Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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1 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik Wintersemester 2009/2010 Didaktik der Analysis Herr Passon Stetigkeit und Differenzierbarkeit Andrea Paffrath Semester andreapaffrath@web.de

2 Inhaltsverzeichnis: 1. Stetigkeit 1.1 Stetigkeit über Grenzwerte 1.2 Stetigkeit an einer Stelle 1.3 Stetigkeit einer Funktion / auf einem Intervall 1.4 Bestimmte Stetigkeitssätze Verknüpfungssatz Extremwertsatz Zwischenwertsatz Nullstellensatz 1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2. Stetigkeit in der Schule 3. Vergleich der Einführung der Differenzierbarkeit (Tangentensteigung/Stetigkeit) 4. Fazit

3 1. Stetigkeit 1.1 Stetigkeit über Grenzwerte Möchte man die Stetigkeit mit Hilfe des Grenzwertes einführen, so ist zunächst der Grenzwert zu definieren. Wir definieren den Grenzwert einer Funktion wie folgt: 1) f sei in einer Umgebung der Stelle x 0, evtl. mit Ausnahme von x 0 selbst, definiert. Wenn für jede Folge von x-werten x k mit dem Grenzwert x 0 (wobei x k є D f und x k x 0 ) die Folge der Funktionswerte f(x k ) den Grenzwert G hat, dann heißt G Grenzwert von f an der Stelle x 0. Man schreibt dafür auch kurz: lim(x x 0 ) f(x) = G oder formuliert dies als: f konvergiert für x x 0 gegen G. 2) Die Funktion f besitzt an der Stelle x 0 den Grenzwert G, wenn es zu jeder ε-umgebung U ε von G eine δ-umgebung U δ von x 0 gibt, so dass für alle x є U δ D f und x x 0 folgt f(x) є U ε. Damit die Schüler und Schülerinnen nun einen Bezug zur Stetigkeit entwickeln können, werden in den Schulbüchern meist einführende Beispiele genannt. Es stellt sich die Frage, ob es berechtigt ist, den Graph einer Funktion dadurch zu ermitteln, dass man eine Reihe von Funktionswerten berechnet und die zugehörigen Punkte durch einen Kurvenzug verbindet. Es geht um die Frage, ob man davon ausgehen kann, dass die einzelnen Punkte eines Funktionsgraphen stets so eng zusammenhängen, dass man die Kurve in einem Zug also ohne Absetzten des Zeichenstiftes zeichnen darf. Ist dies der Fall, handelt es sich um eine stetige Kurve. Folgende Beispiele wären einführende Beispiele für die Erarbeitung des Stetigkeitsbegriffs:

4 1) Ein Stein fällt im freien Fall ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes aus der Anfangshöhe von 20m herunter. Nach einer Sekunde hat er noch die Höhe h 1 von 15m. 2) Ein Brief nach Schweden bis zu 20g kostet 0,70DM. Wenn man 20g nur geringfügig überschreitet, beträgt das Porto sofort 1,20DM Betrachtet man diese Beispiele, so kann man anhand des ersten Beispiels eine stetige und mit Hilfe des zweiten Beispiels eine unstetige Funktion beschreiben. Anders als beim Beispiel 1) zeigt das Beispiel 2) eine unstetige Funktion. Hier ist der linksseitige Grenzwert anders als der rechtsseitige. Wir formulieren eine Definition zur Stetigkeit: Es sei f eine Funktion und x 0 eine Stelle ihrer Definitionsmenge D f. Die Funktion heißt stetig an der Stelle x 0, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

