Anwendungen der Differentialrechnung

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1 KAPITEL 7 Anwendungen der Differentialrechnung 7.1 Maxima und Minima einer Funktion Mittelwertsatz Kurvendiskussion Totales Differential und Fehlerrechnung Zusammenfassung Lernziele 7 lokale/globale Maximum bzw. Minimum, Maximal- bzw. Minimalstelle, Extremum, stationäre Punkte, notwenige und hinreichende Bedingungen für Extrema, Kandidaten für lokale Extrema in abgeschlossenen Intervallen, Wendepunkte, Krümmungsverhalten, Begriffe: konkav, konvex (von unten), Kurvendiskussion, totales Differential, Fehler- und Näherungsrechnung. 140

2 7.1. Maxima und Minima einer Funktion 7.1 Maxima und Minima einer Funktion Definition 7.1 Es sei f : R D æ R eine auf D erklärte Funktion. Die Funktion f hat in a œ D eine globales oder auch absolutes Maximum (bzw. Minimum) wenn f (x) Æ f (a) (bzw. f (x) Ø f (a)) für alle x œ D gilt. In diesem Fall heißt a globale Maximalstelle (bzw. Minimalstelle) und f (a) globales Maximum (bzw. Minimum). b œ D heißt lokales oder auch relatives Maximum (bzw. Minimum), wenn es ein (evtl. kleines) Intervall I um b gibt, so dass f (x) Æ f (b) (bzw. f (x) Ø f (b)) für alle x œ D fl I. Minima und Maxima sind Extrema. Lemma 7.1 x 0 ist Minimalstelle von f x 0 ist Maximalstelle von f. 141

3 7.1. Maxima und Minima einer Funktion Satz 7.2 Ist f eine auf dem offenen Intervall I differenzierbare Funktion, so gilt: Ist x 0 œ I eine Extremstelle von f, dann ist f Õ (x 0 ) = 0. Ein Punkt x œ D mit f Õ (x) = 0 heißt stationärer Punkt. Beweis: Es sei x 0 eine Maximalstelle in (x 0, x 0 + ), > 0. D.h. und damit f (x) Æ f (x 0 ) für alle x œ (x 0, x 0 + ) f (x) f (x 0 ) x x 0 Ø 0 für x 0 < x < x 0 gilt f Õ (x 0 ) = lim xæx 0 Analog ergibt sich f (x) x Ø 0. f Õ (x 0 ) = lim xæx 0 + f (x) x Æ 0 und damit f Õ (x 0 ) = 0.# Die Bedingung f Õ (x 0 ) = 0 ist zwar notwendig für ein Extremum, aber nicht hinreichend wie das Beispiel f (x) =x 3 in x = 0 zeigt. Der Satz gibt auch keine Ausskunft über Extremalstellen an den Intervallenden, an Spitzen oder anderen Stellen, in den f nicht differenzierbar ist. D.h. Bemerkung 7.3 Die Kandidaten für Extremalstellen von f : I æ R sind: 1. die Randpunkte des Intervalls I, 2. die Punkte, in denen f nicht differenzierbar ist, 3. die stationären Punkte aus dem Innern des Intervalls I. 142

4 7.1. Maxima und Minima einer Funktion Beispiel 7.4 Es sei f (x) = sin x # $ und I = 0, 5fi 2 R. Um die Extrema und die Extremalstellen zu bestimmen, betrachten wir 1. Randpunkte: sin 0 = 0 und - - sin 5fi = In x = fi und x =2fi ist die Funktion sin x nicht differenzierbar, da f Õ (fi+) = cos fi = 1 aber f Õ (fi ) = cos fi = 1. Analog für x =2fi. Es ist sin fi = sin(2fi) = In den Intervallen (0, fi), (fi, 2fi) und (2fi, 5fi ) ist f (x) = sin x 2 differenzierbar und es gilt: ;! " f Õ (sin x) Õ = cos x, für x œ (0, fi) und 2fi, 5fi (x) = 2, ( sin x) Õ = cos x, für x œ (fi, 2fi). Die stationären Stellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung in den Intervallen: 2k +1 cos x = 0 für x = fi, k œ Z, 2 davon liegen in den von uns betrachteten Intervallen: - x = fi und x = 3fi = 1. Die dazugehörigen Funktionswerte sind - - sin fi 2 - = - -sin 3fi 2 Damit sind x = 0, fi, 2fi lokale und globale Minimalstellen mit dem Minimum 0 und x = fi, 3fi, 5fi lokale und globale Maximalstellen mit dem Maximum 1. Wie man auch leicht an dem Graphen der Funktion ablesen kann 143

5 7.2. Mittelwertsatz f (x) = sin(x) 7.2 Mittelwertsatz Die folgenden Beobachtungen bilden das Fundament für weiterführende Betrachtungen. Satz 7.5 (Mittelwertsatz) Ist die Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a, b) diferenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt x 0 œ (a, b) mit f Õ (x 0 )= f (b) f (a). b a 144

