Wirtschafts- und Finanzmathematik

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1 Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2017/ Einführung, R, Grundlagen Grundlagen, Aussagen Aussagen Mengen, Folgen, Reihen Allerheiligen Reelle Funktionen einer Variablen, Stetigkeit Differentialrechnung Differentialrechnung Integration Finanzmathematik Matrizen, Vektoren, Lineare Gleichungssysteme Determinanten, Eigenwerte Weihnachten Weihnachten Puffer, Wiederholung Beginn der Prüfungszeit Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA

2 Grundlagentest Ungleichungen!

3 Testfrage: Ungleichungen 1 Die Lösungsmenge der Ungleichung 2 x 1 1 x + 1 beträgt A ( ; 1) (1; 3] B ( 1; 1) C { 3, 1, 1} D ( ; 3] ( 1; 1) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: D, denn 2(x + 1) 1(x 1) (x 1)(x + 1) 0 x + 3 (x 1)(x + 1) 0 L = ( ; 3] ( 1; 1)

4 Testfrage: Ungleichungen 2 Die Lösungsmenge der Ungleichung et 1 e t 2 0 beträgt A ( ; ) B ( ; 0] (ln 2; ) C (0; ln 2) D ( ; ln 2) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: B, denn e t 1 e t 2 0 Zähler und Nenner 0 oder Z. und N. 0 t 0 und t < ln 2 oder t 0 und t > ln 2 t 0 oder t > ln 2

5 Testfrage: Ungleichungen 3 Die Lösungsmenge der Ungleichung y 4 y ist A {} (leere Menge) B ( ; ) C ( ; ) D ( ; ) ( ; ) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: B (alle Summanden sind negativ)

6 Testauswertung: Übungsmaterial Ihr Ergebnis: 3 Antworten korrekt: Alles richtig ungleich! 2 Antworten richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 8.1 und 8.2 aus dem ersten Buch! Nur 1 Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem ersten Buch! Keine Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem ersten Buch sowie die Aufgabe 23 aus dem zweiten Buch! Aufgaben aus S. 61: Aufgabe 23 aus

7 Gliederung 1 Grundlegende Bausteine 2 Aussagenlogik 3 Mengen 4 Folgen und Reihen 5 Reelle Funktionen 6 Differentialrechnung 7 Integration 8 Finanzmathematik 9 Lineare Algebra 6 Differentialrechnung Differentialquotient und Änderungsrate und Kurvendiskussion Opitz u. a., (2017, Kapitel 11, 12.1, 12.2)

8 Warum Differentialrechnung? Anwendungen Analyse und ökonomische Interpretation wirtschaftswissenschaftlicher Gesetzmäßigkeiten durch Untersuchung der Charakteristika von Funktionen Ermittlung von optimalen Lösungen betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme wie zum Beispiel Absatzmengenplanung, Loßgrößenplanung etc. Wesentliche Lernziele Verständnis des Differentialquotienten Fähigkeit, eine Funktion zu differenzieren Bestimmung und Interpretation von Änderungsraten und en Durchführung und Interpretation von Kurvendiskussionen 115

9 Preisbestimmung beim Angebotsmonopol Bekannt sind folgende Zusammenhänge: p(x) = c 1 c 2 x (Preis-Absatz-Funktion) K(x) = c 3 + c 4 x (Kostenfunktion) (mit c 1, c 2, c 3, c 4 R + Konstanten) Damit ergibt sich: Umsatzfunktion: U(x) = c 1 x c 2 x 2 Gewinnfunktion: G(x) = U(x) K(x) = c 1 x c 2 x 2 (c 3 + c 4 x) Fragen: Welche Menge/Welcher Preis ist Umsatz-/Gewinnmaximal? Welche Veränderung des Umsatzes ergibt sich bei einer Veränderung der Absatzmenge? 116

10 Differenzenquotient: Idee Tour de France: Anstieg nach L Alpe d Huez Länge des Anstiegs: 13,9 km Auf einer Höhe von 740 m beginnen die 21 Kehren Zielankunft liegt auf 1850 m Bestimmung von Steigungen: Höhendifferenz Distanz 117

