Funktionale Abhängigkeiten

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1 Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben von Abhängigkeiten, die durch reelle Funktionen in einer Variablen erfassbar sind (mittels Termen, Tabellen und Graphen), Reflektieren über den Modellcharakter von Funktionen Beschreiben und Untersuchen von linearen und einfachen nichtlinearen Funktionen a (zb x, a x 2, ax 2 bx c, abschnittweise definierte Funktionen) Untersuchen von Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte, Beschreiben von direkten und indirekten Proportionalitäten mit Hilfe von Funktionen Arbeiten mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen 6. Klasse (Reelle Funktionen) Definieren, Darstellen und Untersuchen von Potenzfunktionen, von Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie von Winkelfunktionen (Bogenmaß) Untersuchen von Eigenschaften reeller Funktionen (Monotonie, globale und lokale Extremstellen, Symmetrie, Periodizität) und von Beziehungen zwischen Funktionen (Umkehrfunktionen) Beschreiben von Änderungen durch Änderungsmaße (absolute und relative Änderung, Differenzenquotient) Anwenden von Funktionen zur Beschreibung kontinuierlicher Prozesse, Vergleichen von Modellen, Erkennen der Grenzen von Modellbildungen Kennenlernen von Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Verketten von Funktionen 7. Klasse (Differentialrechnung) Definieren des Differentialquotienten (Änderungsrate), ausgehend vom Differenzenquotienten (mittlere Änderungsrate), Deuten dieser Begriffe als Sekantensteigung bzw. Tangentensteigung, weiteres Deuten in außermathematischen Bereichen Kennen des Begriffes Ableitungsfunktion, Berechnen von Ableitungen elementarer Funktionen Deuten der zweiten Ableitung in inner-und außermathematischen Bereichen Anita Dorfmayr, 10/10/10 Seite 1/5

2 Herleiten von Differentiationsregeln zur Ableitung von Polynomfunktionen, Kennen weiterer Differentiationsregeln (sofern sie für Funktionsuntersuchungen verwendet werden) Untersuchen einfacher und im Hinblick auf Anwendungen sinnvoller Funktionen bezüglich Monotonie und Krümmungsverhalten, Ermitteln von Extrem- und Wendestellen Lösen von Extremwertaufgaben Präzisieren einiger Grundbegriffe und Methoden der Differentialrechnung (insbesondere des Begriffes Grenzwert) unter Einbeziehung des Begriffes Stetigkeit Kennenlernen weiterer Anwendungen der Differentialrechnung 8. Klasse (Integralrechnung, Dynamische Prozesse) Ermitteln von Stammfunktionen Definieren des bestimmten Integrals, Deuten einer Summe von sehr kleinen Produkten der Form f x x als Näherungswert des bestimmten Integrals Kennen des Zusammenhangs zwischen Differenzieren und Integrieren sowie des Hauptsatzes der Differential-und Integralrechnung Berechnen von bestimmten Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen unter Verwendung elementarer Integrationsregeln Arbeiten mit verschiedenen Deutungen des Integrals (insbesondere Flächeninhalt, Volumen, physikalische Deutungen) Beschreiben von Systemen mit Hilfe von Wirkungsdiagrammen, Flussdiagrammen, Differenzengleichungen oder Differentialgleichungen Untersuchen des dynamischen Verhaltens von Systemen Lösen von einfachen Differentialgleichungen, insbesondere y =k y Anita Dorfmayr, 10/10/10 Seite 2/5

3 Grundkompetenz-Katalog Der Grundkompetenz-Katalog ist nach wie vor in Überarbeitung. Folgende Auszüge beziehen sich auf den aktuellen Stand. Den vollständigen Grundkompetenz-Katalog und aktuelle Informationen zum Projekt, Pilottest-Angaben und freigegebene Aufgaben finden Sie online unter: Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Die Begriffe Funktion und reelle Funktion kennen, Beispiele sowie Gegenbeispiele angeben und erklären Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge als Funktionen betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln Aus Tabellen, Graphen1 und Gleichungen (Formeln) Werte(paare) ermitteln Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen und im Kontext deuten : Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Polstellen, Periodizität, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen Einen Überblick über die wichtigsten Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und den Funktionstyp zuordnen Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten, Funktionswerte ermitteln Die Verwendung der Funktion als konstruktives Modell (z. B. Tarife, Zinseszinsen), als erklärendes Modell (z. B. Angebot und Nachfrage, Kosten) und als beschreibendes Modell (z. B. als Trendfunktion) erkennen und zwischen diesen Modelltypen unterscheiden Lineare Funktion f x =k x d Den typischen Verlauf des Graphen kennen Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten : f x 1 =f x k,f x 2 f x 1 x 2 x 1 =k=f ' x Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionsgraphen ermitteln und im jeweiligen Kontext deuten Anita Dorfmayr, 10/10/10 Seite 3/5

4 Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f x =k x Potenzfunktion mit f x =a x z b, z Z oder mit Die typischen Verläufe der Graphen kennen 1 f x =a x 2 b Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f x = a x (bzw. f x =a x 1 ) Polynomfunktion f x = i=0 a i x i n Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion kennen Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen Exponentialfunktion f x =a b x mit a,b R bzw. f x =a e x Die typischen Verläufe der Graphen kennen Die Wirkung der Parameter a und b (bzw. el) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten Charakteristische Eigenschaften (f(x+1) = b f(x); [ex] = ex) kennen und im Kontext deuten Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten Lineare Funktion und Exponentialfunktion strukturell vergleichen Allgemeine Sinusfunktion f x =a sin b x c Den typischen Verlauf des Graphen kennen Die Wirkung der Parameter a, b und c kennen und die Parameter im Kontext deuten Wissen, dass die Funktion cos ein Spezialfall der allgemeinen Sinusfunktion ist und dass gilt: [sin x ]'=cos x,[sin x ]''= sin x Analysis Änderungsmaße Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) Anita Dorfmayr, 10/10/10 Seite 4/5

5 Differentialquotient ( momentane Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal und auch in formaler Schreibweise) Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten Das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten Regeln für das Differenzieren Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k f x ]' und [f k x ]' Ableitungsfunktion / Stammfunktion Den Begriff Ableitungsfunktion / Stammfunktion kennen Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung erkennen und Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) : Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Summation und Integral Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale Anita Dorfmayr, 10/10/10 Seite 5/5