Kapitel 5: Differentialrechnung

Transkript

1 Kapitel 5: Differentialrechnung Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 1 / 23

2 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen und elementare Funktionen 3 Folgen und Reihen 4 Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit 5 Differentialrechnung Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Anwendung: Kurvendiskussion Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 2 / 23

3 Motivation Bislang: Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit... von Funktionen Jetzt: Wie stark und wie rasch nehmen Funktionswerte zu oder ab, wenn sich Werte des Arguments x ändern? Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 3 / 23

4 Motivation Steigung einer Geraden: f (x) f (x 2 ) f (x 1 ) P 1 P 2 f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 α 0 x 1 x 2 x f (x2) f (x1) Geradensteigung: m = x 2 x 1, m = tan α (0 α < 180, α 90 ) Die Geradensteigung gibt an, wie steil die Gerade verläuft. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 4 / 23

5 Motivation Idee: mittlere Steigung zwischen zwei Punkten P 1, P 2 einer beliebigen Funktion durch Geradensteigung messen: f (x) f (x 2 ) P 2 f (x 1 ) P 1 0 x 1 x 2 x Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 5 / 23

6 Motivation mittlere Steigung der Sekante durch P 1 und P 2 : m s = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (Differenzenquotient) Beispiel 5.1 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 6 / 23

7 Motivation Idee: Bestimme die Steigung der Tangente (= Gerade, die Funktionsgraph in einem Punkt berührt) durch Sekantensteigungen, wobei P 2 sich P 1 annähert. f (x) P 2 P 2 P 2 P 1 = (x 1, f (x 1 )) 0 x Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 7 / 23

8 Motivation P 2 wandert zu P 1: Die Sekantensteigung nähert sich mehr und mehr der Tangentensteigung. Formal bedeutet dies: Bilde den Grenzwert des Differenzenquotienten, um die Tangentensteigung zu bekommen. f (x 2 ) f (x 1 ) lim =: f (x 1 ) x 2 x 1 x 2 x }{{ 1 }{{}} (wenn dieser Grenzwert existiert:) Differenzenquotient, der Funktion an der Stelle x 1 Sekantensteigung Steigung der Funktion }{{} Differentialquotient Tangentensteigung Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 8 / 23

9 Definition 5.2 Die Funktion f : I R, I R, heißt in x 0 I differenzierbar (diffbar) oder ableitbar, wenn f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 existiert. Dieser Grenzwert heißt 1. von f an der Stelle x 0 und wird mit f (x 0 ) bezeichnet. Es ist: f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 Alternativ: f (x 0 ) = lim x x0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h Beispiel 5.3 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 9 / 23

10 Beispiel 5.4 Tafel Definition 5.5 a) Eine Funktion f : A R heißt im Intervall [x 1, x 2 ] diffbar, wenn f für jedes x 0 [x 1, x 2 ] diffbar ist. b) Die Funktion f : A R, x f (x) heißt sfunktion von f. Beispiel 5.6 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 10 / 23

11 sregeln Satz 5.7 a) f (x) = c f (x) = 0 b) f (x) = u(x) + c f (x) = u (x) c) f (x) = c u(x) f (x) = c u (x) d) f (x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) e) f (x) = x n, n N f (x) = n x n 1 f) Kettenregel: Ist g in x 0 diffbar und h in g(x 0 ), dann ist f = h g diffbar in x 0 und es gilt: f (x 0 ) = h (g(x 0 )) g (x 0 ) g) Produktregel: Sind u und v auf dem Intervall I diffbar, so ist auch f = u v auf I diffbar und es gilt: f (x) = u (x) v(x) + v (x) u(x) h) Quotientenregel: Sind u und v auf I diffbar und stets v(x) 0, so ist f = u v auf I diffbar und es gilt: f (x) = u (x)v(x) v (x)u(x) (v(x)) 2 Beweis. Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 11 / 23

12 sregeln Beispiel 5.8 Tafel Satz 5.9 f (x) f (x) x 1 x 2 2x x 3 3x 2 x n nx n 1 1 x 1 x 1 2 x 1 2 2x 3 x 1 2 x sin x cos x cos x sin x tan x 1 e x cos 2 x e x ln x 1 x Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 12 / 23

13 Diffbar vs. Stetig Satz 5.10 Ist f in x 0 A diffbar, so ist f in x 0 auch stetig. Beachte: Satz 5.10 ist nicht umkehrbar! Betrachte f (x) = x. Es ist aber x 0 lim x 0 x>0 x 0 lim x 0 x<0 x 0 = lim x 0 x>0 x 0 = lim x 0 x<0 x x = 1 x x = 1 1 Die Betragsfunktion ist zwar (überall) stetig, aber in x 0 = 0 nicht diffbar. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 13 / 23

