Mathematischer Vorkurs

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1 Klaus Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Das Begleitbuch zum Heidelberger Online-Kurs ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spektrum k_/l AKADEMISCHER VERLAG

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Dank XIII XVII 1 Messen: Messwert und Maßeinheit Empirische Methode Physikalische Größen Maßeinheiten Größenordnungen 5 2 Zeichen und Zahlen und ihre Verknüpfungen Zeichen Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen 20 3 Folgen und Reihen und ihre Grenzwerte Folgen Beschränktheit Monotonie Konvergenz Reihen 28 4 Funktionen Funktion als Input-Output-Relation oder Abbildung Funktionen-Grundausstattung Rationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Funktionen mit Ecken und Sprüngen Mittelbare Funktionen Spiegelsymmetrie 56

3 VIII Inhaltsverzeichnis 4.5 Beschränktheit Monotonie Eineindeutigkeit Umkehrfunktionen Wurzelfunktionen Zyklometrische Funktionen Logarithmen Grenzwerte Stetigkeit 72 5 Differentiation Differenzenquotient Differentialquotient Differenzierbarkeit Höhere Ableitungen Das Handwerk des Differenzierens Vier Beispiele Einfache Differentiationsregeln: Funktionen-Grundausstattung Ketten- und Umkehrfunktionsregel Numerische Differentiation Ausblick auf Differentialgleichungen 99 6 Taylor-Entwicklung Potenzreihen Vorbild geometrische Reihe Form und Eindeutigkeit Beispiele aus der Funktionen-Grundausstattung Rationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Weitere Taylor-Reihen Konvergenzradius Genaue Regeln für das ungenaue Rechnen Güte der Konvergenz: Restglied Taylor-Entwicklung um beliebigen Punkt 117

4 Inhaltsverzeichnis IX 7 Integration Arbeit Fläche unter einer Funktion über einem Intervall Eigenschaften des Riemann-Integrals Linearität Intervalladdition Ungleichungen Mittelwertsatz der Integralrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Unbestimmtes Integral Differenzieren nach der oberen Grenze Integrieren über einen Differentialquotienten Stammfunktion Die Kunst des Integrierens Differentiationstabelle rückwärts Lineare Zerlegung Substitution Partielle Integration Weitere Integrationstricks Integralfunktionen Numerische Integration Uneigentliche Integrale Unendliches Integrationsintervall Unbeschränkter Integrand Komplexe Zahlen Imaginäre Einheit und Darstellungen Motivation Imaginäre Einheit Definition der komplexen Zahlen Gaußsche Zahlenebene Euler-Formel Komplexkonjugation Rechenregeln der komplexen Zahlen Abelsche Gruppe der Addition Abelsche Gruppe der Multiplikation 171

5 X Inhaltsverzeichnis 8.3 Funktionen einer komplexen Variablen Definition Grenzwerte und Stetigkeit Graphische Darstellung Potenzen Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen Wurzelfunktionen Logarithmus Allgemeine Potenz Vektoren Dreidimensionaler euklidischer Raum Dreidimensionaler reeller Raum Koordinatensysteme Euklidischer Raum Transformationen des Koordinatensystems Vektoren als Verschiebungen Verschiebungen Vektoren Transformationen des Koordinatensystems Addition von Vektoren Vektorsumme Kommutatives Gesetz Assoziatives Gesetz Nullvektor Negatives und Subtraktion Multiplikation mit reellen Zahlen, Basisvektoren Vielfaches eines Vektors Gesetze Vektorraum Lineare Abhängigkeit, Basisvektoren Einheitsvektoren Skalarprodukt und Kronecker-Symbol Motivation Definition 236

6 Inhaltsverzeichnis XI Kommutatives Gesetz Kein Assoziatives Gesetz Homogenität Distributives Gesetz Basisvektoren Kronecker-Symbol Komponentendarstellung Transversaler Anteil Kein Inverses Vektorprodukt und Levi-Civita-Symbol Motivation Definition Antikommutativ Homogenität Distributives Gesetz Mit transversalem Anteil Basisvektoren Levi-Civita-Symbol Komponentendarstellung Kein Inverses Kein Assoziatives Gesetz Mehrfachprodukte Spatprodukt Geschachteltes Vektorprodukt Skalarprodukt zweier Vektorprodukte Vektorprodukt zweier Vektorprodukte Transformations verhalten der Produkte Orthonormale Rechtsbasen Gruppe der Orthogonalen Matrizen Untergruppe der Drehungen Transformation der Produkte 273 Aufgabentexte mit Lösungsskizzen 277 Weiterführende Literatur 329 Sachwortverzeichnis 335