Mathematik im Studium

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1 Mathematik im Studium Brücken kurs für Wirtschaftsund Naturwissenschaften Von Diplom-Physiker Jan Gehrke Duale Hochschule Baden-Württemberg Stuttgart 01 den bourg Verlag München

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Einführung I.1 Ein paar Beispiele Interpretation von Schaubildern Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten 1.4 Der Begriff der Funktion Einteilung des Zahlenstrahls - Intervalle 11 Lineare Funktionen II.1 Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem II.2 Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem II.3 Die Hauptform der Geradengleichung..... II.4 Die gegenseitige Lage von Geraden II.5 Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden.... II.5.1 Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen II.5.2 Zueinander orthogonale Geraden. II.5.3 Der Schnittwinkel zweier Geraden xiii Quadratische Funktionen 37 III.l Die Binomischen Formeln III.1.1 Die 1. Binomische Formel 37 II1.1.2 Die 2. Binomische Formel 38 II1.1.3 Die 3. Binomische Formel 38 III.I.4 Der Weg zurück - Die Binomischen Formeln im Rückwärtsgang 39 III.2 Der Umgang mit quadratischen Funktionen II1.2.1 Die Mitternachtsformel (MNF) I.2.2 Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück - There and back again II1.2.3 Scheitelermittlung durch "Absenken" II1.3 Die Herleitung der Mitternachtsformel III.4 Der Umgang mit Parabelscharen - Grundlagen Parameterfunktionen. 56 III.5 Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen. 70 IV Grundlagen Potenzfunktionen 73

3 viii Inhaltsverzeichnis IV.1 Potenzfunktionen - Definition und ein paar Eigenschaften. IV.L1 Parabeln n-ter Ordnung. IV.L2 Hyperbeln n-ter Ordnung.... IV.2 Die Potenzgesetze.... IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sind. IV.2.2 Das "nullte" Potenzgesetz und noch eine Definition IV.2.3 Das erste Potenzgesetz. IV.2A Das zweite Potenzgesetz IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz. IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz. IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz IV.2.8 Rationale Hochzahlen.. IV.2.9 Rechnen ohne Klammern - Vorfahrtsregeln beim Rechnen. IV.3 Rechnen mit Wurzeln - Einfache Wurzelgleichungen IVA Die Logarithmengesetze V Ganzrationale Funktionen - Eine Einführung 101 V.1 Definition und Grenzverhalten..., 101 V.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen..., 105 V.3 Noch mehr Symmetrie - Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten 106 VA Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen V.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniert..., 110 VA.2 Das Horner-Schema..., 112 VA.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen. 116 V.5 Das Baukastenprinzip - Zusammengesetzte Funktionen 119 V.5.1 Addition und Subtraktion von Funktionen V.5.2 Multiplikation und Division von Funktionen V.6 Den Überblick behalten - Gebietseinteilungen vornehmen 126 V.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen 127 V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und und den zugehörigen Rechenregeln 127 V.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und IV Y.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen - Jetzt wird's kritisch! V.7A Betragsgleichungen..., 137 VI Die vollständige Induktion und (ihre) Folgen VI.1 Grundlagen.... VI.L1 Ein paar Spielregeln zu Beginn. VI.L2 Darstellungsformen von Folgen. VI. 1.3 Die Definition der Monotonie VI. 1.4 Der Nachweis der Monotonie. VI. 1.5 Beschränktheit VI. 2 Der Grenzwert einer Folg~ : : : : : : :

4 Inhaltsverzeichnis ix VI.2.1 Die Definition des Grenzwertes. 152 VI.2.2 Zwei Sätze und ein paar Begriffe. 153 VL3 Die Grenzwertsätze VL3.1 Die 3 Grenzwertsätze VI.3.2 Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen 155 VI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven Folgen 156 VI.4 Arithmetische und geometrische Folgen VI.4.1 Arithmetische Folgen I - Ein paar Grundlagen VI.4.2 Geometrische Folgen I - Ein paar Grundlagen VI. 5 Die vollständige Induktion - Ein mächtiges Beweisverfahren. 161 VI.5.1 Arithmetische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder 164 VI.5.2 Geometrische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder 166 VI.5.3 Vollständige Induktion in Beispielen VI. 6 Ein Test alles Gelernten - Die Fibonacci-Zahlenfolge. 176 VI. 6.1 Einführung und historischer Abriss VL6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge - Grundlagen. 178 VI.6.3 Die Kaninchen-Aufgabe VL6.4 Der Goldene Schnitt VI.6.5 Die Herleitung der expliziten Formel 184 VII Einführung in die Differentialrechnung 191 VII.l Vom Differenzen- zum Differentialquotienten VII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung. 196 VII.2.1 Der Umgang mit Berührpunkten. 201 VII.3 Die Herleitungen der Ableitungsregeln. 203 VII.3.1 Die Summenregel. 203 VII.3.2 Die Faktorregel VII.3.3 Die Produktregel VII.3.4 Die Quotientenregel VII.3.5 Die Kettenregel VII.4 Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen. 214 VII.4.1 Extrempunkte VII.4.2 Wendepunkte VII.4.3 Neu und alt - Ableitung trifft Parameter. 234 VII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle VII.5.1 Stetigkeit - Ohne Sprung ans Ziel VII.5.2 Differenzierbarkeit - Knickfrei durch's Leben VII.5.3 Monotonie - Wo geht's denn hin? VII.5.4 Die Wertetabelle - Eine oft ignorierte Zeichenhilfe. 255 VII.6 Die Kurvendiskussion - Gesamtübersicht mit Beispiel. 256 VIII Ober das Lösen linearer Gleichungssysteme 261 VIII.1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. 261 VIILl.l Das Gleichsetzungsverfahren