6 7.2. Mittelwertsatz Mittelwertsatz der Differentialrechnung Tangente im Punkt ( x 0,f( x 0 )) mit a< x 0 <b tan α = f '(x 0 ) α f(b) B Kurvensehne durch A=(a,f(a)) und B=(b,f(b)) f(a) A α Länge b - a Länge f(b)-f(a), tan α = y=f(x) f(b)-f(a) b - a a x 0 b Beweis: Wir betrachten die Funktion F(x) =f (x) (x b) (f (b) f (a)). (b a) Sie ist im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und hat deshalb nach Satz 5.34 wenigstens eine Extremalstelle x 0 wegen F (a) =F (b) =f (b) liegt diese in (a, b), somit gilt F Õ (x 0 ) = 0 und das bedeutet: F Õ (x 0 )=f Õ (x 0 ) (f (b) f (a)) (b a) = 0. # Bemerkung: Anschaulich bedeutet der Mittelwertsatz, dass für mindestens ein x 0 œ (a, b) die Kurventangente parallel zur Sehne AB ist. 145

7 7.2. Mittelwertsatz Satz 7.6 (Monotonieverhalten.) Für eine im Intervall I differenzierbare Funktion f gilt: 1. f Õ (x) > 0 auf I f ist auf I echt monoton wachsend. 2. f Õ (x) < 0 auf I f ist auf I echt monoton fallend. 3. f Õ (x) Ø 0 auf I f ist auf I monoton wachsend. 4. f Õ (x) Æ 0 auf I f ist auf I monoton fallend. 5. f Õ (x) = 0 auf I f ist auf I konstant. Beweis: Wir beschränken uns auf die Aussagen für (1). Zu x 1 < x 2 œ I gibt es nach dem Mittelwertsatz 7.5 und der Voraussetzung ein x 0 mit x 1 < x 0 < x 2 mit f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = f Õ (x 0 ) > 0. Folglich ist f (x 2 ) > f (x 1 ). Alle anderen Fälle lassen sich analog behandeln. # 146

8 7.2. Mittelwertsatz Folgerung: Für zwei auf einem Intervall I differenzierbare Funktionen f und g folgt: f Õ (x) =g Õ (x) für alle x œ I f (x) =g(x)+c für alle x œ I (7.1) mit einer Konstanten C œ R. (7.2) Satz 7.7 (1. Extremwert-Test) Es sei f eine auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion f mit einem stationären Punkt x 0 œ (a, b). 1. Wenn f Õ (x) an der Stelle x 0 von negativ nach positiv ändert, dann hat f in x 0 ein lokales Minimum. 2. Wenn f Õ (x) an der Stelle x 0 von positiv nach negativ ändert, dann hat f in x 0 ein lokales Maximum. 3. Wenn f Õ (x) auf beiden Seiten von x 0 negativ oder auf beiden Seiten von x 0 positiv ist, dann hat f in x 0 kein lokales Extremum. 147

9 7.3. Kurvendiskussion Satz 7.8 (2. Extremwert-Test) Ist f auf (a, b) zweimal stetig differenzierbar und x 0 œ (a, b) ein stationärer Punkt, dann gilt 1. f ÕÕ (x 0 ) < 0 f hat in x 0 ein lokales Maximum, 2. f ÕÕ (x 0 ) > 0 f hat in x 0 ein lokales Minimum. Beweisidee: Die erste Ableitung f Õ ist in einer kleinen Umgebung von x 0 streng monoton wachsend bzw. fallend und hat in x 0 einen Vorzeichenwechsel. # 7.3 Kurvendiskussion Krümmungsverhalten Definition 7.9 Eine Funktion f heißt konkav auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebige Punkte (x 0, f (x 0 )) und (x 1, f (x 1 )) im Bereich zwischen diesen Punkten auf oder unterhalb des Funktionsgraphen von f liegt: f ((1 t)x 0 + tx 1 ) Ø (1 t)f (x 0 )+tf (x 1 ) 0 Æ t Æ 1, x 0 < x 1, konvex auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebige Punkte (x 0, f (x 0 )) und (x 1, f (x 1 )) im Bereich zwischen diesen Punkten auf oder oberhalb des Funktionsgraphen von f liegt: f ((1 t)x 0 + tx 1 ) Æ (1 t)f (x 0 )+tf (x 1 ) 0 Æ t Æ 1, x 0 < x 1, 148

