Elementare Wirtschaftsmathematik

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1 Rainer Göb Elementare Wirtschaftsmathematik Erster Teil: Funktionen von einer und zwei Veränderlichen Mit 87 Abbildungen Methodica-Verlag Veitshöchheim

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Mengen, Tupel, Relationen Mengen Tupel und cartesische Produkte Relationen Äquivalenzrelationen Ordnungsrelationen 8 2 Grundlagen: Zahlenbereiche Nominalzahl, Ordinalzahl, Kardinalzahl Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen Das Kontinuumsproblem Die reellen Zahlen Intervalle auf der reellen Achse Offene und abgeschlossene Teilmengen der reellen Achse Der Betrag reeller Zahlen Operationen mit reellen Zahlen: Potenzen und Wurzeln Der R Offene und abgeschlossene Mengen im R Der R Die komplexen Zahlen Lösung quadratischer Gleichungen in komplexen Variablen 45 3 Grundlagen: Funktionen Funktionen: Grundbegriffe Die Definition von Funktionen Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff Rechenoperationen mit Punktionen Verkettung von Punktionen Injektivität, Umkehrabbildung, Bijektivität von Funktionen 54 4 Elementare reellwertige Funktionen eines reellen Arguments Reellwertige Punktionen eines reellen Arguments in der Modellbildung Monotonie reellwertiger Punktionen eines reellen Arguments Extremwerte reellwertiger Funktionen eines reellen Arguments Krümmung reellwertiger Punktionen eines reellen Arguments 62

3 4.5 Elementare Kenngrößen reellwertiger Punktionen eines reellen Arguments Differentialkenngrößen reellwertiger Funktionen eines reellen Arguments Lineare Funktionen Potenzfunktion bei rationalem Exponenten Quadratische Funktionen (Polynome vom Grade 2) Kubische Punktionen (Polynome vom Grade 3) Polynome Anpassung von Funktionen an Daten Rationale Funktionen Rationale Funktionen als Sättigungs- und Ausfallfunktionen Die Exponentialfunktion Funktionen mit konstanter Momentanrendite pro Zeiteinheit Sättigungs- und Ausfallfunktionen auf Grundlage der Exponentialfunktion Die Logarithmusfunktion Die Potenzfunktion Logarithmen zu einer gegebenen Basis Sinus und Cosinus 99 Folgen reeller Zahlen Standardinterpretation von Folgen Darstellung von Folgen Kenngrößen von Folgen Folgen als Einschränkungen von auf Intervallen definierten Punktionen Arithmetische Folge Geometrische Folge Folgen mit konstanter Rendite Kontoentwicklung bei Guthaben- oder Sollzinsen ohne Ein- und Auszahlungen Endliche Summen und Produkte Kontoentwicklung bei variablen Guthaben- oder Sollzinsen ohne Ein- und Auszahlungen Durchschnittszinsen bei variablen Guthaben- oder Sollzinsen ohne Ein- und Auszahlungen Einige endliche Summen Diskontierung Die Differenzengleichung erster Ordnung Cobweb-Modelle Fakultäten 122 IV

4 V INHALTSVERZEICHNIS 5.17 Binomialkoeffizienten Finanzmathematik Abschreibung Kontoentwicklung bei Guthabenzinsen und Einzahlungen Kontoentwicklung bei laufender Auszahlung und bei Sollzinsen Stetige Verzinsung Grenzwerte Der Sinn von Grenzwertbetrachtungen Grenzprozesse von Variablen Mathematische Definition von Konvergenz und bestimmter Divergenz Konvergenz und Divergenz Konvergenz und bestimmte Divergenz spezieller Funktionen und Folgen Rechenregeln für konvergente Funktionen und Folgen Diskontierte ewige Einkünfte Drei Konvergenzuntersuchungen Kriterien für die Konvergenz von Folgen Konvergenz im R Konvergenz in C Begriff der unendlichen Reihe Die geometrische Reihe Die harmonische Reihe Potenzreihen Exponentialreihe Logarithmusreihe Reihendarstellung der Sinus- und Cosinusfunktion Diskrete dynamische Modelle Einführung in die diskrete dynamische Modellierung Einführende Beispiele von Autoregressionsgleichungen Autoregressionsschemata und autoregressive Zeitreihen Die Nullstellen des Autoregressionspolynoms Lösungen der homogenen Autoregressionsgleichung Eine spezielle Lösung der allgemeinen Autoregressionsgleichung Lösungen der Autoregressionsgleichung mit Initialisierungen Die Fibonacci-Zahlen Der Verlauf autoregressiver Folgen Stabilität und asymptotische Stabilität 183

