Drei Aspekte des Differenzierbarkeitsbegriffs

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1 1. Dezember 2010

2 Gliederung 1 Rahmenplan und zu beobachtende Kriterien 2 3 Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick 4

3 Rahmenplan Fundamentalbereich Diffenzialrechnung (2. Halbjahr Einführungsphase) Schwerpunktmäßig dient der Lernabschnitt mit einer Einführung in die Differenzialrechnung der Gewinnung des Ableitungsbegriffs. Die Ableitung ist sowohl als als auch als Tangentensteigung zu deuten. Die Ableitung ist als Grenzwert des Differenzenquotienten zu definieren. Dabei wird der Grenzwertbegriff propädeutisch verwendet, da exakte Konvergenzkriterien für Folgen ebenso wenig wie die entsprechenden Konvergenzkriterien für Funktionen als inhaltliche Voraussetzung zur Verfügung stehen. Eine sowohl anschaulich geprägte als auch nicht formale Herangehensweise ist den Zielen (...) angemessen.

4 Kriterien und Tangentensteigung Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten propädeutische Verwendung des Grenzwertbegriffs anschauliche, nicht formale Herangehensweise (Grundkurs)... weitere Kriterien?

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6 Grundprinzip 1 Definition der Steigung einer Kurve in einem Punkt über die Tangente 2 Die Tangente als Grenzgerade von Sekanten 3 Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert

7 Beispielaufgabe Ein Raupenfahrzeug mit einer Steigfähigkeit von 78% fährt einen Hang mit parabelförmigem Profil hinauf. Die Profilkurve lässt sich näherungsweise durch die Funktion f (x)= 1 50 x 2 beschreiben. Kann das Fahrzeug die Markierungsstange im Punkt (20, 8) erreichen?

8 Definition der Steigung Definition Die Steigung der Funktion f (x) an der Stelle x 0 entspricht der Steigung der Tangente an f (x) an der Stelle x 0. Was wissen die Schüler bereits? Daß sie den Kreis berühre (Tangente sei), sagt man von einer geraden Linie, die einen Kreis trifft, ihn aber bei Verlängerung nicht schneidet. (Euklid: Die Elemente, drittes Buch)

9 Definition der Steigung hier: Tangente schneidet die Funktion bei Verlängerung! Ausweg: betrachte Umgebung des Punktes

10 Definition der Steigung Tangente am Wendepunkt der Funktion

11 Tangente als Grenzgerade der Sekanten suchen Steigung der Tangente in P = (x 0,f (x 0 )) Tangentenanstieg m t = f (x 0) x 0 nicht sinnvoll zweiter Punkt nötig betrachten (beliebigen) weiteren Punkt Q auf f (x) ziehen eine Gerade durch P und Q (eine Sekante) und nähern Q immer mehr P an veranschaulicht in GeoGebra

12 Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert mit P(x 0,f (x 0 ) und Q(x 1,f (x 1 )) folgt die Steigung der Sekante: Sekantensteigung f (x 1 ) f (x 0 ) x 1 x 0 Grenzwertbildung: Tangente ist Grenzgerade aller Sekanten, deshalb ist die Tangentensteigung der Grenzwert der Sekantensteigungen Tangentensteigung f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0

13 Beispielaufgabe f (x) f (20) lim = lim x 20 x 20 x x 2 8 x 20 = lim x (x + 20) = = 0,8 Das Raupenfahrzeug kann die Markierungsstange also nicht erreichen. Gilt nur, da f (x) monoton wachsend ist.

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15 Grundprinzip Symbolisch f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 ) Bedeutung Bestand absoluter Zuwachs relativer Zuwachs (mittlere Änderungsrate) momentaner Zuwachs ()

16 Beispielaufgabe Eine Kugel rollt eine schiefe Ebene hinunter. Die zurückgelegte Strecke (in Metern) ist durch folgende Zeitabhängigkeit (in Sekunden) gekennzeichnet: s(t) = a 2 t2, wobei a die Beschleunigung ist. Welche Geschwindigkeit hat die Kugel nach einer Sekunde?

17 Bestand absoluter Zuwachs relativer Zuwachs s(t 0 ): zum Zeitpunkt t 0 zurückgelegter Weg (Bestand) s(t 1 ) s(t 0 ): zwischen den Zeitpunkten t 0 und t 1 (bzw. im Zeitintervall [t 0 ;t 1 ]) zurücklegter Weg (absoluter Zuwachs) relativ zur Größe des Zeitintervalls ergibt dies die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 0 ;t 1 ] (relativer Zuwachs): s(t 1 ) s(t 0 ) t 1 t 0

18 relativer Zuwachs momentaner Zuwachs Wie ist nun die momentane Geschwindigkeit? betrachten immer kleinere Zeitintervalle [t 0 ;t]: Momentangeschwindigkeit als Grenzwert mittlerer Geschwindigkeiten (momentaner Zuwachs): s(t) s(t 0 ) lim t t 0 t t 0