5 - Der Grenzwert von f an der Stelle x 0 existiert. - Der Grenzwert von f bei x 0 stimmt mit dem Funktionswert f(x 0 ) überein. Dies kann man kurz auch als f heißt stetig bei x 0, wenn lim(x x 0 ) f(x)=f(x 0 ) gilt beschreiben. Möchte man nun wieder die Verbindung zu den Grenzwertsätzen herstellen, so kann man folgende Definition einbringen: Eine Funktion heißt an einer Stelle x 0 є D f stetig, wenn es zu jeder ε- Umgebung von f(x 0 ) eine δ-umgebung von x 0 gibt, in der die Funktionswerte aller der ε-umgebung von f(x 0 ) angehören. Anschaulich sähe das dann an den vorher verwendeten Beispielen wie folgt aus: 1.2 Stetigkeit an einer Stelle x 0 Dementsprechend kann man die Stetigkeit an der Stelle x 0 wie folgt definieren: Es sei f eine Funktion und x 0 eine Stelle ihrer Definitionsmenge D f. Die Funktion heißt stetig an der Stelle x 0, wenn die beiden Bedingungen erfüllt sind: - Der Grenzwert von f an der Stelle x 0 existiert. - Der Grenzwert von f bei x 0 stimmt mit dem Funktionswert f(x 0 ) überein. Bzw. kann man dafür auch kurz schreiben: f heißt stetig bei x 0, wenn lim(x x 0 ) f(x)=f(x 0 ) gilt.

6 1.3 Stetigkeit einer Funktion / auf einem Intervall Bisher haben wir die Stetigkeit in einem Punkt beschrieben. Nun möchten wir die Stetigkeit einer Funktion bzw. die Stetigkeit auf einem Intervall definieren. Dazu führen wir den links- und rechtsseitigen Stetigkeitsbegriff ein. Eine Funktion f heißt - linksseitig stetig an der Stelle x 0 єd f l-lim(x x 0 ) f(x)=f(x 0 ) - rechtsseitig stetig an der Stelle x 0 єd f r-lim(x x 0 ) f(x)=f(x 0 ). Somit ist eine Funktion f genau dann stetig an einer Stelle x 0, wenn sie an dieser Stelle links- und rechtsseitig stetig ist und wenn l-lim(x x 0 ) f(x)= r- lim(x x 0 ) f(x) ist. Anschließend können wir die Stetigkeit auf einem Intervall definieren: Eine Funktion f heißt stetig über einem abgeschlossenen Intervall [a,b] wenn sie an der Stelle a rechtsseitig stetig, an der Stelle b linksseitig stetig und über ]a,b[ stetig ist. Möchte man die Stetigkeit auf einem Intervall noch konkretisieren, so ist eine Funktion f(x)=x im offenen Intervall ]a,b[ von D f stetig, wenn sie an allen Stellen xє]a,b[ stetig ist bzw. im abgeschlossenen Intervall [a,b] von D f stetig, wenn sie in ]a,b[ stetig und in den Randpunkten a und b einseitig stetig ist. 1.4 Bestimmte Stetigkeitssätze Die nachfolgenden Sätze über stetige Funktionen werden im Unterricht meist nicht bewiesen. In Schulbüchern werden die entsprechenden Beweise meist nur in Anhängen behandelt Verknüpfungssatz Man möchte die Schüler und Schülerinnen dennoch motivieren. Zum Beispiel mit den einleitenden Worten: Wenn man mit einer Funktion arbeitet, ist es meist wichtig, zu wissen, ob sie stetig ist. Es wäre nun recht mühsam, müsste man in jedem Einzelfall die Stetigkeit durch Anwendung

7 der Stetigkeitsdefinition beweisen. Eine große Erleichterung bietet der Verknüpfungssatz: 1 aus Mathematik Analysis. Sind zwei Funktionen f und g in demselben Intervall J stetig, so gilt dies auch für ihre Summe, ihre Differenz und ihr Produkt. Ebenso ist der Quotient eine stetige Funktion in J, falls g(x) Extremwertsatz Der Extremwertsatz wird in Mathematik Analysis wie folgt motiviert: Für Funktionen, die in einem Intervall stetig sind, gelten einige wichtige Sätze, von denen später häufig gebrauch gemacht wird. 2 Eine in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion f ist in J beschränkt und hat hier einen größten und einen kleinsten Funktionswert Zwischenwertsatz Ist f eine in J=[x 1,x 2 ] stetige Funktion mit f(x 1 )=y 1, f(x 2 )=y 2, so gibt es zu jedem Wert a zwischen y 1 und y 2 mindestens einen Wert xєj mit f(x)=a. Der Zwischenwertsatz wird mit Beispielen aufgearbeitet: 1) Bespiel mit einer stetigen Funktion Quelle: Lambacher-Schweizer 1 Mathematik Analysis S.55 2 Mathematik Analysis S.56