5 8.11 Untersuchung autoregressiver Folgen auf Beschränktheit bzw. Konvergenz Stetige Funktionen Motivation Begriff der Stetigkeit Differenzierbare Funktionen Der Grenzwert des Differenzenquotienten in der Montonieuntersuchung Der Grenzwert des Differenzenquotienten als Momentangeschwindigkeit Der Grenzwert des Differenzenquotienten als Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion Der Begriff der Differenzierbarkeit Differenzierbare Funktionen, Differentiationsregeln Extremwerte und Extremalstellen bei differenzierbaren Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Untersuchung differenzierbarer Funktionen auf Monotonie, Extremwerte und Wendepunkte Anwendungen der Differentialrechnung in der wirtschaftswissenschaftlichen Modellierung Der Begriff des Differentials Die Interpretation der ersten Ableitung als Grenzfunktion Die Elastizität einer Funktion Meßskalen Entitäten und ihre Charakteristika Skalen Skalentransformationen Gleichwertigkeit von Skalen Skalenverträgliche Operationen Festlegung von Skalen Die Likertskala Nutzen Einführung Nutzenmessung Ursprünge der Theorie des Grenznutzen Nutzen und Grenznutzen in ordinaler Sicht Nutzen und Grenznutzen in kardinaler Sicht 234 VI

6 14.6 Ordinale und kardinale Präferenzen Reellwertige Punktionen von zwei reellen Argumenten Mathematische Beispiele von Punktionen von zwei Variablen Stetigkeit von Punktionen von zwei Variablen Partielle Ableitungen Differentiation bei Verkettung Differentiation impliziter Punktionen Extremwerte von Funktionen zweier Veränderlicher Extremalstellen und Sattelpunkte bei Punktionen zweier Veränderlicher Bestimmung von Extremalstellen bei Punktionen zweier Veränderlicher Extremwerte unter Nebenbedingung Regression Das Regressionsmodell Lineare Regression Nichtlineare Regression Integration Motivation Flächenberechnung vom intuitiven Standpunkt Das Integral als Flächeninhalt und als Grenzwert von Rechtecksflächensummen Elementare Eigenschaften des Integrals Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integrationstechniken: Stammfunktion Integrationstechniken: Partielle Integration Integrationstechniken: Substitutionsregel Uneigentliche Integrale Differentiation von Integralen Anwendungen der Integralrechnung in der wirtschaftswissenschaftlichen Modellierung Differentialgleichungen Der Begriff der Differentialgleichung Die Differentialgleichung erster Ordnung Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung Das Wachstum einer Population 301

7 19.5 Preisentwicklung in kontinuierlicher Zeit Die Wachstumstheorie von Harrod und Domar 303 A Anhang: Regeln für Rechenoperationen mit reellen Zahlen. 306 B Anhang: Regeln für Rechenoperationen auf der kompaktifizierten Zahlengeraden. 306 C Anhang: Grenzübergang, Konvergenz, bestimmte Divergenz bei Folgen und Funktionen auf R. 308 D Anhang: Grenzübergang, Konvergenz, bestimmte Divergenz im R 2 und in C. 312 E Anhang: Differentialrechnung bei reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen. 314 E.l Der Begriff der Differenzierbarkeit 314 E.2 Differentiationsregeln 315 E.3 Die Ableitung wichtiger Punktionen 315 E.4 Untersuchung differenzierbarer Punktionen auf Monotonie, Extremwerte und Wendepunkte 319 Literaturverzeichnis. 322 Index. 325 VIII