Ein immer wiederkehrendes Konzept in der Mathematik ist die Zurückführung auf Bekanntes, beziehungsweise auf besonders

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1 Vorlesung 14 Differentialrecnung Ein immer wiedererendes Konzept in der Matemati ist die Zurücfürung auf Beanntes, bezieungsweise auf besonders einface Fälle. Besonders einfac sind lineare Funtionen in der Analysis. In der Differentialrecung füren wir Linearisierungen durc, das eißt nictlineare Funtionen werden durc lineare Funtionen approximiert Geradengleicung Gegeben seien zwei Punte A(x a y a ) und B(x b y b ). Diese legen eine Gerade g = g AB eindeutig fest. y b y a y=y b -y a g 0 c x a x=x -x a x b Abbildung 14.1: Geradensteigung und Differenzenquotient Die allgemeine Geradengleicung lautet: g: y = mx+c Dabei bezeicnet m = Δy Δx die Steigung und c den y Acsenabscnitt. Die Steigung (siee Abbildung 14.1) m = Δy Δx = y b y a x b x a = y a y b x a x b wird auc Differenzenquotient genannt. Dabei stet Δ für Differenz. Fassen 81

2 wir f(x) als eine Funtion der Zeit x auf, so ist Δy Δx = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 die mittlere Änderungsrate ( Durcscnittsgescwindigeit ) der zeitabängigen Funtionswerte zwiscen zwei Zeitpunten x 1 und x 2 (siee Abbildung 14.2). f f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Abbildung 14.2: Mittlere Änderungsrate der Funtion f Was passiert nun, für Δx 0? Anders formuliert, wie ist die Änderungsrate wenn x 2 mit x 1 zusammenfällt? Wir sprecen in diesem Fall von der momentanen Änderungsrate ( Momentangescwindigeit ) im Punt x 1, wenn f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 +) f(x 1 ) lim = lim = lim Δx 0 Δx x 2 x 1 x 2 x 1 0 existiert. Die momentane Änderungsrate im Punt A(a f(a)) entsprict genau der Tangentensteigung der Tangente am Punt A. f(a+) f B m f(a) A t a a+ Abbildung 14.3: Die mittlere Änderungsrate m der Funtion f wird zur Tangente t für 0 Für 0 wandert der Punt B(a+ f(a+)) auf den Punt A(a f(a)) zu (vgl. Abbildung 14.3). 82

3 14.2 Differenzierbareit Definition Eine Funtion f: D R eißt differenzierbar in a D, falls f(a+) f(a) lim 0 existiert. Dieser Grenzwert wird Differentialquotient genannt. Wir setzen dann f (a) := lim 0 f(a+) f(a) und nennen f (a) die erste Ableitung von f im Punt a. Wir sagen f ist differenzierbar, wenn sie für jeden Punt des Definitionsbereices differenzierbar ist. Die Funtion f : x f (x) eißt Ableitungsfuntion bzw. erste Ableitung von f. Beispiele f: D R,f(x) = x. Die Funtion f(x) = x ist differenzierbar und es gilt f (x) = 1. Beweis. Sei x D. Es gilt f(x+) f(x) (x+) x Daraus folgt nun = f(x+) f(x) = (x+) x f(x+) f(x) lim = lim 1 = 1 = f (x). 0 0 = = 1 g: D R,g(x) = x 2. Die Funtion g ist differenzierbar und es gilt g (x) = 2x. Beweis. Sei x D. Es gilt Damit folgt: g(x+) g(x) (x+) x = (x+)2 x 2 = x2 +2x+ 2 x 2 = 2x+2 = 2x+. g(x+) g(x) lim = lim(2x+) = 2x = g (x). 0 0 f: R R,f(x) = x n,n N. Die Funtion f ist differenzierbar mit f (x) = nx n 1. 83

