Analysis für Ingenieure

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1 Analysis für Ingenieure von Prof. Dr.-Ing. W. Leupold, R. Conrad, Dr. S. Völkel, Dr. G. Große, Prof. R. Fucke, Dr. H. Nickel, H. Mende 19. Auflage Mit 400 Bildern, 771 Aufgaben mit Lösungen und einer Integraltafel & FACHBUCHVERLAG LEIPZIG *

2 *- Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe der Analysis 1. Funktionen 15 : 1.1. Grundbegriffe der Mengenlehre Der Begriff der Menge Mengenrelationen Mengenoperationen Zahlenmengen und lineare Punktmengen Ebene und räumliche Punktmengen Die Abbildung Der Begriff der Abbildung Die inverse Abbildung Eindeutige und eineindeutige Abbildungen 25 Aufgaben 1 bis Die Funktion Der Funktionsbegriff Arten der Darstellung reeller Funktionen Formen der analytischen Darstellung reeller Funktionen Funktionen aus Naturwissenschaft und Technik und ihre graphische Darstellung Einteilung der reellen Funktionen Elementare Eigenschaften reeller Funktionen Die Umkehrfunktion Periodische Funktionen Die NswTONsche Interpolation 61 Aufgaben 13 bis Folgen und Reihen; Grenzwert Folgen Der Begriff der Folge Arithmetische und geometrische Folgen Anwendungen der geometrischen Folge 88 Aufgaben 43 bis Konvergenz, Divergenz einer Folge; Grenzwert Nullfolgen Der Grenzwert einer Zahlenfolge 98

3 8 Inhaltsverzeichnis Die Zahle Das Rechnen mit Grenzwerten Die unendliche geometrische Reihe 108 Aufgaben 83 bis Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x = a Die Stetigkeit einer Funktion Grenzwert des Funktionswertes für a: -> ± oo 124 Aufgaben 103 bis Grundlagen der Differential- und Integralrechnung 3. Einführung in die Differentialrechnung Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 129 Aufgaben 109 bis Die Ableitung der Potenzfunktion Grundregeln der Differentiation Vorbetrachtung Die Ableitung einer konstanten Funktion Die Ableitung einer Funktion mit konstantem Faktor Die Ableitung der Summe mehrerer Funktionen Die Ableitung des Produktes mehrerer Funktionen Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen Die Ableitung der Umkehrfunktion Ermittlung der Ableitung einer ganzrationalen Funktion an einer Stelle x 0 mittels des HoBNERschen Schemas 148 Aufgaben 112 bis Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Die Ableitung der Funktion y = sina; Die Ableitung der Funktion y = cos x Die Ableitungen der Funktionen y = tan x und y = cot x Das Differential; der Differentialquotient 155 Aufgaben 149 bis Die Ableitung der mittelbaren Funktion. Die Ableitung einer Funktion in impliziter Darstellung Die Ableitung der logarithmischen und der Exponentialfunktion Die Ableitung der logarithmischen Funktion Die Ableitung der Exponentialfunktion Differentiation nach Logarithmieren Höhere Ableitungen 170 Aufgaben 161 bis Graphische Differentiation 177 Aufgaben 186 bis Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Satz von ROLLE; Mittelwertsatz und erweiterter Mittelwertsatz Folgerungen aus den Mittelwertsätzen 184 Aufgaben 189 bis

