Die Ableitung einer Funktion

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1 Die Ableitung einer Funktion I. Definition der Ableitung Definition. Sei I R ein Intervall und f : I R. 1) f eißt differenzierbar an x 0 I, wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 existiert. Ist dabei x 0 linker bzw. recter Randpunkt von I, dann eißt f an x 0 rectsseitig bzw. linkseitig differenzierbar. ) Die so punktweise definierte Funktion f : I R mit D(f ) = {x 0 I : f (x 0 )} eißt Ableitung von f. Ist f stetig auf X 0 D(f ), so eißt f stetig differenzierbar auf X 0 und man screibt f C 1 (X 0 ). Bemerkungen. i) Offenbar gilt : f ist an x 0 differenzierbar der Differenzenquotient f(x) f(x 0) x x 0 ist an der Stelle x 0 stetig ergänzbar. ii) Die öeren Ableitungen lassen sic rekursiv definieren : f = (f ),..., f (n) = (f (n 1) ) iii) Der Grenzwert des Differenzenquotienten wird auc als Differentialquotient bezeicnet und man screibt df dx (x 0) = f (x 0 ). Beispiele. 1) Die konstante Funktion f : R R mit f(x) = a x R ist für jedes x 0 R differenzierbar und es gilt f (x) = 0 x R. ) Die Funktion f : R R mit f(x) = x n x R (n N) ist auf ganz R differenzierbar. Es gilt (siee früer) : f (x) = nx n 1 x R. 1

2 3) Die Funktion f : R R mit f(x) = x x R ist auf ganz R stetig und an x 0 = 0 nict differenzierbar. f(x) f(0) lim x 0 + x 0 x 0 x 0 + x 0 An jeder Stelle x 0 0 ist f f(x) f(0) = 1 und lim x 0 x 0 allerdings differenzierbar. x 0 x 0 x 0 = 1. Satz. f : I R differenzierbar an x 0 f stetig in x 0. Beweis. Sei (x n ) eine Folge aus I mit x n x 0 und x n x 0. Dann gilt f(x n ) f(x 0 ) = f(x n) f(x 0 ) (x n x 0 ) f (x 0 )(x n x 0 ) 0. Bemerkung. Es gibt allerdings stetige Funktionen, die an keinem Punkt ires Definitionsbereices differenzierbar sind. Definition. Eine Funktion f : I R eißt an x 0 linear approximierbar, wenn es eine Zal c R gibt und eine in U(x 0 ) I definierte Funktion f 0 (x), sodass in U(x 0 ) I gilt: i) f(x) = f(x 0 ) + c(x x 0 ) + x x 0 f 0 (x) ii) lim f 0 (x) = 0. x x0 Satz. f : I R ist an x 0 differenzierbar f ist an x 0 linear approximierbar. Beweis. : Setze c = f (x 0 ) und f 0 (x) =, sowie f 0 (x 0 ) = 0. Dann ist f 0 (x) in x 0 stetig. [ f(x) f(x0 ) x x 0 ] x x c 0 x x 0 wenn x x 0 : f(x) f(x lim 0 ) x x0 x x 0 x x0 (c + x x 0 x x 0 f 0 (x)) = c. Definition. f : I R eißt an x 0 I Lipscitz-stetig, wenn

3 U(x 0 ) M > 0 mit f(x) f(x 0 ) M x x 0 x U(x 0 ) I. Man sagt auc, f genüge an der Stelle x 0 einer Lipscitz-Bedingung und M eißt dann Lipscitz-Konstante. Satz. Sei f : I R an x 0 differenzierbar. Dann ist f an x 0 Lipscitz-stetig. Beweis. f ist an x 0 linear approximierbar, also f(x) = f(x 0 ) + c(x x 0 ) + x x 0 f 0 (x). Daraus folgt f(x) f(x 0 ) ( c + f 0 (x) ) x x 0 = M x x 0. II. Ableitungsregeln Satz. f, g : I R seien an x 0 I differenzierbar. Dann gilt 1) f ± g sind an x 0 differenzierbar und (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) ) f g ist an x 0 differenzierbar und (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 )... Produktregel 3) Falls g(x 0 ) 0, ist f g an x 0 differenzierbar und ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g (x 0 )... Quotientenregel Beweis. Gelte x n x 0 (für die Produktregel) mit x n x 0. Dann ist f(x n )g(x n ) f(x 0 )g(x 0 ) = [f(x n )g(x n ) f(x n )g(x 0 )]+[f(x n )g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 )] = f(x n ) g(x n) g(x 0 ) + f(x n) f(x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) + f (x 0 )g(x 0 ). 3