8 2) Beispiel mit einer unstetigen Funktion Quelle: Lambacher-Schweizer Nullstellensatz Der Nullstellensatz wird beispielsweise wie folgt erarbeitet: Quelle: Lambacher-Schweizer Ist f eine in J=[x 1,x 2 ] stetige Funktion, deren Funktionswerte an den Randpunkten x 1 und x 2 verschiedene Vorzeichen haben, so gibt es mindestens einen Wert x єj mit f(x )=0. Ein weiteres Beispiel für den Nullstellensatz ist das folgende:

9 Quelle: Lambacher-Schweizer Der Schnittpunkt zweier Funktionen soll ermittelt werden. Durch Umformungen sucht man die Nullstelle der neu entstandenen Funktion. Man ermittelt ein Intervall, in dem der Schnittpunkt liegen könnte. Näherungsweise wird hier der Schnittpunkt mithilfe einer Tabellenkalkulation bestimmt. 1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Ist die Stetigkeit definiert, so kann man den Zusammenhang zur Differenzierbarkeit herstellen. Eine Funktion f ist an einer Stelle x 0 bzw. auf einem Intervall stetig, wenn sie dort differenzierbar ist. Wenn eine Funktion f an einer Stelle x 0 differenzierbar ist, dann gilt: f(x)-f(x 0 ) f (x 0 ) für x x 0 bzw. lim (x x 0 ) f(x) = f (x 0 ). x-x 0 Die folgenden Darstellungen sollen den Schülern und Schülerinnen diesen Zusammenhang bildlich besser verständlich machen.

10 Ist eine Funktion f differenzierbar, so ist sie auch stetig: Ist eine Funktion f nicht stetig, so ist sie auch nicht differenzierbar: Ist eine Funktion f nicht differenzierbar, kann sie aber dennoch stetig sein:

11 2. Stetigkeit in der Schule Die Stetigkeit wird heutzutage nicht mehr in den Schulalltag mit aufgenommen. Die aktuellen Schulbücher bearbeiten das Thema der Stetigkeit nur noch im minimalen Umfang. Meist nimmt sie nicht mehr als eine Schulbuchseite in Anspruch. In älteren Schulbüchern findet man demgegenüber weit aus mehr Material zu diesem Thema. Betrachten wir nun die Kernlehrpläne der Oberstufe, so kann man folgendes festhalten: Kernlehrplan (G8) Jahrgangsstufe 11 Die gymnasiale Oberstufe beginnt in der Klasse 11 und behandelt dort die Themen Koordinatengeometrie, beschreibende Statistik und die Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen. In Bezug auf das Themengebiet der Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen sind folgende Inhalte verpflichtend: 1. Mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Steigung, Sekante, Differenzenquotient 2. Momentane Änderungsrate, lokale Steigung, Tangente, Grenzprozess des Differenzenquotienten 3. Ableitung und Ableitungsfunktion, Tangentengleichung 4. Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen 5. Untersuchung ganzrationaler Funktionen bzgl. Nullstellen, Symmetrie, Steigungsverhalten/Hoch- und Tiefpunkte, Krümmungsverhalten/Wendepunkte 3 In der Differentialrechnung tritt bei der Erarbeitung von Gesetzmäßigkeiten die zentrale Idee des funktionalen Zusammenhangs in den Vordergrund. Im Umgang mit Funktionen werden darüber hinaus Verfahren entwickelt und angewandt, die, z.b. in Näherungsverfahren zur 3 Vgl. Kernlehrplan S.15