19 Beispielaufgabe Sei t ein benachtbarter Zeitpunkt von t 0 = 1, dann hat die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [1,t 1 ] (bzw. [t 1,1], falls t 1 < 1) den Wert: s(t 1 ) s(1) t 1 1 = a 2 t2 1 a a 2 t 1 1 = 2 (t 1 1)(t 1 + 1) = a t (t 1 + 1) (t 1 1) Übergang zur Momentangeschwindigkeit: a s(t) s(1) 2 lim = lim t2 a 2 t 1 t 1 t 1 t 1 = lim t 1 a 2 (t 1)(t + 1) t 1 Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 = 1 beträgt also a. = a

20 Beispielaufgabe Achtung! Vorsicht mit den Einheiten! Besser: a s(t) s(1s) 2 lim = lim t2 a 2 s2 = lim t 1s t 1s t 1s t 1s t 1s Oder: a = 4 s(t) s(1) 2t 2 2 lim = lim t 1 t 1 t 1 t 1 a 2 (t 1s)(t + 1s) t 1s = lim 2(t 1)(t + 1) = 4 t 1 t 1 = a 1s

21 Beispiel: GeoGebra

22 Grundprinzip betrachte Normalparabel und Tangente am Punkt (1, 1) (GeoGebra) Problemstellung Lässt sich die Schmiegeigenschaft der Tangente irgendwie mathematisch ausdrücken?

23 Abweichung der Tangente Tangentengleichung: t(x) = 2(x 1) + 1 (errechenbar mit Punkt-Steigungs-Formel, Tafelwerk) Abweichung r(h) =Differenz von f und t an der Stelle x = 1 + h, dabei sei h klein: r(h) = f (1 + h) t(1 + h) = (1 + h) 2 (2h + 1) r(h) = h 2 Abweichung r(h) geht für h 0 gegen null.

24 Abweichung anderer Geraden vergleiche mit anderen Geraden durch (1, 1): Punkt-Steigungs-Formel ergibt: g m (x) = m(x 1) + 1, m 2 daraus folgt die Abweichung s m (h) (Differenz von f und g m an der Stelle x = 1 + h) s m (h) = h 2 + (2 m)h Diese Abweichung s m (h) strebt auch für h 0 gegen null!

25 relative Abweichung r(h) 0 ist also kein hinreichendes Kriterium für die Schmiegeigenschaft der Tangente! betrachten deswegen relative Abweichung: r(h) h = h Die relative Abweichung der Tangente r(h) h geht für h 0 gegen null.

26 relative Abweichung betrachte nun die relative Abweichung aller anderer Geraden durch (1, 1): s m (h) = h + (2 m), m 2 h Die relative Abweichung anderer Geraden geht für h 0 nicht gegen null! (Veranschaulichung in GeoGebra)

27 Definition der Tangente Diese Eigenschaft kann ganz allgemein als Definition der Tangente dienen: Definition Sei f (x) eine Funktion mit dem Definitionsbereich D, die an der Stelle x 0 D differenzierbar ist. Dann ist die Tangente an f (x) bei x 0 diejenige Gerade t, deren relative Abweichung für h 0 gegen null strebt. f (x 0 + h) t(x 0 + h), h R h

28 Ableitung Rahmenplan und zu beobachtende Kriterien verallgemeinern wir nun: relative Abweichung f (x 0 + h) = t(x 0 + h) + r(h) mit r(h) h 0 für h 0. Tangentengleichung t(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), wobei f (x 0 ) := m umbenannt wurde: f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (x 0 ) h + r(h) mit r(h) h 0 für h 0.

29 Anwendungsbeispiel Beispiel Wie groß ist 8,92? wende Näherung an für f (x) = x, x 0 = 9, h = 0,08 dann gilt: 9 0, ( 0,08) = 2, vergleiche mit dem wahren Wert: 8,92 = 2, Approximationsfehler r( 0, 08) 0,

30 Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick

31 Kriterien Rahmenplan und zu beobachtende Kriterien Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Wiederholung der Rahmenplan-Kriterien: und Tangentensteigung Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten propädeutische Verwendung des Grenzwertbegriffs anschauliche, nicht formale Herangehensweise (Grundkurs)... weitere Kriterien?

32 Grenzwertproblematik Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Grenzwertproblematik

33 Grenzwert in Sek.I Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick P9 7/8 Reale Situationen mit linearen Modellen beschreiben: Beschreiben Sachzusammenhänge durch stückweise lineare Funktionen P1 9/10 Neue Zahlen entdecken: Beschreiben Quadratwurzeln an Beispielen durch ein Näherungsverfahren (Intervallschachtelungen) P7 9/10 Körper herstellen und berechnen: Begründen das Volumen von Kegel und Kugel mit einem Näherungsverfahren

34 Unendlichkeitsproblem Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Was bedeutet propädeutischer Grenzwertbegriff? 1 lim n n = 0 n läuft gegen unendlich, kann es aber nie erreichen. f (x) f (2) lim x 2 x 2 x läuft gegen 2, kann es aber erreichen.?

