenzreihen 6.8 Numerische Verfahren 6.9 Anwendungsbeispiele Integralrechnung 1
2 6. Integralrechnung Einführung Ableitung: lokale Eigenschaft einer Funktion Fragen: Integral: globale Eigenschaft einer Funktion: Flächenproblem Integralrechnung 2
3 6. Integralrechnung 6.1 Geometrische Interpretation vorgegeben: stetig, positiv in Flächeninhalt:, Beh.: Integralrechnung 3
4 6. Integralrechnung Geometrische Interpretation Beweis: Minimum in Maximum in Grenzwert Bezeichnung: (bestimmtes) Integral Integralrechnung 4
5 6. Integralrechnung Geometrische Interpretation Differenzieren (Tangentensteigung) ~ Integrieren (Flächenbestimmung) Ergänzung 1: n Teilintervalle Integralrechnung 5
6 6. Integralrechnung Geometrische Interpretation Ergänzung 2: nicht positiv 2 Aspekte Integralrechnung 6
7 6. Integralrechnung 6.2 Grundaufgabe gegeben: gesucht: Überlegung: Aus einer Stammfunktion zu erhält man alle in der Form mit beliebiger Konstante Bezeichnung: unbestimmtes Integral, äquivalent zu Stammfunktion Integralrechnung 7
8 6. Integralrechnung Grundaufgabe Folgerung: ; Ergänzung: in an den Sprungstellen unstetig: Integralrechnung 8
9 6. Integralrechnung Grundaufgabe Beispiel 6.1: Beispiel 6.2: Integralrechnung 9
10 6. Integralrechnung Grundaufgabe Hinweis: d.h. jede bekannte Differentiationsformel liefert eine Integrationsformel! z.b.: Problem: Ableitung stets leicht zu ermitteln Stammfunktion (selbst elementarer Funktionen) oft nicht angebbar z.b.: nützlich: Arsenal an Basisintegralen elementare Integrationsregeln Integralrechnung 10
11 6. Integralrechnung 6.3 Basisintegrale, Regeln Integrationsvariable (bel.) Integrand eine Stammfunktion Umkehrung: Integralrechnung 11
12 6. Integralrechnung Basisintegrale, Regeln Grundintegrale (1): A) z.b.: B) Integralrechnung 12
13 6. Integralrechnung Basisintegrale, Regeln Grundintegrale (2): C) D) E) Vorsicht: Integralrechnung 13
14 6. Integralrechnung Basisintegrale, Regeln Grundintegrale (3): F) G) H) I ) Integralrechnung 14
15 6. Integralrechnung Basisintegrale, Regeln Grundregeln: Integralrechnung 15
16 6. Integralrechnung Basisintegrale, Regeln Beispiel 6.3: A) B) Integralrechnung 16
17 6. Integralrechnung 6.4 Produktregel: Partielle Integration Beispiel 6.4: A) B) 1 Integralrechnung 17
18 6. Integralrechnung 6.5 Quotienten? allgemein schwierig Spezialfall: Beispiel: Integralrechnung 18
19 6. Integralrechnung Quotienten Rationale Funktionen: Partialbruchentwicklung Integralrechnung 19
20 6. Integralrechnung 6.6 Variablensubstitution Kettenregel: Also gilt: Mit geeigneten Definitionsintervallen von,, Integralrechnung 20
21 6. Integralrechnung Variablensubstitution Beispiel 6.5: A) B) C) mit Substitution: Integralrechnung 21
22 6. Integralrechnung 6.7 Integration von Potenzreihen r : Konvergenzradius Beispiel 6.6: Integralrechnung 22
23 6. Integralrechnung 6.8 Numerische Verfahren Sehnenformel Integralrechnung 23
24 6. Integralrechnung 6.9 Anwendungsbeispiele Anwendung 1: gesucht wird die Fläche zwischen und im Intervall. Integralrechnung 24
25 6. Integralrechnung Anwendungsbeispiele Anwendung 2: Bewegung mit konstanter Beschleunigung Integralrechnung 25
26 6. Integralrechnung Anwendungsbeispiele Anwendung 3: Länge einer Kurve Pythagoras Δx Δy Grenzübergang: Integralrechnung 26
27 6. Integralrechnung Anwendungsbeispiele z.b.: Kreisgleichung: Integralrechnung 27
28 Aufgaben im Tutorium Buch: A 6.1: 2), 5), 6), 8), 10), 11), 12), 15) A 6.2: 1), 4) A 6.3: 5) A 6.4: 1), 3), 4) A 6.6 A 6.7: 1) Integralrechnung 28
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