Anwendung der Integralrechnung

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1 Anwendung der Integralrechnung Positive Verständnisentwicklung des Lehrplans oder erschwerende Verkomplizierung? Didaktik der Analysis Oliver Passon Carolin Henke Gerrit Hübner 1

2 Fragestellung: Positive Verständnisentwicklung des Lehrplans oder erschwerende Verkomplizierung? Einstieg: Lambacher Schweizer Integralrechnung im Wandel der Zeit ( ) Übersicht: Welche Aufgabentypen gibt es? Flächenberechnung Rekonstruktion Mitteln Rechenregeln Aufgaben aus dem Zentralabitur ein Überblick Schlussbetrachtung: Beantwortung der Ausgangsfrage Gliederung 2

3 Einführung zum Kapitel Anwendung der Integralrechnung im Lambacher Schweizer von 1958: Als Grundlage der Integralrechnung wird sich das Flächenproblem erweisen, d.h. die Aufgabe, den Flächeninhalt eines beliebigen ebenen Flächenstücks zu bestimmen. Diese Aufgabe wird zu einem neuen Grundbegriff, dem bestimmten Integral, führen. Mit seiner Hilfe lassen sich dann wieder zahlreiche weitere Aufgaben lösen, so z.b. die Bestimmung von Rauminhalten, Bogenlängen, Oberflächen, Schwerpunkten, usw. Lambacher Schweizer von 1958: -Integral als Fläche -Kaum Rekonstruktion -Kein Mittelwert Lambacher Schweizer von 1990: -Integral als Fläche -Rekonstruktion -Kein Mittelwert Lambacher Schweizer von 2001: -Integral als Fläche -Rekonstruktion -Mittelwert Integralrechnung im Wandel der Zeit Lambacher Schweizer 3

4 Prinzip: Integral wird als Fläche unter einer Funktion f aufgefasst. Flächen- (bzw. Volumen-) berechnung im Bauwesen: häufig verbunden mit dem Vergleich verschiedener Möglichkeiten (hinsichtlich Materialaufwand) Rauminhalte von Rotationskörpern Integrieren heißt Flächenberechnung 3 Aufgabentypen 4

5 LS 2001, S.126. Gruppe 1: Leite die Formel zur Volumenberechnung einer Kugel her. Gruppe 2: Leite die Formel zur Volumenberechnung eines Kegels her. Ein Fass hat die Höhe h = 1,2 m und die Radien r = 0,80 m und R = 1,0 m. Bestimmen Sie sein Volumen V. Wählen Sie dazu ein geeignetes Koordinatensystem und bestimmen Sie eine quadratische Funktion f, über deren Graph Sie das Fass als Rotationskörper erhalten. Übungsaufgaben zum Aufwärmen Zum Mitdenken 5

6 Cornelsen 2001, S.244. Lösungen LS Lösungen 2001, S.105. Zum Mitdenken 6

7 Prinzip: Wiederherstellen der ursprünglichen Funktion f ausgehend von der momentanen Änderungsrate f. Häufige Verwendung im physikalischen Zusammenhang: Geschwindigkeit -> Weg Verrichtete Arbeit -> Kraft Integrieren heißt Rekonstruieren 3 Aufgabentypen 7

8 Elemente der Mathematik 2001, S.181f. Beispiel Rekonstruktion 8

9 Elemente der Mathematik 2001, S.181f. Beispiel Rekonstruktion 9

10 Elemente der Mathematik 2001, S.181f. Beispiel Rekonstruktion 10

11 Elemente der Mathematik 2001, S.181f. Beispiel Rekonstruktion 11

12 Eine Forschungsrakete soll mithilfe eines Fallschirms innerhalb von 20s von etwa 130 km/h auf etwa 22 km/h abgebremst und zur Landung gebracht werden. Nach einer Modellrechnung gilt dabei für ihre Geschwindigkeit: v(t) = 3/20 t² - 3 t + 36 (0 t 20; t in s, v in m/s). Welche Streckenlänge durchfällt die Rakete während der Bremsphase? (Hinweis: 1 m/s = 3,6 km/h) Lösung: Übungsaufgaben Zum Mitdenken 12