4 Inhaltsverzeichnis 9 5. Uneigentliche Grenzwerte Regeln für das Rechnen mit uneigentlichen Grenzwerten Die Regel von BERNOULLI und DE L'HOSPITAL 187 Aufgaben 193 und Untersuchung von Punktionen Charakteristische Bereiche und Punkte Definitionsbereich, Symmetrie Definitionsbereich X Symmetrie 192 Aufgaben 195 und Das Verhalten im Unendlichen Die ganzrationale Funktion Die gebrochenrationale Funktion Unstetigkeitsstellen, Achsenschnittpunkte Unstetigkeitsstellen Achsenschnittpunkte Gebrochenrationale Funktionen: Z(x) y = - Z, N ganzrational 198 N (x) 6.5. Monotoniebögen, Extrempunkte Krümmungsbögen, Wendepunkte Beispiele für Kurvendisküssionen 205 Aufgaben 197 bis Extremwertaufgaben 213 Aufgaben 204 bis Weitere transzendente Funktionen und ihre Ableitungen Zyklometrische Funktionen Definition und graphische Darstellung Numerische Berechnung von Funktionswerten Beziehungen zwischen den Funktionen Ableitungen Hyperbelfunktionen Definition und graphische Darstellung Beziehungen zwischen den Funktionen Hyperbelfunktionen und Einheitshyperbel Ableitungen Areafunktionen Definition und graphische Darstellung Beziehungen zwischen den Funktionen Ableitungen 234 Aufgaben 225 bis Einführung in die Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das partikuläre Integral Das bestimmte Integral als Funktionswert einer Stammfunktion Elementare Integrationsregeln Differentiation und Integration nacheinander ausgeführt 247

5 10 Inhaltsverzeichnis Integration einer algebraischen Summe Integrand mit konstantem Faktor Vertauschung der Integrationsgrenzen Zerlegung des Integrationsintervalles in Teilintervalle Änderung der Integrationsvariablen 249 Aufgaben 239 bis Zusammenhänge zwischen Integration und Flächenberechnung Das Problem der Flächenberechnung. Die Flächenfunktion Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summenfolge 258 Aufgaben 271 bis Vergleich der Integraldefinitionen. Bedingungen für die Integrierbarkeit Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung aus der Geometrie Flächeninhalte Flächen zwischen einer Kurve und der»-achse Flächen zwischen zwei Kurven Flächen zwischen einer Kurve und der y-achse. Das Flächenelement Aufgaben 274 bis Rauminhalte Der Bauminhalt von Rotationskörpern Der Rauminhalt anderer Körper 279 Aufgaben 292 bis Bogenlängenberechnung (Rektifikation) Mantelflächenberechnung (Komplanation) von Rotationskörpern Integrationsverfahren Integration durch Substitution Allgemeines Prinzip des Verfahrens Integrale der Form //[y(a;)] <p'(x) dx Substitution trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen Integrale der Form jr (sinz; cos»; tanx; cot x) dx 297 Aufgaben 304 bis Partielle Integration 302 Aufgaben 400 bis Integration nach Partialbruchzerlegung Vorbetrachtung Der Nenner des Integranden hat nur einfache reelle Nullstellen Der Nenner des Integranden hat mehrfache reelle Nullstellen Der Nenner des Integranden enthält komplexe einfache Nullstellen Der Nenner des Integranden enthält komplexe mehrfache Nullstellen Aufgaben 426 bis Der Gebrauch von Integraltafeln 315 Aufgaben 436 bis Näherungsweise Integration Numerische Integration 317 Aufgaben 444 bis

6 * Inhaltsverzeichnis Graphische Integration 323 Aufgaben 452 und Instrumentelle Integration Anwendungen der Integralrechnung aus Physik und Technik Statisches Moment und Schwerpunkt Statische Momente und Schwerpunkt einer ebenen Fläche Statische Momente und Schwerpunkt eines Körpers Statische Momente und Schwerpunkt eines ebenen Kurvenstücks Die Regeln von GULDIN 335 Aufgaben 454 bis Trägheitsmomente Trägheitsmomente von ebenen Flächen Massenträgheitsmomente 342 Aufgaben 476 bis Der Balken auf zwei Stützen mit ungleichmäßig verteilter Streckenlast Auflagerwiderstände Schnittkräfte Zusammenhang zwischen Moment, Querkraft und Belastung Arbeit Arbeit bei der Ausdehnung einer Schraubenfeder Ausdehnungsarbeit eines Gases Arbeit des Wechselstroms Chemische Reaktionsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Konzentration Berechnung von Mittelwerten mit Hilfe des bestimmten Integrals Linearer Mittelwert Quadratischer Mittelwert 355 Weiterer Ausbau der Differential- und Integralrechnung 12. Differentialgeometrie Formen der analytischen Darstellung von Funktionen Parameterdarstellung Darstellung in Polarkoordinaten Differentiation Differentiation bei Parameterdarstellung Differentiation bei Darstellung in Polarkoordinaten 361 Aufgaben 487 bis Bogenlänge 364 Aufgaben 499 bis Sektorenformeln 368 Aufgaben 506 bis Berechnung von Drehkörpern Kubatur (Volumenberechnung) Mantelflächen 374 Aufgaben 511 bis