5 x Inhaltsverzeichnis VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren VIII.1.3 Das Additionsverfahren VIII.1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem LGS. 265 VIII.2 LGS mit 3 und mehr Unbekannten VIII.2.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren VIII.2.2 Gibt es Lösungen - und wenn ja wie viele? VIII.3 LGS und Funktionen - Bestimmung ganzrationaler Funktionen IX Mit Brüchen muss man umgehen können - Gebrochenrationale Funktionen 289 IX.l Grundlagen - Umgang mit Bruchgleichungen und Brüchen IX.2 Definition der gebrochenrationalen Funktionen IX.3 Ein paar Besonderheiten - Definitionslücken und Asymptoten IX.4 Ableiten gebrochenrationaler Funktionen X Trigonometrische Funktionen 313 X.l Grundlagen und Ableitungsregeln. 313 X.1.1 Definition und Beispiele. 313 X.1.2 Vom Einheitskreis zur Funktion. 315 X.1.3 Das Bogenmaß. 320 X.1.4 Andere Winkel X.1.5 Der Sinussatz X.1.6 Der Kosinussatz. 324 X.l. 7 Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis X.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen - Ein wenig Nostalgie bei der Herleitung X.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen335 X.3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus). 338 XI Wachsen ist schön - Exponentialfunktionen XU Grundlagen.... XI. 2 Ableiten von Exponentialfunktionen. XI.3 Wachstum.... XI.3.1 Lineares Wachstum XI.3.2 Exponentielles/Natürliches Wachstum. XI.3.3 Beschränktes Wachstum.... XI.3.4 Logistisches Wachstum XI.4 Die Grenzen erfahren - Grenzwertuntersuchung mit L'Hospital XII Die Ableitung der Umkehrfunktion XII.l Was ist eine Umkehrfunktion? - Grundlagen und Begriffe XII.2 Ableiten von Umkehrfunktionen XII.2.1 Implizites Differenzieren'.... XII.2.2 Ableiten von Umkehrfunk~i~n~~ ~i~ d~r 'Ke~t~n~e~~l :

6 Inhaltsverzeichnis xi XIII Integralrechnung XIII.1 Schritt für Schritt zum Ziel - Ober- und Untersumme XIII.l.1 Ober- und Untersumme.... XIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam? XIII.3 Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen XIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen Substitution XIII.3.2 Etwas Interessantes - Die Produktintegration.... XIII.3.3 Ein praktischer Satz - Über das Aufleiten von Brüchen XIII.4 Flächenberechnung - Worauf man achten sollte XIII.5 Einmal rundherum - Berechnung von Rotationsvolumen XIV Beweise mit Vektoren führen 423 XIV.1 Der Vektor in der analytischen Geometrie. 423 XIV.2 Linear abhängig und unabhängig XIV.3 Das Prinzip des geschlossenen Vektorzuges. 426 XIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck 427 XIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt XIV.4.1 Von Vektoren und ihren Beträgen XIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre Konsequenzen. 435 XIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigt. 438 XIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des Thales. 439 XIV.5 Eine Aufgabe zur Vertiefung XV Rechnen im Raum - Analytische Geometrie XV.1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das Kreuzprodukt XY.2 Geraden und Vektoren... XY.3 Ebenen XV.3.1 Die Koordinatenform XV.3.2 Die Normalenform. XV.3.3 Umwandeln von Ebenen XV.4 Lagebeziehungen XV.4.1 Gegenseitige Lagen von Geraden XV.4.2 Gegenseitige Lagen von Ebenen XV.4.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und Gerade. 470 XV.5 Abstände XV.5.1 Der Abstand zweier Punkte XV.5.2 Die Hessesche Normalenform - Abstandsbestimmungen bei Ebenen XV.5.3 Abstände, die uns noch fehlen. 475 XV.6 Ein kurzes Wort über Schnittwinkel. 479 XV.7 Ein kugelrunder Abschluss XVI Wenn's nicht direkt geht - Ein wenig Numerik XVI.1 Für Nullstellen - Das Newton-Verfahren

7 xii Inhaltsverzeichnis A B c XVI Wann Newton nicht funktioniert. XVI.1.2 Übersicht mit Beispiel... XV1.2 Für Flächen - Die Keplersche Fassregel XVI.2.1 Sehnentrapeze.... XV1.2.2 Tangententrapeze.... XVI.3 Wo Kepler aufhört fängt Simpson an - Die Simpson-Regel Die Strahlensätze A.l Einführende Betrachtungen A.2 Der 1. Strahlensatz.... A.3 Der 2. Strahlensatz.... A.4 "Kurzversion" des 1. Strahlensatzes Ungleich geht die Welt zu Grunde - Ein paar Infos über Ungleichungen B.1 Ganz elementare Regeln... B.2 Beispiele statt allgemeine Hudelei Das Pascalsche Dreieck C.l Worum es geht.... C.2 Zum Aufstellen des Dreiecks... C.3 Warum das Schema funktioniert Weiterführende Literatur Stichwortverzeichnis