11 Differenzenquotient Gegeben: Reelle Funktion f : D R mit D R Dann heißt der Ausdruck f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 Differenzenquotient (Steigung) von f im Intervall [x 1, x 2 ] D Alternative Schreibweise, dabei Ersetzen von x 2 durch x 1 + x 1 : f(x 1 + x 1 ) f(x 1 ) f(x) f (x 1 + x 1 ) f (x 1 ) x 1 = f (x 1) x 1 x 1 A x 1 B x 1 + x 1 f(x 1 ) x f f f x 1 x 1 x 1 Differentialquotient einer reellen Funktion 118

12 Differentialquotient Eine reelle Funktion f : D R mit D R heißt an der Stelle x 1 D differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. lim x 1 0 f(x 1 ) x 1 Ist f an der Stelle x 1 differenzierbar, heißt lim x 1 0 = lim x 1 0 = f(x 1 ) x 1 f(x 1 + x 1 ) f(x 1 ) x 1 df dx 1 (x 1 ) = f (x 1 ) Differentialquotient oder erste von f an der Stelle x 1. f heißt in D differenzierbar, wenn f für alle x D differenzierbar ist. G. W. Leibniz ( ) I. Newton ( ) 119

13 f) g6.x/ D x2 C x3 e x

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15 sregeln Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (soweit definiert) von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar. Summenregel: (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) Produktregel: (f g) (x) = f(x) g(x) + f(x) g (x) Daraus ergibt sich für eine Konstante c: (c f) (x) = c f (x) Quotientenregel: ( z n ) (x) = z (x) n(x) z(x) n (x) (n(x)) 2 Kettenregel: (g f) (x) = [g (f(x))] = g (f(x)) f (x) 120

16 elementarer Funktionen Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R. Dann gilt: f(x) f (x) ln x 1 x log a x 1 x ln a e x a x x b sin x e x a x ln a bx b 1 cos x cos x sin x 121

17 en höherer Ordnung Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R Wenn der Differentialquotient f : D R in x D differenzierbar ist, dann heißt df (x) dx = d2 f(x) (dx) 2 = f (x) zweite oder Differentialquotient zweiter Ordnung von f in x D. Analog für n = 2,3,...: d dx ( f (n 1) (x) ) = d dx ( d (n 1) f(x) (dx) (n 1) ) = f (n) (x) f (n) (x) bezeichnet dabei die n-te von f in x D. f heißt n-mal stetig differenzierbar in D, wenn f in D stetig und in jedem Punkt x D n-mal differenzierbar ist 122

18 Definition Voraussetzung: D R und f : D R ist differenzierbar. Dann heißt ρ f (x) = f (x) f(x) Änderungsrate von f und ϵ f (x) = f (x) f(x) x = ρ f (x) x von f. = f (x) x f(x) f f.x/ ae bx " f.x/ D x% f.x/ D bx Für die Exponentialfunktion der Form f ist die Änderungsrate konstant. Die wächst linear mit x. Für Für a Df mit 10 9 f(x) ; b D= 4 ergibt 10 9 sich e 4x soergibt beispielsweise sich Beispiel (Opitz u. a., 2017, Beispiel 11.28, S.148) " f ϵ.x/ f (x) D 4x = : 4x Damit erhalten wir z. B. für x D 6 eine von Damit " f.6/ bei D 24. x = 6: ϵ f (6) = : :49 26 f.x/ 6 f.x/ 6:06 Erhöhung von x D 6 um 1 % auf x D 6:06 Tangente (Marginale) Erhöhung von f.6/ 26:49 um 24 % auf ca. 32:85 Abbildung 11.8: von f bei x D 6 Opitz u. a., (2017, S. 148) x Das bedeutet, dass sich bei einer einprozentigen Erhöhung von x D 6 auf x D 6:06 der Funktig g.x/ " g.x/ D x% g.x/ Für die Potenzfunktion derungsrate mit wachsen dagegen konstant. Satz Seien f; g differenzierba a) g.x/ D cf.x/.c 0 b) % f g.x/ D f.x/% f f c) % fg.x/ D % f.x/ C d) % f =g.x/ D % f.x/ e) % gıf.x/ D f.x/% g f) g D f 1 ) f.x/% Beweis a) % g.x/ D g0.x/ g.x/ D cf 0 cf Alle anderen Aussagen erhäl Definition für die Änderungsr Differentiationsregeln (Satz 11 Im Einzelnen lassen sich d terpretieren: Nach Satz a sind d Funktionen f und123g, dere