4 Folgerungen. i) Ein Polynom P (x) = n a k x k k=0 es gilt P (x) = n ka k x k 1. k=1 ist an jedem x R differenzierbar und Da die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom ist, ist somit ein Polynom beliebig oft differenzierbar. ii) Eine rationale Funktion ist auf irem Definitionsbereic differenzierbar. Nun betracten wir zusammengesetzte Funktionen. Satz. (Kettenregel) Sei = g f auf I definiert. Ist f an x 0 differenzierbar und g an y 0 = f(x 0 ) differenzierbar, dann ist = g f an x 0 differenzierbar und es gilt (x 0 ) = (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ) d dx (x 0) = d(g f) dx (x 0) = dg dy (y 0) df dx (x 0) Beweis. Sei x n x 0 mit x n x 0. bzw. Fall 1 : δ > 0 mit f(x) f(x 0 ) für alle x U δ (x 0 ) I, x x 0. Dann ist (x n) (x 0 ) = g(f(x n)) g(f(x 0 )) f(x n ) f(x 0 ) f(x n) f(x 0 ) = g(y n) g(y 0 ) y n y 0 f(x n) f(x 0 ) g (y 0 )f (x 0 ). Fall : Es gibt eine Folge ( x n ) aus I mit x n x 0, x n x 0 und f( x n ) = f(x 0 ). Dann gilt allerdings f (x 0 ) = 0. (x n ) zerfällt dann möglicerweise in zwei Teilfolgen (x n) und (x n) mit f(x n) = f(x 0 ) und f(x n) f(x 0 ). (x n) (x 0 ) x n x 0 = g(f(x n)) g(f(x 0 )) x n x 0 = 0 0 (x n) (x 0 ) x n x 0 = g(f(x n)) g(f(x 0 )) f(x n) f(x 0 ) f(x n) f(x 0 ) x n x 0 g (f(x 0 ))f (x 0 ) = g (f(x 0 )) 0 = 0 4

5 Also ist (x 0 ) = 0. Satz. (Ableitung der Umkerfunktion) Sei f : I R stetig auf I, dort streng monoton und an x 0 I differenzierbar. Gilt f (x 0 ) 0, dann ist die Umkerfunktion f 1 an der Stelle y 0 = f(x 0 ) differenzierbar und es gilt (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Beweis. Sei (y n ) eine Folge aus D(f 1 ) mit y n y 0 und y n y 0. Dann existiert eine Folge (x n ) mit f(x n ) = y n und x n x 0 n. Wegen der Stetigkeit von f 1 (siee vorer) gilt x n = f 1 (y n ) f 1 (y 0 ) = x 0. Damit f 1 (y n ) f 1 (y 0 ) y n y 0 = x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) = 1 f(xn) f(x 0 ) xn x 0 1 f (x 0 ). III. Ableitungen der elementaren Funktionen 1) Logaritmus Sei x > 0 fest und x n x mit x n > 0. Setze n = x n x. Dann gilt n 0 und log b (x n ) log b x x n x = log b(x+ n ) log b x n = 1 n log b (1 + n x ) = 1 x log b(1 + n x ) x n 1 x log be. Also (log b x) = 1 x log be (x > 0) Im speziellen, für b = e, eralten wir (lnx) = 1 x, x > 0. Man beacte auc, dass (ln x ) = 1 x x R \ {0}. ) Exponentialfunktion Für y = e x ist x = lny die Umkerfunktion. Daer ist wegen vorer 5

6 y (x) = 1 x (y) = 1 1 y = y = e x. Also (e x ) = e x. Für y = b x = e xlnb gilt wegen der Kettenregel (b x ) = (e xlnb ) = lnbe xlnb = b x lnb. Also (b x ) = b x lnb, x R. 3) Potenzfunktion Wegen x a = e alnx folgt mit der Kettenregel (x a ) = (e alnx ) = a x ealnx = a x xa und damit (x a ) = ax a 1, (x > 0). 4) Hyperbolisce Funktionen Mit Hilfe der Differentiationsregeln über zusammengesetzte Funktionen eralten wir (sinx) = cosx, (cosx) = sinx, (tanx) = 1 (cosx) (cotx) = 1 (sinx), x 0. und Mit dem Satz über die Ableitung der Umkerfunktion eralten wir (arsinx) = 1 1+x, (arcosx) = 1 x 1, (artanx) = 1 1 x ( x < 1), (arcotx) = 1 1 x ( x > 1). 4) Trigonometrisce Funktionen Satz. Für x R gilt (sinx) = cosx, (cosx) = sinx, (tanx) = 1 (cosx) (x (k + 1) π ), (cotx) = 1 (sinx) (x kπ) Beweis. (für sinx) Subtraktion der Additionsteoreme sin(x 1 + x ) = sinx 1 cosx + cosx 1 sinx und sin(x 1 x ) = sinx 1 cosx cosx 1 sinx liefert 6

7 sin(x 1 + x ) sin(x 1 x ) = cosx 1 sinx. Mit x 1 = x + und x = ergibt sic sin(x + ) sinx = cos(x + )sin sin(x+) sinx, also = cos(x + )sin Für 0 eralten wir (sinx) ( lim cos(x + 0 )sin ) 0 cos(x + ) lim 0 sin(x+) sinx 0 = sin = cosx. Unter Verwendung des Satzes für die Ableitung der Umkerabbildung eralten wir (arcsinx) = 1 1 x ( x < 1), (arccosx) = 1 1 x ( x < 1) (arctanx) = 1 1+x (x R), (arccotx) = 1 1+x (x R). 7