14 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Sätze zur Differenzierbarkeit und Monotonie Satz 5.11 Ist f diffbar auf I und gilt f (x) > 0 (f (x) < 0) für alle x I, dann ist f auf I streng monoton wachsend (fallend). Beispiel 5.12 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 14 / 23

15 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Notwendige/Hinreichende Bedingungen für Extrema Satz 5.13 (Notwendige Bedingung für Extrema) f hat in x 0 eine Extremstelle (d. h. ein Maximum oder ein Minimum) f (x 0 ) = 0 Definition 5.14 Gibt es bei f : A R eine Umgebung U δ der Stelle x 0 A, so dass für alle x A U δ gilt f (x) f (x 0 ) (bzw. f (x) f (x 0 )), dann nennt man f (x 0 ) ein lokales Maximum (bzw. Minimum) von f. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 15 / 23

16 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Notwendige/Hinreichende Bedingungen für Extrema Definition 5.15 Bildet man die sfunktion der 1. f, so erhält man die 2. f von f. Analog: f Satz 5.16 Sei f : A R in U δ (x 0 ) A zweimal diffbar. Wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 ist, dann hat f in x 0 ein Extremum. Bei f (x 0 ) < 0 ist f (x 0 ) ein Maximum, bei f (x 0 ) > 0 ein Minimum. Beispiel 5.17 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 16 / 23

17 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Konvexe/Konkave Funktionen Definition 5.18 Die auf I diffbare Funktion f heißt auf I konvex (bzw. konkav), wenn f auf I monoton wächst (bzw. fällt). Satz 5.19 Sei f auf I zweimal diffbar. Dann gilt: a) f (x) > 0 x I f konvex auf I und Graph linksgekrümmt b) f (x) < 0 x I f konkav auf I und Graph rechtsgekrümmt Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 17 / 23

18 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Konvexe/Konkave Funktionen Illustration: f (x) x Abbildung: 1. steigt 2. > 0 linksgekrümmt Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 18 / 23

19 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Konvexe/Konkave Funktionen Illustration: f (x) x Abbildung: 1. fällt 2. < 0 rechtsgekrümmt Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 19 / 23

20 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Konvexe/Konkave Funktionen Illustration: f (x) x Abbildung: Übergang Rechtskurve zu Linkskurve Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 20 / 23

21 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Wendepunkt Definition 5.20 Ist f auf I diffbar und geht ihr Graph beim Durchlaufen eines Punktes W = (x 0, f (x 0 )) von einer Rechts- in eine Linkskurve über (oder umgekehrt), so nennt man W einen Wendepunkt und die Stelle x 0 eine Wendestelle von f. Illustration: rot: Wendetangente f (x) x4 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 21 / 23

22 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Wendepunkt Definition 5.20 Ist f auf I diffbar und geht ihr Graph beim Durchlaufen eines Punktes W = (x 0, f (x 0 )) von einer Rechts- in eine Linkskurve über (oder umgekehrt), so nennt man W einen Wendepunkt und die Stelle x 0 eine Wendestelle von f. Illustration: rot: Wendetangente f (x) x4 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 21 / 23

23 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Wendepunkt Definition 5.20 Ist f auf I diffbar und geht ihr Graph beim Durchlaufen eines Punktes W = (x 0, f (x 0 )) von einer Rechts- in eine Linkskurve über (oder umgekehrt), so nennt man W einen Wendepunkt und die Stelle x 0 eine Wendestelle von f. Illustration: rot: Wendetangente f (x) x4 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 21 / 23

24 Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion mittels en Wendepunkt Satz 5.21 (Notwendiges Kriterium) Wenn f : I R in x 0 I zweimal diffbar ist und bei x 0 eine Wendestelle hat, dann ist f (x 0 ) = 0 Satz 5.22 (Hinreichendes Kriterium) Sei f : I R in x 0 I dreimal diffbar. Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0, dann hat f in x 0 eine Wendestelle. Beispiel 5.23 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 22 / 23

25 Anwendung: Kurvendiskussion Anwendung: Kurvendiskussion Jetzt: wende bisheriges Wissen an, um Funktionen näher zu untersuchen, bzgl. 1 Definitionsbereich 2 Symmetrie des Graphs bzgl. y-achse bzw. Ursprung 3 Stetigkeitsuntersuchung und Untersuchung der Funktion in der Nähe von Definitionslücken 4 Verhalten für große Zahlen x 5 Nullstellen, Schnittpunkt mit y-achse 6 Extremwerte und Monotoniebereiche 7 Wendestellen 8 Skizze des Schaubilds aufgrund obiger Erkenntnisse Beispiel 5.24 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 23 / 23