19 Elastische versus unelastische Funktionen Definition Für ϵ f (x) > 1 reagiert die relative Änderung von f(x) überproportional auf relative Änderungen von x, die Funktion f heißt im Punkt x elastisch. Für ϵ f (x) < 1 bezeichnen wir die Funktion f im Punkt x als unelastisch. Beispiel f(x) = ae bx mit a, b 0 ρ f (x) = f (x) f(x) = abebx ae bx = b und ϵ f(x) = x ρ f (x) = bx Die Änderungsrate der Exponentialfunktion ist also konstant Die wächst linear mit x. 124

20 Steigung und erste Beweis a1) f monoton wachsend in Œa; b und x; x C x 2.a; b/ ) x > 0 ) f.x C x/ f.x/ 0 Gegeben: ) f.x C x/ f.x/ 0 x f : [a, b] R ist stetig und differenzierbar ) f 0 f.x C x/.x/ D limauf (a, b). x!0 x a2) f 0.x/ 0 für alle x 2.a; b/ ) Für alle x 1 ; x 2 2 Œa; b mit x 1 < x 2 Dann existiert gilt: ein x 0 2.x 1 ; x 2 / mit f monoton wachsend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f monoton fallend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f.x/ 0 f.x 2 / f.x 1 / D f 0.x 0 / 0 (Satz 12.1 a, b) x 2 x 1 ) f.x 2 / f.x 1 / ) f monoton wachsend in Œa; b b) Der Beweis verläuft analog zu a). c) f konstant in Œa; b () f ist gleichzeitig monoton wachsend und fallend in Œa; b f konstant in [a, b] f (x) = 0 für () f alle x 0.x 0 / 0; f (a, b) 0.x/ 0 für alle x 2.a; b/ () f 0.x/ D 0 für alle x 2.a; b/ f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng monoton wachsend in [a, b] d), e) Der Beweis verläuft analog zu a) bzw. b). Wir fassen die wichtigsten Aussagen des Satzes 12.2 zusammen: f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng monoton fallend in [a, b] Eine in Œa; b stetige und in.a; b/ differenzierbare Funktion f ist genau dann monoton wachsend [bzw. monoton fallend], wenn Beispielsweise sei die in Abbildung 12.3 dargestellte Funktion f konstant in Œa 0 ; a 1, also zugleich monoton wachsend und fallend, ferner in Œa 1 ; a 2 streng monoton wachsend und in Œa 2 ; a 4 streng monoton fallend, aber f 0.a 3 / D 0. f.x/ f 0.x/ D 0 f 0.x/ > 0 f 0.a 2 / D 0 f 0.x/ < 0 f 0.x/ < 0 f 0.a 3 / D 0 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 Abbildung 12.3: Monotonie einer differenzierbaren Funktion Opitz u. a., (2017, S. 153) Satz 12.3 Die Funktion f sei in Œa; b stetig und in.a; b/ zweimal differenzierbar. Dann gilt: a) f konvex in Œa; b () f 00.x/ 0 für alle x 2.a; b/ b) f konkav in Œa; b () f 00.x/ 0 für alle x 2.a; b/ c) f beschreibt eine Gerade x 125

