Teil 3 -Analysis TEIL 3: ANALYSIS

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1 Mathematik Workshop TEIL 3: ANALYSIS Basis Funktionen Funktionsuntersuchung Nullstellen pq-formel, Diskriminanten Polynomdivision Mehrere Veränderliche Differenzieren Idee Regeln zum Rechnen Anwendung Integrieren Siehe Differenzieren Teil 3 -Analysis

2 Basiswissen - Funktionen Abbildung von einer Menge X in eine Menge Y Alle müssen abgebildet werden Ein x darf nicht auf mehrere y abgebildet werden Funktionen können einen oder mehrere Eingabewerte haben Funktionen in mehreren Veränderlichen Bei ökonomischen Funktionen müssen die Einheiten beachtet werden! Arten von Funktionen Konstante Funktionen Funktion bildet nur auf einen Wert ab Der Graph ist eine waagrechte Gerade Reziprokfunktion Umkehrfunktion von sich selbst Zwei Hyperbeln im positiven Bereich Betragsfunktion Gibt den Wert einer Zahl zurück, und ignoriert das Vorzeichen Potenzfunktion Gibt Potenzen von x zurück Polynomfunktion Summe von Potenzfunktionen

3 Arten von Funktion (2) Exponentialfunktion Basis wird vorgegeben Diese Basis wird mit x potenziert Logarithmusfunktion Umkehrfunktion von Exponentialfunktionen Natürlicher Logarithmus: Basis e (eulersche Zahl) Sinus-Cosinus Funktion Trigonometrische Funktion Wellenförmig Arten von Funktion (3) Bisher nur betrachtet: Funktionen in einer Veränderlichen Dazugehörige Eigenschaften Funktion kann auch mehrere Eingabewerte haben, z.b. BMI benötigt Größe und Körpergewicht als Eingabe Kann man im Rahmen der Funktionsuntersuchung genauso behandeln wie normale Funktionen Nur die Differenzierung & Integration ist etwas anders

4 Funktionsuntersuchung Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Nicht zwei x werden auf ein y abgebildet (Injektivität) Alle y werden getroffen (Surjektivität) Injektivität +Surjektivität= Bijektivität Umkehrfunktion Funktion bijektiv, dann existiert Umkehrfunktion Macht Funktion rückgängig, sodass wieder Ursprungswert entsteht Tausche x und y, löse nach y auf. Funktionsuntersuchung (2) Monotonie Schwankt die Funktion viel? Oder hält sie ihr Level? Steigend: einmal erreichter Wert wird nicht mehr unterschritten Sinkend: einmal erreichter Wert wird nicht mehr überschritten Beschränktheit Gibt es eine Schranke für die Funktionswerte? Nach unten Nach oben

5 Funktionsuntersuchung (3) Symmetrie Spiegelsymmetrie/Achsensymmetrie gerade Funktion Punktsymmetrie ungerade Funktion Stetigkeit Funktion malen, ohne den Stift abzusetzen Differenzierbarkeit Funktion hat keinen Knick Funktionsuntersuchung (4) Nullstellen Funktionsvorschrift mit 0 gleichsetzen, nach x auflösen Funktion ersten Gerades Funktion zweiten Gerades pq-formel Diskriminanten Formel/abc Formel Funktionen höheren Gerades Eine Nullstelle raten, dann Polynomdivision (gebrochen rationale Funktionen) Nullstelle im Zähler, aber nicht im Nenner

6 Funktionsuntersuchung (5) Sinnvolle Funktionsuntersuchung erfordert Wissen über Extremstellen und Wendepunkte Dafür neues Konzept benötigt Schon aus der Schule bekannt Differenzierung - Ableiten Differenzierung Bestimmt die Steigung an jedem Punkt der Funktion Aber: Wie macht man das? Beispiel: Geschwindigkeit beim Autofahren 1 Stunde für 100 km gebraucht durchschnittlich 100km/h Aber vielleicht davon 30 min für 30 km und 30min für 70km? Dann 60km/h im ersten Abschnitt und 140 km/h im zweiten wichtige Information!

7 Differenzierung (2) Idee: Verkleinerung der betrachteten Intervalle Grenzwert bilden Erhält Steigung in jedem Punkt Können daraus allgemeine Regeln ableiten Differenzierung(3) Grundsätzliche Ableitung für verschiedene Funktionentypen Potenzfunktion Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Trigonometrische Funktionen Wichtige Ableitungen stehen auch hinten im Buch!

8 Differenzierung (4) Zusätzliche Regeln für zusammengesetzte Funktionen Konstanter Faktor Regel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Extremstellen Wichtig zu wissen, wo Maxima oder Minima auftreten (Pegelstände z.b.) Wendepunkte (wann schlägt die Steigung um?) Folgende Folie stellt Algorithmus vor

9 Algorithmus Extremstellen Berechne erste Ableitung. Berechne Nullstelle. Berechne zweite Ableitung. Setze Nullstelle in zweite Ableitung ein. Wert größer 0 -> Minimum Wert kleiner 0 -> Maximum Wert gleich 0-> Wende- oder Sattelpunkt Setze Nullstelle in Funktion ein, um y-wert zu erhalten. Algorithmus Wendepunkte/Sattelpunkte Bestimme die erste und zweite Ableitung. Bestimme Nullstelle der zweiten Ableitung. Bestimme die dritte Ableitung Setze Nullstelle der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein. Wert ungleich 0 -> Wendepunkt Wert gleich 0 -> Sattelpunkt Setze Nullstelle der zweiten Ableitung in Funktion ein, Wert entspricht der y-koordinate Kommt GANZ selten vor!

10 Elastizität Weitere Anwendungen Maß für Veränderung der Funktionswerte bei Änderung von x Zwei Varianten Elastizität Punktelastizität nun gegebene Werte einsetzen und Maß interpretieren: Elastizitäten Wertebereich Elastizität Vollkommen elastisch Elastisch Elastisch Grenzbereich Unelastisch Unelastisch Vollkommen unelastisch

11 Differenzierung für Funktionen in mehreren Veränderlichen Erinnerung: Funktionen in mehreren Veränderlichen haben mehrere Eingabewerte Daher: Differenzierung in Bezug auf jeden einzelnen Eingabewert möglich Unterscheidung Partielle Differenzierung Differenzierung nach jedem Parameter Totales Differenzial Differenzierung der gesamten Funktion Partielle Differenzierung Partielle Ableitung erster Ordnung Wähle eine Eingabevariable Interpretiere diese als die einzige Eingabevariable Differenziere nach bekannten Regeln. Wiederhole, bis jede Eingabevariable einmal die einzige war Partielle Ableitung zweiter Ordnung Für jede Ableitung erster Ordnung Algorithmus nochmal durchführen. Kommt praktisch nicht vor.

12 Integration Umkehrfunktion der Differenzierung Berechnet die Fläche unter der Kurve Sinnvoll: Einprägen einiger grundlegender Integrale Einüben der Integrationsregeln Wichtig: Ganz oft Üben! Ableiten ist ein Handwerk, Integrieren eine Kunst! Polynomfunktion Grundintegrale Reziprokfunktion Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen

13 Konstante Faktorregel Summenregel Partielle Integration Substitutionsregel Rechenregeln Bestimmte Integrale Stammfunktion allein nicht immer von Interesse Fläche unter der Kurve in bestimmtem Intervall Dafür Beschränkung des Integrals Berechnung: