Mathematik 2 für Nichtmathematiker

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1 Mathematik 2 für Nichtmathematiker Funktionen - Folgen und Reihen - Differential- und Integralrechnung - Differentialgleichungen - Ordnung und Chaos von Professor Dr. Manfred Precht Dipl.-Math. Karl Voit und Dr. agr. Roland Kraft Technische Universität München-Weihenstephan - Abteilung Mathematik und Statistik 5., bearbeitete Auflage Mit 139 Abbildungen, 3 Tabellen 192 Beispielen und 58 Aufgaben samt Lösungen R. Oldenbourg Verlag München Wien 1994

2 Inhalt Vorwort 1 6 Funktionen einer reellen Veränderlichen Wichtige Begriffe bei Funktionen Monotonie Umkehrfunktionen Komposition von Funktionen Symmetrie Lineare Funktionen oder Geraden Quadratische Funktionen oder Parabeln Die kubische Funktion Polynome Stetigkeit Rationale Funktionen Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Exponentialfunktionen Die Logarithmusfunktion Darstellung von Potenz- und Exponentialfunktionen als Geraden Trigonometrie und Winkelfunktionen Darstellung von Winkeln 57 v Winkelfunktionen Schwingungen 67 7 Folgen, Reihen und Grenzwerte Zahlenfolgen Grenzwert und Konvergenz Unendliche Reihen Grenzwerte bei Funktionen 104

3 Inhalt 7.5 Zinsrechnung Verzinsung eines Kapitals Tilgungsrechnung Effektivzinsen Prozentannuitäten 114 Differentialrechnung Die Ableitung einer Funktion Der Differentialquotient Ableitungen spezieller Funktionen Das Differential Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Differentiationsregeln Höhere Ableitungen Anwendung der Differentialrechnung Kurvendiskussion Extremwertaufgaben Das Newton-Verfahren Die Regel von de l'hospital 150 Integralrechnung Das unbestimmte Integral Grundintegrale und Rechenregeln Partielle Integration und Substitution Partielle Integration Integration durch Substitution Das bestimmte Integral Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Die Integralfunktion Natürliche Logarithmus- und Exponentialfunktion Allgemeine Logarithmus- und Exponentialfunktion, Potenzen Anwendung der Integralrechnung 183

4 IniaJt VII 10 Taylorentwicklung und Potenzreihen Taylor-Polynome Der Satz von Taylor Taylorreihen, Potenzreihen Funktionen von zwei oder mehr Veränderlichen Definition von Funktionen mehrerer Veränderlicher Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit Das vollständige Differential Der Begriff des vollständigen Differentials Anwendungen des vollständigen Differentials Fehlerrechnung Extremwerte Bedingungen für Extrema Die Methode der kleinsten Quadrate Optimierung Optimierung unter Einbeziehung des Rands Methode des Lagrange-Faktors Lineare Optimierung Mehrfache Integrale Doppelintegrale Berechnung der Doppelintegrale durch iterierte Integrale Dreifachintegrale und ihre Berechnung Krummlinige Koordinaten Differentialgleichungen Einteilung der Differentialgleichungen Geometrische Interpretation der DGLen 1. Ordnung Differentialgleichungen vom Typ y'(x) = f(x) Differentialgleichungen vom Typ y'(x) = g(y) Die Differentialgleichung y' = ky Die Differentialgleichung y' = ay + b 274

5 VIII Inhalt Die Differentialgleichung y' = a(b - y)(d - y) Differentialgleichungen vom Typ y' = /(x) g{y) Differentialgleichungen vom Typ y' f(y/x) Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Die lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einfache Systeme von Differentialgleichungen Ordnung und Chaos in dynamischen Systemen Dynamische Systeme Nichtlineare iterierte Abbildungen Die logistische Abbildung Dynamik iterierter Abbildungen Praktische Anwendung Nichtlineare Differentialgleichungen Lotka-Volterra-Systeme Dynamik von Differentialgleichungen Fraktale Geometrie Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit Die Hausdorff-Dimension Fraktale Graphiken auf dem Computer Die Mandelbrot-Menge Julia-Mengen Das Chaos-Spiel Bifurkationsdiagramme iterierter Abbildungen 338 Literatur 340 Sachregister 341