Friederike Goerigk (Autor) Mathematik nicht nur für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Friederike Goerigk (Autor) Mathematik nicht nur für Wirtschaftswissenschaftler Copyright: Cuvillier Verlag, Inhaberin Annette Jentzsch-Cuvillier, Nonnenstieg 8, Göttingen, Germany Telefon: +49 (0) , Website:

2 Kapitel 1:Grundlagen Zahlenmengen 2 natürliche Zahlen rationale Zahlen irrationale Zahlen reelle Zahlen 1.2 Rechenarten Rechenregeln Vorzeichenregeln Teiler und Teilermengen Potenzgesetze Binomische Formeln Faktorisieren von Termen Bruchrechnung Wurzelgesetze Logarithmen Der Betrag Intervalle und ihre Schreibweisen Summen Zahlendarstellung Pascalsches Dreieck und der Binomialkoeffizient 23 Aufgaben mit Lösungen Kapitel 2: Aussagenlogik und Mengen Aussagenlogik Aussagen und Aussageformen Und/Oder-Verknüpfung Negation Implikationen Hinreichend und Notwendig Bijunktionen 38

3 2.2 Mengen Darstellung von Mengen Leere Menge Vereinigung und Durchschnitt Mengengesetze Produktmengen Potenzmengen Venndiagramme Wahrheitstafeln Tautologie/Kontradiktion Exklusive Disjunktion Äquivalenz Morgansche Gesetze Implikation 52 Aufgaben mit Lösungen Kapitel 3: Gleichungen 1. Begegnung Polynomgleichungen Gleichungen 2. Grades Kubische Gleichungen Gleichungen, die sich auf quadratisch Gleichungen zurückführen lassen Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Anwendungen in der Ökonomie Parametergleichungen 69

4 Kapitel 4:Ungleichungen 1. Begegnung Ungleichungen der Form ax gerade < a Ungleichungen der Form ax ungerade < a Ungleichungen der Form ax² + bx + c < komplexere Ungleichungen Graphisches Lösen von Ungleichungen Betragsungleichungen 87 Kapitel 5: Funktionen Definition, Eigenschaften und Darstellung von Funktionen Was ist eine Funktion? Darstellungsarten von Funktionen. 101 Aufgaben, Fragen und Lösungen 5.2 Wichtige Bezeichnungen bei Funktionen 107 Aufgaben, Fragen und Lösungen 5.3 Einige wichtige Eigenschaften von Funktionen Definitions- und Wertebereiche Beschränktheit Spiegelungen, Verschiebungen und Stauchungen Verkettung von Funktionen

5 Kapitel 6: Funktionsarten Lineare Funktionen Einführung Proportionalitäten Von der proportionalen Zuordnung zur linearen Funktion 131 Aufgaben, Fragen und Lösungen 6.2 Potenzfunktionen Eigenschaften y = ax n mit aus Z + ={1,2,3,4,5 } y = ax n mit n aus Z - (Hyperbeln) y = ax n n aus Q 6.3 Rationale Funktionen Einführung Eigenschaften Quadratische Funktionen Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion Eigenschaften der quadratischen Funktion Ökonomische Anwendungen Ermittlung von Funktionsgleichungen Gebrochenrationale Funktionen 160 Aufgaben, Fragen und Lösungen 6.4 Exponentialfunktionen Eigenschaften Exponentialfunktionen und Wachstum Die natürliche Exponentialfunktion e x Logarithmusfunktionen 168 Aufgaben, Fragen und Lösungen

6 Kapitel 7 : Gleichungen und Ungleichungen: Begegnung der zweiten Art Gleichungen der zweiten Art 174 Exponential- und Logarithmusgleichungen 7.2 Ungleichungen, Begegnung der zweiten Art: 177 Ungleichungen mit Logarithmen und geraden Wurzeln Kapitel 8 :Differentialrechnung Hinführung und Motivation Differenzen und Differentialquotient Ableitungsregeln Produktregel Quotientenregel Kettenregel Schreibweisen Logarithmisches Differenzieren 196 Kapitel 9: Anwendungen der Differentialrechnung Tangente an eine Funktion in einem Punkt Relative Änderungsrate Grenzwerte von Funktionen Grenzwert von Funktionen für x + bzw. x Regel von L`Hospital Grenzwerte von Betragsfunktionen Grenzwerte gegen eine Zahl a Grenzwerte von verketteten Funktionen 217