4 Beweis. Es gilt f(x+) f(x) = (x+)n x n. Nac dem Binomiscen Lersatz (vgl. Vorlesung 13) gilt: (x+) n = x n =0 ( ) n = x n 0 + x n = x n +nx n 1 + =2 =2 x n x n Daer aben wir (x+) n x n = xn +nx n 1 + n n ) =2( x n x n = nx n 1 + x n 1 =2 nx n 1 (für 0). Also gilt f (x) = nx n 1. Bemerung. Für x > 0 und a R gilt für f(x) = x a, dass f (x) = ax a 1. Einen Beweis seen Sie in der A1-Vorlesung. Im obigen Beispiel ist a N. Satz Die Funtion f: D R ist genau dann in a D differenzierbar, wenn gilt f(a+) f(a) lim = lim 0, >0 a+ a 0, <0 f(a+) f(a). a+ a Beispiel. Die Betragsfuntion f(x) = x ist differenzierbar für alle x R {0} und nict differenzierbar an der Stelle x = 0. Es gilt: { x für x < 0 f(x) = x = x für x 0. Für x = 0 ist lar, dass f differenzierbar ist. Wir aben f(0+) f(0) lim = lim 0, > , >0 = 1 lim 0, <0 Also folgt die Beauptung, da f(0+) f(0) 0+ 0 = lim 0, <0 f(0+) f(0) lim = lim 0, > , <0 = 1 f(0+) f(0)

5 14.3 Ableitungsregeln Satz Es seien f,g: D R in x D differenzierbar und λ R. Dann sind f +g,f g,λf und im Falle g(x) = 0 auc f g differenzierbar und es gilt: (f +g) (x) = f (x)+g (x) (fg) (x) = f (x)g(x)+f(x)g (x) (λf) (x) = λf (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2 (x) Darüberinaus gilt: (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) (Summenregel) (Produtregel) (Quotientenregel). (Kettenregel) wobei f: D R,g: E R mit g(e) D. Beweis. (Summenregel) Nac Definition des Differentialquotienten gilt (f +g) (f +g)(x+) (f +g)(x) (x) = lim 0 GWS (f)(x+) (f)(x) (g)(x+) (g)(x) = lim + lim 0 0 = f (x)+g (x) GWS bezeicnet an dieser Stelle die Grenzwertsätze (Satz ). Die restlicen Ableitungsregeln önnen als Übung bewiesen werden (siee z.b. Übungsaufgabe 67, Blatt 14). Beispiele. (i) f(x) = x 3 2x 2 +2x+1, dann ist die Ableitung f (x) = 3x 2 4x+2 (ii) f(x) = x, g(x) = x (x) = f(g(x)) = x 2 +1 = (x 2 +1) 1 2. Nac der Kettenregel ergibt sic für die Ableitung von : (x) = f (g(x)) g (x) = 1 2 (x2 +1) 1 2 2x. Definiere nun (x) = g(f(x)) = ( x) 2 +1 = x+1. Daraus folgt sofort (x) = 1. Zur Übung wenden wir die Kettenregel an und eralten natürlic das gleice Resultat wir aben (x) = g (f(x)) f (x) = 2 x 1 2 x 1 2 = 1. Definition Sei f: (a,b) R eine Funtion. Wir sagen, f at in x (a,b) ein loales Maximum (Minimum), wenn es eine Umgebung U ε (x) gibt, mit f(x) f(ξ) für alle ξ U ε (x) (f(x) f(ξ) für alle ξ U ε (x)). Falls das Gleiceitszeicen nur für x = ξ gilt, so nennen wir x ein isoliertes Maximum (Minimum). Der Oberbegriff für Maximum und Minimum ist Extremum. Anstelle vom loalen Extremum sprecen wir auc vom relativen Extremum. 85

6 Ein notwendiges Kriterium für ein Extremum liefert der folgende Satz: Satz Die Funtion f: (a,b) R besitze im Punt x (a,b) ein loales Extremum und sei in x differenzierbar. Dann gilt: f (x) = 0. Beweis. Siee Übungsaufgabe 68, Blatt 14. Folgerung. Falls f (a) = 0 so ann a ein Extremum sein. 86