35 Differenzenquotient Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Definition Es sei y = f (x) eine auf D f definierte Funktion und x 0, x 0 + h D f. Die Funktion d(x) = y x = f (x) f (x 0) bzw. d(h) = f (x 0 + h) f (x 0 ) x x 0 h (mit x x 0 bzw. h 0) heißt Differenzenquotient von f an der Stelle x 0. (Duden Mathematik 1. Kursjahr, Paetec) Falls d(h) für h = 0 stetig fortsetzbar ist, dann ist die Funktion an der Stelle x 0 differenzierbar.

36 Differenzialquotient Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Welcher Aspekt verdeutlicht am besten die folgende Äquivalenz? f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lim lim x x 0 x x 0 h 0 h

37 Differenzialquotient Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Ist eine Näherung von beiden Seiten nötig? f (x 0 + h) f (x 0 )? f (x 0 ) f (x 0 + h) lim = lim h 0 h h 0 h Beispiel: f (x) = x, GeoGebra

38 2-h-Methode Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Näherung von beiden Seiten: Begründung: GeoGebra d 2 (h) = f (x 0 + h) f (x 0 h) 2h (arithmetischer Mittelwert der rechts- und linksseitigen Differenzenquotienten)

39 Modellierungsbeispiel Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Beispielaufgabe Eine Ameise gräbt einen Tunnel. Wie lange braucht sie für einen Weg der Länge x? suchen Funktion t(x) erster Ansatz: lineare Funktion (GeoGebra)

40 Modellierungsbeispiel Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick neuer Ansatz: Momentaufnahme, auf Grundlage der lokalen Änderungsrate (2. Aspekt) Um vom Ort x zum Ort x + h zu kommen, beträgt die Zeit t(x + h) t(x) (absoluter Zuwachs).

41 Modellierungsbeispiel Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Schritt 1: h klein und fest x variabel doppelte Tunnellänge bewirkt doppelte Laufzeit (GeoGebra) t(x + h) t(x) x.

42 Modellierungsbeispiel Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Schritt 2: x fest h klein, aber variabel Korn für Korn wird abgebaut: doppeltes h (zwei Körner) bewirkt auch doppelte Laufzeit t(x + h) t(x) h.

43 Modellierungsbeispiel Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Schritt 3: von 1 und 2 führt zu t(x + h) t(x) x h, (für kleine h), das heißt der relative Zeitbedarf (relativer Zuwachs) ist proportional zu x: d(h) = t(x + h) t(x) h = kx. Betrachtung der lokalen Änderungsrate (h 0) t (x) = kx. Das bedeutet t(x) = k 2 x 2 + c, wobei c = 0 normiert werden kann, wenn t(0) = 0 angesetzt wird.

44 Ausblick Rahmenplan und zu beobachtende Kriterien Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Ableitungsbeweis für konstante Funktionen bildliche Ableitung Tangentendefinitionen

45 Ableitungsbeweis Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Ableitungsbeweis für konstante Funktionen Für k R gilt: f (x) = k f (x) = 0 Beweis: f (x+h) f (x) k k 0 lim h 0 h = lim h 0 h = lim h 0 h = 0. (Bigalke/Köhler: Mathematik 11, 2004) letzter Beweisschritt impliziert die unbekannte Regel von L Hospital

46 bildliche Ableitung Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick (x 2 ) = 2x Warum ergibt die Ableitung des Flächeninhalts eines Quadrats seinen halben Umfang? (GeoGebra) Wie lassen sich Funktionsableitungen zeichnerisch bestimmen? Rahmenlehrplan P9 9/10 (graphisches Differenzieren)

47 Tangentendefinitionen Grenzwertproblematik Modellierungsbeispiel Ausblick Definition aus 1. Aspekt () Die Tangente an f (x) bei x 0 ist diejenige Gerade durch (x 0,f (x 0 )), deren Anstieg Grenzwert der Anstiege der Sekanten durch (x 0,f (x 0 )) und (x,f (x)) (mit x x 0 ) ist. Definition aus 3. Aspekt (linearer Approximation) Die Tangente an f (x) bei x 0 ist diejenige Gerade t, deren relative Abweichung f (x 0 + h) t(x 0 + h), h R h für h 0 gegen null strebt.

48 Welchen Aspekt fandet ihr am besten? Warum?

49 Literaturverzeichnis Danckwart, Vogel: Analysis verständlich unterrichten Walter: Analysis I, Springer-Verlag 1990 Euklid: Die Elemente, Harri Deutsch Verlag 2010 Anleitung zum graphischen Differenzieren, : Bigalke, Köhler: Mathematik 11, Cornelsen 2004