21 Krümmung und zweite Gegeben: f : [a, b] R ist stetig und zweimal differenzierbar auf (a, b). Dann gilt: f konvex in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f konkav in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f beschreibt eine Gerade in [a, b] f (x) = 0 für alle x (a, b) f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng konvex in [a, b] f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng konkav in [a, b] te Funktion f konstant in Œa 1 ; a 2, streng monoton wachsend in Œa 0 ; a 1 und Œa 2 ; a 4. Sie ist ferner konkav in Œa 0 ; a 2, Œa 3 ; a 5 und Œa 6 ; a 7 bzw. konvex in Œa 1 ; a 3 und Œa 5 ; a 7. Streng konkav ist sie dann in Œa 0 ; a 1 und Œa 3 ; a 5 (hellblau markiert), streng konvex in Œa 2 ; a 3 und Œa 5 ; a 6 (hellgrau). f 00.x/ < 0 f.x/ f 00.x/ D 0 f 0.x/ D 0 f 00.x/ D 0 f 00.x/ > 0 f 00.x/ < 0 f 00.x/ D 0 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 Abbildung 12.5: Konvexität und Konkavität einer differenzierbaren Funktion Opitz u. a., (2017, S. 154) f 00.x/ > 0 f 00.x/ D 0 x c 0 Abbildung 12.6: Qu Für die Stückkostenfu gilt: c.x/ x D c 2x c.x/ 0 D x () c 2 x 2 () x 2 c c c.x/ 00 D x 126

22 Beispiel f : R R mit f(x) = xe x f (x) = e x xe x = (1 x)e x Damit: f (x) 0 für x 1 und f (x) 0 für x 1 f mon. wachsend für x 1 und f mon. fallend für x 1 f global maximal bei x = 1 f (x) = e x (1 x)e x = (x 2)e x f (x) 0 für x 2 und f (x) 0 für x 2 f konvex für x 2 und f konkav für x Kapitel 12 K f.x/ 1e 1 2e 2 0:2 3e 3 0:1 1 Abbildung 12.10: Graph der Funktion f mit f.x/ D xe x Beispiel 12.7 Für die Funktion f W R C! R mit gilt: Opitz u. a., (2017, S. 156) 2 f.x/ D x C sin x f 0.x/ D 1 C cos x 0 3 x für x 2 R C Die Funktion ist für alle x 0 streng monoton wachsend (Abbildung 12.11) Extremwertbestimmun Offensichtlich 4. Folgen sind undwir Reihen mit Hilfe de der Konvexität bzw. Konkavität in d venverlauf einer Funktion prinzipiel chen. Wir dürfen daher auch erwart und Minimalstellen 6.1. Differentialquotient einerund reellen Funktion mit Hilfe von en können. Satz 12.8 Die Funktion f sei in.a; b/ diff besitze in x 0 2.a; b/ ein lokales Minimum. 9. Lineare DannAlgebra gilt Beweis f 0.x 0 / D 0 : Besitzt f in x 0 2.a; b/ ein lokales Ma ein r > 0 mit f.x 0 / f.x/ für alle x 2 (Definition 9.13). Daraus folgt: f.x 0 C x/ f.x 0 / 0 127

23 Charakteristische Punkte Definition Wendepunkt f(x) hat in x 0 (a, b) einen Wendepunkt wenn es ein r > 0 gibt mit f ist in [x 0 r, x 0 ] streng konvex und f ist in [x 0, x 0 + r] streng konkav und (oder umgekehrt) Definition Terrassenpunkt x 0 ist Terrassenpunkt wenn x 0 Wendepunkt ist und f (x) = 0 128

24 Extremumsbedingung Voraussetzung f zweimal stetig differenzierbar in (a, b) und f (x 0 ) = 0 mit (x 0 (a, b)) Dann gilt f (x 0 ) < 0 x 0 ist lokales Maximum von f f (x 0 ) > 0 x 0 ist lokales Minimum von f f (x) < 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Maximum von f f (x) > 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Minimum von f 130

25 Lokales versus globales Maximum Der Finanzminister endlich mal wieder oben auf (Zeichnung: Haitzinger, 2009) 129