Aufgabensammlung mit Lösungen zur Mathematik für Nichtmathematiker

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1 Aufgabensammlung mit Lösungen zur Mathematik für Nichtmathematiker Grundbegriffe - Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher - Folgen und Reihen, Zinsrechnung - Differential- und Integralrechnung-Vektorrechnung und analytische Geometrie-Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme - Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung - Klausuraufgaben von Dr. Martin Bachmaier Dr. Roland Kraft Prof. Dr. Manfred Precht Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhalt Vorwort IX I. Teil: Aufgaben 1 1 Mathematische Grundbegriffe 1 Potenzen und Logarithmen 1 Gleichungen, Ungleichungen und Absolutbetrag 2 Prozent rechnen 3 Rechnen mit dem Summenzeicheii. Mittelwerte 4 Fakultät und Binomialkoeffizicnt 6 Induktionsbeweise 7 Komplexe Zahlen 7 Mengenlehre 8 2 Funktionen einer reellen Veränderlichen 11 Geraden 11 Parabeln 12 Kubische Funktionen und weitere Polynome 15 Exponentialfunktionen 16 Exponentialfunktionen in einfachlogarithmischem Maßstab 18 Potenzfunktionen in doppeltlogarithmischem Maßstab 21 Trigonometrische Funktionen und Schwingungen 22 Verschiedene Funktionen und ihre Eigenschaften 26 3 Folgen, Grenzwerte, Reihen, Zinsrechnung 29 Folgen, Grenzwerte 29 Reihen 32 Zinsrechnung 34 Anwendung der Zinsrechnungsformehi auf Bereiche außerhalb des Bankwesens 37 4 Differential- und Integralrechnung 39 Begriff der Ableitung, Differentiationsregeln 39 Höhere Ableitungen 41

3 VI Inhalt Kurvendiskussion 42 Optimierungsprobleme und Extreniwertaufgabeii aus der Praxis Weitere Anwendungen der Ableitung in der Praxis 47 Integralrechnung 49 Anwendung von Integralen und gemischte Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung 51 5 Funktionen zweier Veränderlicher 55 Schnitte und Höhenlinien 55 Partielle Ableitungen 55 Kurvendiskussion 56 Maximalfehlerrechnnng 56 Gaußsche Fehlerrechnung 59 6 Vektorrechnung und analytische Geometrie 63 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 63 Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Winkel, Länge, Fläche und Volumen. 64 Geraden und Ebenen 66 7 Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme 69 Matrizenrechnung 69 Lineare Gleiclnmgssysteme 73 8 Lineare Optimierung 77 9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 79 Kombinatorik 79 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 82 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes 86 Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz Klausuraufgaben 93 ** Erste Klausur in Mathematik 93 Zweite Klausur in Mathematik 95 Dritte Klausur in Mathematik 97 Vierte Klausur in Matlimatik 99

4 Inhalt VII II. Teil: Lösungen Mathematische Grundbegriffe 103 Potenzen und Logarithmen 103 Gleichungen. Ungleichungen und Absolutbetrag 106 Prozentrechnen 110 Rechnen mit dem Sunrmenzeicben, Mittelwerte 112 Fakultät und Binonüalkoeffizient 115 Induktionsbeweise 117 Komplexe Zahlen 118 Mengenlehre Funktionen einer reellen Veränderlichen 125 Geraden 125 Parabeln 128 Kubische Funktionen und weitere Polynome 132 Exponentialfunktionen 135 Exponentialfunktionen in einfachlogarithmischem Maßstab 138 Potcnzfunktionen in doppeltlogarithmischeni Maßstab 142 Trigonometrische Funktionen und Schwingungen 144 Verschiedene Funktionen und ihre Eigenschaften Folgen, Grenzwerte, Reihen, Zinsrechnung 159 Folgen. Grenzwerte 159 Reihen 167 Zinsrechnung 174 Anwendung der Zinsrechnungsformeln auf Bereiche außerhalb des Bankwesens Differential- und Integralrechnung 183 Begriff der Ableitung. Differentiaüonsregcln Höhere Ableitungen 189 Kurvendiskussion 191 Optirnierungsproblenre und ExtremwerLaufgaben aus der Praxis Weitere Anwendungen der Ableitung in der Praxis 211 L83

5 m Inhalt Integralrechnung 213 Anwendung von Integralen und gemischte Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung Funktionen zweier Veränderlicher 229 Schnitte und Höhenlinien 229 Partielle Ableitungen 231 Kurvendiskussion 234 Maximalfehlerreclmung 235 Gaußsche Fehlerrechnung Vektorrechnung und analytische Geometrie 247 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 247 Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Winkel, Länge, Fläche und Volumen. 249 Geraden und Ebenen Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme 263 Matrizenrechnung 263 Lineare Gleichungssysteme Lineare Optimierung Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 285 Kombinatorik 285 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 288 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes 294 Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz Klausuraufgaben 3QQ Erste Klausur in Mathematik 309 Zweite Klausur in Mathematik 312 Dritte Klausur in Mathematik 314 Vierte Klausur in Mathematik 317