7 12 Inhaltsverzeichnis Krümmung ebener Kurven Definition der Krümmung Krümmungskreis; Evolute und Evolvente 378 Aufgaben 516 bis Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen Definition und geometrische Veranschaulichung 383 Aufgaben 525 und Partielle Ableitungen 389 Aufgaben 527 bis Das totale Differential 395 Aufgaben 557 bis Die Ableitung von Funktionen mit impliziter Darstellung 399 Aufgaben 569 bis Maxima und Minima von Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher 402 Aufgaben 579 bis Maxima und Minima mit Nebenbedingungen 407 Aufgaben 692 bis Mehrfache Integrale Flächenberechnung Cartesische Koordinaten Angepaßte Koordinaten 417 Aufgaben 604 bis Volumenberechnung Cartesische Koordinaten Angepaßte Koordinaten 420 Aufgaben 608 bis Schwerpunkt- und Momentenberechnung Schwerpunkte und Momente von Bögen Schwerpunkte und Momente von Flächen Schwerpunkte und Momente von Volumina 433 Aufgaben 614 bis Linienintegrale Vektorielle Darstellung von Kurven und Feldern Differentiation und Integration von Vektoren Das Linienintegral Das Linienintegral im Potentialfeld 446 Aufgaben 629 bis Unendliche Reihen 16. Grundbegriffe Definition der unendlichen Reihe Konvergenz, Divergenz 452

8 Inhaltsverzeichnis Konvergenzkriterien 453 Aufgaben 634 bis Potenzreihen Erklärung, Konvergenzradius, Konvergenzbereich 458 Aufgaben 642 bis Die MACLATJBrNsche Form der Reihe von TAYLOB Die Hauptform der Reihe von TAYLOR 463 Aufgaben 646 bis Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen 465 Aufgaben 648 bis Entwicklung der Binomialreihe Reihenentwicklung durch Integration 472 Aufgaben 653 bis Anwendungen Näherungsformeln Aus Grundfunktionen zusammengesetzte Ausdrücke Wurzelausdrücke Besondere Fälle Integration nach vorhergegangener Reihenentwicklung 482 Aufgaben 656 bis Einführung in die Fehler- und Ausgleichungsrechnung 20. Fehlerrechnung für wahre Fehler Fehlerarten Wahre Fehler 494 Aufgaben 666 bis Ausgleichungsrechnung Allgemeines zur Ausgleichungsrechnung Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit Der mittlere Fehler als Genauigkeitsmaß 504 Aufgaben 679 bis Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit 511 Aufgaben 689 bis Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 516 Aufgaben 692 bis Ausgleichung bedingter Beobachtungen 521 Aufgabe i-

9 14 Inhaltsverzeichnis Differentialgleichungen 22. Grundbegriffe; Aufstellen von Differentialgleichungen Definition der Differentialgleichung Aufstellen von Differentialgleichungen Differentialgleichung einer Kurvenschar Differentialgleichungen 1. Ordnung Geometrische Deutung Isoklinenverfahren Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen Durch Substitution lösbare Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführbare Differentialgleichungen 2. Ordnung 557 Aufgaben 700 bis Lineare Differentialgleichungen 2. und höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einführen eines linearen Differentialoperators Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Lineare Differentialgleichungen 3. und höherer Ordnung 588 Aufgaben 751 bis Lösungen zu den Aufgaben 1 bis Sachwortverzeichnis 657 Integraltafel