10 7.3. Kurvendiskussion Satz 7.10 (Krümmung) Die Funktion f sei auf dem offenen Intervall I zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt 1. f ÕÕ > 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f (x) konvex (Linkskrümmung). 2. f ÕÕ < 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f (x) konkav (Rechtskrümmung). Definition 7.11 Diejenigen Punkte, in denen y = f (x) von konvex (einer Linkskrümmung) nach konkav (in eine Rechtskrümmung) oder umgekehrt übergehen, heißen Wendepunkte. Bemerkung 7.12 Kandidaten für Wendepunkte von f : I æ R sind: 149

11 7.3. Kurvendiskussion 1. die Punkte aus I, in denen f ÕÕ nicht existiert; 2. die Punkte aus I, in denen f ÕÕ = 0 ist. Beispiele: f ' ' 0 f ' '=0 f ' ' 0 f ' ' 0 f ' ' 0 f ' ' 0 f ' ' 0 x 0 x 0 x 0 Satz 7.13 (Wendepunkt-Test) f ÕÕ (x 0 ) = 0, f ÕÕÕ (x 0 ) = 0 f hat in x 0 einen Wendepunkt. Beweis: Nach dem 2. Extremwerttest (siehe Seite 148) ist in x 0 eine Extremalstelle der Ableitung, also ein Wendepunkt. # Kurvendiskussion eines Graphen Ziel einer Kurvendiskussion ist die Feststellung Verhaltens eines Graphen einer Funktion y = f (x). Im folgenden geben wir eine Liste der Punkte an, die bei einer Kurendiskussion untersucht werden können: 1. Definitions- und Wertebereich. Hier ist der maximale Definitionsbereich für die Funktion y = f (x) gemeint. Man achte insbesondere auf Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist und untersuche diese dahingehend, ob die Funktionen stetig ergänzt werden kann (ob eine hebbare Unstetigkeit vorliegt). 150

12 7.3. Kurvendiskussion 2. Symmetrie. Ist die Funktion f (x) symmetrisch zur y-achse, d.h. gilt für alle x : f ( x) =f (x), so nennt man f eine gerade Funktion. Ist f (x) symmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt für alle x : f ( x) = f (x), so nennt man f eine ungerade Funktion. 3. Pole. Hat f (x) die Form f (x) = g(x) mit g(x) stetig und g(x (x x 0 ) k 0 ) = 0, so besitzt f (x) für ungerade k einen Pol mit Vorzeichenwechsel, für gerade k eine Pol ohne Vorzeichenwechsel in x Verhalten im Unendlichen. Bestimmung der Grenzwerte lim f (x) und xæœ lim f (x), falls sie existieren. xæ Œ Untersuchung auf Asymptoten. Eine Gerade y = ax + b heißt Asymptote von f (x) für x æ ±Œ, falls gilt lim (f (x) ax b) = 0. Dabei ist b = 5. Nullstellen. lim (f (x) ax) und a = lim x汜 x汜 x汜 f (x) x. 6. Bestimmung der Extrema und Extremalstellen, Monotonieverhalten Man untersuche alle Kandidaten für Extrema. 7. Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Man untersuche alle Kandidaten für Wendepunkte. 8. Skizze. Beispiel 7.14 Für die folgende Funktion sei eine Kurvendiskussion durchzuführen: y = f (x) = 2x 2 +3x 4 x Definitionsbereich: R\{0}. Die Funktion kann für x = 0 nicht stetig ergänzt werden, da der Grenzwert 2x 2 +3x 4 lim xæ0 x 2 151

13 7.3. Kurvendiskussion nicht existiert, da 2x 2 +3x 4 lim xæ0 x 2 = lim 2+ 3x 4 xæ0 x 2 = Œ. Den! Wertebereich erhält man aus den späteren Resultaten zu Œ, f ( 8 ) 2.56" Symmetrie: Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. 3. Pole: x 0 = 0 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. 4. Asymptoten: 2x 2 +3x 4 lim = 2, x汜 x 2 (und f (x) lim x汜 x ) Die Asymptote ist also y = Nullstellen: 2x 2 +3x 4 = lim = 0. x汜 x 3 f (x) =0 2x 2 +3x 4=0 Ú x 1/2 = 3 4 ± = 1 4 ( 3 ± Ô 41). x und x Extrema: 1. Randpunkte gibt es nicht zu untersuchen, da die gesamte reelle Achse betrachtet wird. 2. Die Funktion ist in x 0 = 0 weder definiert noch stetig, noch differenzierbar. 3. y Õ = (4x + 3)x 2 2x(2x 2 +3x 4) = 4x 3 +3x 2 4x 3 6x 2 +8x (x 2 ) 2 x 4 = 3x +8 x 3 = 0 für x 3 = 8 3. Weiterhin ist y ÕÕ = 3x 3 3x 2 ( 3x + 8) x x= 8 3 = 6x 24 x x= 8 3 = ! 8 3" 4 < 0 152