7 9.4 Stetigkeit Stetigkeit an einer Stelle x = a Links-und rechtsseitig stetig Differenzierbarkeit Approximationen 227 Lineare- quadratische- polynominale Approximationen. Das Taylorpolynom 9.7 Anwendungen der Differentialrechnung in der Ökonomie Das Differential 235 Anschauliche Darstellung Bedeutung und Anwendung 9.9 Implizites Differenzieren Differenzieren von Umkehrfunktionen Elastizitäten 241 Bedeutung Berechnung 9.12 Zwischenwertsatz Newton Verfahren 244 Kapitel 10: Kurvendiskussion Einführung Polstellen Nullstellen Symmetrie Monotonie Krümmungsverhalten (konvex, konkav) Hoch- und Tiefpunkte Notwendige und hinreichende Bedingungen Bestimmung der Art der Extrema mit Hilfe der ersten Ableitung Lokale und globale Extrema

8 Extrema von Wurzelfunktionen und Betragsfunktionen 10.8 Ökonomische Anwendungen Extrema in Intervallen Wendepunkte 270 Aufgaben Kapitel 11: Funktionseigenschaften, zweite Begegnung Surjektivität und Injektivität Umkehrfunktion 290 Aufgaben mit Lösungen Kapitel 12: Integralrechnung Einführung Definition Stammfunktion Unbestimmtes und bestimmtes Integral Allgemeine Integrationsregeln Flächenberechnung zwischen dem Graph einer Funktion und der x-achse Flächenberechnung zwischen 2 Funktionen Integration durch Substitution Produktintegration Uneigentliche Integrale Ökonomische Anwendungen 316 Aufgaben 316

9 Kapitel 13: Funktionen mehrerer Veränderlicher und ihre Anwendungen Darstellung Höhenlinien Isoquanten Definitionsbereiche Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen 2. Ordnung und die Hesse-Matrix Totale Ableitung Partielle Elastizitäten Umgebung einespunktes Beschränktheit Homogenität Eulersche Homogenitätsrelation relative Änderungsrate Imlizites Differenzieren Steigungen von Höhenlinien Grenzrate der Substitution Substitutionselastizität lineare Approximation und Tangentialebenen totales Differential Absoluter und relativer Fehler 357

10 Kapitel 14:Extrema mit und ohne Nebenbedingungen bei Funktionen mit mehreren Variablen Extrema ohne Nebenbedingungen Extrema mit Nebenbedingungen g(x) = c (Lagrange) Bedeutung des λ Extremwertsatz Extrema mit Nebenbedingungen g(x) c (Kuhn-Tucker-Bedingungen) Envelope Theorem 384 Kapitel 15: Vektoren Einführung Darstellung von Vektoren Rechnen mit Vektoren Addition von Vektoren S-Multiplikation Äquivalenz und Gleichheit von Vektoren Länge von Vektoren Linearkombination von Vektoren Lineare Abhängigkeit Einheitsvektoren Dimension und Basis Skalarprodukt = Inneres Produkt Normalenvektoren Abstand zwischen 2 Punkten Kreis-(Kugel) Gleichung Die Geradengleichung Darstellung Gerade durch 2 Punkte 408

11 Parallele Geraden Punkt auf der Geraden Lagebeziehung von 2 Geraden Die Ebene Von der Koordinatenform zur Parameterform Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Lagebziehung zwischen 2 Ebenen Schnittwinkel 423 Kapitel 16:Matrizen Definition Arten von Matrizen Transponierte Nullmatrix Quadratische Matrizen spezielle quadratische Matrizen symmetrische Matrix schiefsymmetrische Matrix Rechnen mit Matrizen Multiplikation von Matrizen mit einem Skalar Addition und Subtraktion von Matrizen Regeln zur Matrizenaddition Multiplikation von Matrizen Regeln zur Matrizenmultiplikation Potenzen von Matrizen Invertierbare Matrizen Elementare Umformungen von Matrizen Gaußsches Eliminationsverfahren Rang einer Matrix Spur einer Matrix Linearkombination und Matrizen 440

12 16.8 Matrizen als Lösung von Polynomen 442 Aufgaben mit Lösungen Kapitel 17: Determinanten Definition Berechnung von Determinanten Determinanten von 2x2-Matrizen 448 geometrische Bedeutung Determinanten von 3x3-Matrizen (Sarrus) 449 geometrische Bedeutung 17.3 Determinanten höherer Matrizen Entwicklung nach Laplace Co-Faktoren Determinanten besonderer Matrizen Regeln für Determinanten Invertieren von Matrizen mit Hilfe von Determinanten Determinantenkriterium zur Definitheit Determinanten der Ordnung n X n 461 Aufgaben Kapitel 18: Gleichungssysteme Darstellung von Gleichungssystemen mit Hilfe von Matrizen Bezeichnungen Freiheitsgrade Lösbarkeit von Gleichungssystemen 471 Übersicht über die Lösbarkeit 18.5 Verfahren zur Lösung von inhomogenen Gleichungssystemen Gaußsches Eliminationsverfahren Cramersche Regel 478

13 Lösung mit Hilfe der Inversen Grafische Bedeutung Homogene Gleichungssysteme Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 480 Aufgaben mit Lösungen