12 Nullstellenbestimmung, die Idee des Algorithmus widerspiegeln. Näherungsprozesse lassen sich auf die Idee der Zahl hin reflektieren. 4 Kernlehrplan (G8) Jahrgangsstufe 12/13 Die Jahrgangsstufen 12 und 13 beinhalten folgende Themengebiete: Analysis, Lineare Algebra/Geometrie, Stochastik. Im Themengebiet der Analysis soll, an die schon bereits entstandenen zentralen Ideen wieder aufgenommen werden, weiter entfaltet, vertieft und miteinander verknüpft werden. Unmittelbar deutlich wird das bei der Idee des funktionalen Zusammenhangs, wenn systematisch Begriffe und Verfahren zur Beschreibung von Funktionen und Funktionenklassen entwickelt werden. 5 Hierfür werden Funktionenklassen wie trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen zur Modellierung genutzt. Gleichzeitig tritt die Beschäftigung mit dem Unendlichen und mit Grenzprozessen in den Vordergrund. Der Integralbegriff wird im Folgenden mit der Idee des Algorithmus verknüpft. Da bereits in der Jahrgangsstufe 11 Grenzwerte eingeführt werden, mit dessen Hilfe dann auch Funktionsuntersuchungen ermöglicht werden, müssten die Schüler und Schülerinnen schon hier auf die Begriffe der Stetigkeit und Differenzierbarkeit hingewiesen werden. Dies wird allerdings nicht explizit vom Lehrplan gefordert. Ebenso wird in den weiterführenden Jahrgangsstufen zwar eine Vertiefung und eine Anknüpfung an das Vorwissen aus der Jahrgangsstufe 11 gefordert, aber es wird nicht darauf hingewiesen, dass die Schüler und Schülerinnen auf das Problem unstetiger Funktionen aufmerksam gemacht werden müssen. Somit erfasst der Lehrplan den Begriff der Stetigkeit nicht (mehr). Es steht der Lehrperson frei, die Stetigkeit einzuführen. 4 Kernlehrplan S.16 5 Vgl. Kernlehrplan S.17

13 3. Vergleich der Einführung der Differenzierbarkeit 3.1 über die Stetigkeit Wie bereits in Bezug auf die Verwendung des Stetigkeitsbegriffs in der Schule erwähnt, wird die Stetigkeit in der Schule nur eingeführt, wenn die Lehrperson sich dafür entscheidet. Daraus ergibt sich aber auch, dass die Differenzierbarkeit meist über die Tangentensteigung eingeführt wird. Im folgenden haben wir drei Beispiele, die die Einführung der Differenzierbarkeit erarbeiten: Die grafische Darstellung einer Funktion aufgrund einer Wertetabelle Geometrische Betrachtungen am Graphen: Sekanten- und Tangentensteigung Physikalische Betrachtungen: Mittlere und momentane Geschwindigkeit Die grafische Darstellung einer Funktion aufgrund einer Wertetabelle f(x)=½ x³-2 x²+x-1, D f =[0,4] Hierbei kann das Problem entstehen, dass bei der Darstellung anhand einer Wertetabelle die Punkte zufällig verbunden werden und sich nicht am Verlauf des Graphen orientieren.

14 Eine größere Gewissheit über die graphische Darstellung der Funktion würde man erhalten, wenn man für jeden Punkt eine steigende oder fallende Tendenz belegen könnte. Zudem wäre das Wissen über den minimalen bzw. maximalen Funktionswert sinnvoll. Die dazu erforderlichen geometrischen Voraussetzungen werden am nächsten Beispiel erarbeitet. Die geometrische Betrachtungen am Graphen: Sekanten- und Tangentensteigung Wir betrachten die Funktion f(x)=x² Sekantensteigung Definition: Unter der Steigung einer Geraden AB mit A(x 1,y 1 ) und B(x 2,y 2 ) versteht man den Wert des Differenzenquotienten. Dieser Quotient definiert den Tangens des Winkels α (Neigungswinkel der Geraden gegen die x-achse) Tangentensteigung Definition: Haben die Steigungen der Sekanten durch einen festen Punkt P auf dem Graphen G f einer Funktion f den Grenzwert m, wenn der zweite Sekantenschnittpunkt Q gegen P wandert, so heißt dieser Grenzwert die Steigung der Tangente im Punkt P von G f.