14 7.3. Kurvendiskussion Somit hat f (x) in x 3 = 8 ein lokales Maximum mit f (x 3 3) Monotonie: I < 0: 8 < x < Œ, echt monoton fallend, y Õ 3 (x) = > 0: 0< x < 8, echt monoton wachsend, 3 < 0: Œ < x < 0, echt monoton fallend. 7. Wendepunkte: Die Funktion ist in x 0 = 0 nicht definiert. Da aber rechts und links von x 0 = 0 die zweite Ableitung existiert und dasselbe Vorzeichen hat, ist x 0 = 0 kein Wendepunkt. Weiterhin ist y ÕÕ =0 x = x 4 = 4 mit f (x 4 )= 5 2 und es ist y ÕÕÕ (x 4 )= 6x 4 4x 3 (6x 24) x x=4 = 18x x 3 x x=4 und deshalb ist x 4 = 4 ein Wendepunkt. Krümmungverhalten: I > 0: 4< x < Œ, konvex von unten, y ÕÕ (x) = < 0: 0< x < 4, konvex von oben, < 0: Œ < x < 0, konvex von oben. 8. Skizze: =6 = 0 153

15 7.3. Kurvendiskussion Beispiel 7.15 Bestimmung der Asymptoten ax + b. Die Funktion hat die Asymptote f (x) = 2x 2 4x x +1 g(x) =2x 6 für x æ ±Œ. Dies sieht man an der Polynomdivision: (2x 2 4x) :(x + 1) = 2x 6+ 6 x +1. Alternativ kann man auch rechnen lim f (x) x = a : lim xæœ 2x 2 4x (x+1) x 2x 2 4x = lim xæœ x(x + 1) 2 4 x = lim xæœ 1+ 1 x = 2. Analog für x æ Œ, folglich ist a = 2. Damit ergibt sich b aus 3 4 2x 2 4x lim xæœ (x + 1) 2x Analog für x æ Œ. 2x 2 4x 2x 2 2x = lim xæœ x +1 = lim xæœ 6x x +1 = lim xæœ x =

16 7.4. Totales Differential und Fehlerrechnung 7.4 Totales Differential und Fehlerrechnung Definition 7.16 Ist f : I æ R eine in x 0 differenzierbare Funktion, so heißt dy = df (x 0 )=f Õ (x 0 )(x x 0 ) totales Differential von f an der Stelle x 0. Beispiel 7.17 Für die Funktion f (x) =x erhält man dy = dx =1 (x x 0 )= x. 155

17 7.4. Totales Differential und Fehlerrechnung Bemerkung 7.18 Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Differential ist gegeben durch (Dies ist richtig an jeder Stelle x = x 0.) dy = df (x) =f Õ (x)dx. Beispiel 7.19 Wegen y dy f (x 0 + h) f (x 0 ) f Õ (x 0 )(x 0 + h x 0 )=f Õ (x 0 )h ergibt sich für f (x) = Ô x nahe x 0 > 0: f (x 0 + h) f Õ (x 0 )h + f (x 0 ) Ô x 0 + h Ô x 0 + Für x 0 = 1, 96 und h = 0, 04 erhält man Ô 1 2 1, 4 + 0, 04 = 1, , 4 den auf 7 Stellen genauen Wert von Ô 2 = 1, Ô x 0 h. Beispiel 7.20 Für f (x) = 1 + sin(x) und x 0 = 0 erhält man f Õ (x) = cos(x) und damit: y = f (x) f (x 0 ) = 1 + sin(x) (1 + sin(0)) = sin(x) und Sowie die Näherung dy = f Õ (x 0 )(x x 0 ) = cos(0) x. y dy f (x) f (x 0 ) f Õ (x 0 ) (x x 0 ), also f (x) f (x 0 )+f Õ (x 0 ) (x x 0 ) bzw. 1+sin(x) 1+sin(0)+cos(0) x 1+sin(x) 1+x. Für x 0 = 0 und x = 1, 24 gilt: y = 1 + sin(1, 24) (1 + sin(0)) = sin(1, 24) und dy = cos(0)(1, 24 0) = 1, 24: 156

18 7.4. Totales Differential und Fehlerrechnung Näherungsweise: 1 + sin(1, 24) 1 + sin(0) + dy = 1 + sin(0) + 1, 24 = 2, 24, während der tatsächliche Wert 1 + sin(1, 24) 1, 946 ist. Beispiel 7.21 Fehlerrechnung: Die Kantenlänge eines Würfels ist 5m ± 0, 01m. Bestimmen Side den absoluten und den relativen Fehler bei der Berechnung des Würfelvolumens. V (x) =x 3. V dv = V Õ (x 0 )(x 0 + h x 0 )=3x 2 0 h =3 5 2 m 2 0, 01m = 0, 75m 3. V V 0, 75m3 5 3 m = 0, 006 = 0, 6%. 157

19 7.4. Totales Differential und Fehlerrechnung 158