15 Man betrachtet die Punkte S(0,0), A 1 (1,1) und A 2 (2,4). Die Geraden SA 1, SA 2 und A 1 A 2 bilden die Sekanten des Graphen. Die Steigung der Sekante ist der Tangens des Neigungswinkels gegen die positive x-achse. Dabei ist die Steigung der Sekante SA 1 : tan(α 1 ) = 1, die Steigung der Sekante SA 2 : tan(α 2 ) = 2 und die Steigung der Sekante A 1 A 2 : tan(α 3 ) = 3. Der Tangens wird immer mithilfe des Differenzenquotienten ermittelt. Wir kommen zu dem Schritt von der Sekanten- zur Tangentensteigung. Hierbei wird an diesem Beispiel der Fragestellung nachgegangen, ob die Tangente im Punkt S an den Graphen von f offensichtlich die x-achse ist, deren Steigung den Wert 0 hat. Dabei unterscheiden sich aber die Steigungen der Sekanten durch S wenig vom Wert 0, wenn nur der zweite Sekantenschnittpunkt mit G f genügend nahe an S heranrückt. Der Grenzwert der Sekantensteigung im Punkt S ist 0, wenn der zweite Sekantenschnittpunkt gegen S wandert. Also ist die Sekantensteigung gleich der Tangentensteigung. Folglich ist eine Tangente in einem Punkt eines Funktionsgraphen die Gerade durch P, deren Steigung mit dem Grenzwert der Sekantensteigung übereinstimmt. Es ist jedoch zu beachten, dass der zweite Sekantenschnittpunkt Q sowohl rechts als auch links von P liegen kann. Die Wanderung gegen P muss also von beiden Seiten zur gleichen Grenzsekante und damit zum gleichen Grenzwert führen.

16 Die physikalische Betrachtungen: Mittlere und momentane Geschwindigkeit Bei der physikalischen Betrachtung geht man den Schritt vom algebraischen zum analytischen. Die momentane oder auch lokale Änderungsrate wird aufgrund des Grenzwertes der mittleren Änderungsrate gebildet. Da der Grenzwert als Voraussetzung für die Stetigkeit gilt und man die Ableitung bildet, kann man an dieser Stelle die Differenzierbarkeit herleiten. Quelle: Danckwerts/Vogel 4. Fazit Wie ja schon dargestellt wurde, sieht der Lehrplan die Erarbeitung der Stetigkeit nicht vor. Somit liegt es im Ermessen der Lehrperson, die Stetigkeit einzuführen bzw. die Differenzierbarkeit über den Stetigkeitsbegriff einzuführen. In der Diskussionsrunde des Seminars konnte man auch keine klare Linie erkennen. Daraus kann man schließen, dass auch in Zukunft die Erarbeitung der Stetigkeit nur erarbeitet wird, wenn die Lehrperson dies vorsieht.

17 Literaturverzeichnis: Danckwerts, R./ Vogel, D. (2006), Analysis verständlich unterrichten, Elsevier, Griesel/Postel (1988), Mathematik heute, Einführung in die Analysis 1, Schrödel-Schöningh-Verlag, Hahn/Dzewas (2003), Analysis Leistungskurs, Westermann-Verlag, Keil, K./ Kratz, J./ Müller, H./ Wörle, K. (1989): Analysis Kurzfassung. Ein Lehr- und Arbeitsbuch. Bayerischer Schulbuch-Verlag, Kuypers, W. (Hrsg.) (1976): Mathematikwerk für Gymnasien. Oberstufe. Analysis I, Pädagogischer Verlag Schwann, Lambacher-Schweizer (2004), Mathematik-Sekundarstufe II-Gesamtband, Klett-Verlag Lambacher-Schweizer (2000), Analytische Geometrie mit linearer Algebra, Klett-Verlag Müller (2002):Kompakt-Wissen Mathematik Abitur in dem Band Analysis, Stark-Verlgagsgesellschaft, 2002.