13 I a ( b) ( b a) f ( x0) Der Mittelwert ist über das Integral darstellbar 1 f ( x 0 ) Ia ( b) b a Integrieren heißt Mitteln 3 Aufgabentypen 13

14 Arithmetisches Mittel als Mittelwert Integrieren heißt Mitteln 3 Aufgabentypen 14

15 1 ( b) I a Unter der Zahl b a verstehen wir also den Mittelwert der Fkt. f im Intervall [a,b] 1 ( f ) Ia ( b) b a Integrieren heißt Mitteln 3 Aufgabentypen 15

16 LS Integrieren heißt Mitteln 3 Aufgabentypen 16

17 LS Integrieren heißt Mitteln 3 Aufgabentypen 17

18 LS Es wird auf das geometrisches Verständnis gebaut Integrieren heißt Mitteln 3 Aufgabentypen 18

19 19

20 Partielle Integration Aus der Produktregel kann ein Verfahren zur Bestimmung von Integralen gewonnen werden f b a u v b a f ' b a u' v uv' f '( x) dx u'( x) v( x) dx u( x) v'( x) dx Wegen b a f '( x) dx [ f ( x)] b a [ u( x) v( x)] b a gilt Integrationsregeln Partielle Integration 20

21 Idee zur Einführung Neugier wecken mit b a [(ln( x)) x] b a b a [ x] b a b a ln( x)dx 1 ln( x) dx (ln( x)) 1dx [(ln( x)) x] [(ln( x)) x x] b a b a b a x xdx Integrationsregeln Partielle Integration 21

22 Integrationsregeln Sonderfall 22 )] ( [sin ) )cos( sin( )] ( [sin ) )cos( sin( 2 ) )sin( cos( )] )sin( [sin( ) )cos( sin( x dx x x x dx x x liefert Integrale derselben zusammenfassen x x x x dx x x Partielle Integration

23 Substitution Hier ist die Kettenregel Grundlage Sei F Stammfkt. von f und g ist diff bar H( x) F( g( x)) H'( x) F'( g( x)) g'( x) f ( g( x)) g'( x) b a f ( g( x)) F( g( b)) g'( x) dx F( g( a)) [ F( g( x))] [ F( z)] b a g ( b) g ( b) g ( a) f ( z) g ( a) dz Integrationsregeln Substitution 23

24 Integrationsregeln Substitution 24

25 Integrationsregeln Substitution 25

26 Integralrechnung Akzente für den Grundkurs: Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate) Flächenberechnung durch Integration Akzente für den Leistungskurs: Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate) Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution) Flächenberechnung durch Integration Vorgaben für das Zentralabitur 2010 Der Lehrplan 26

27 Aufgabenart Analysis Bezüge zu den Vorgaben 2009 Inhaltliche Schwerpunkte Untersuchung von ganzrationalen Funktionen, gebrochen-rationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen mit Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate) Flächenberechnung durch Integration LK Abiturprüfungsaufgabe Beispielaufgabe 27

28 LK Abiturprüfungsaufgabe Beispielaufgabe 28

29 LK Abiturprüfungsaufgabe Beispielaufgabe 29

30 Lösung Beispielaufgabe 30

31 Wachsender Umfang von Integrationsinhalten in der Oberstufe Positive Verständnisentwicklung des Lehrplans oder erschwerende Verkomplizierung? Positiv verständnisfördernd 3 mögliche Zugänge geben Schülern die Möglichkeit sich auf ihre Weise dem Thema zu nähern Varianz der Aufgabentypen führt erst in die Tiefe des Integralbegriffs ein und schafft ein Verständnis davon Negativ verständniserschwerend 3 Herangehensweisen an Integration stiften bei schwachen Schülern größere Verwirrung (verlieren den Überblick) Einschränkung auf eine Annäherungsrichtung hilft schwachen Schülern ein Kalkül zu entwickeln Positive Entwicklung, die zum Verständnis beitragen kann, wenn sie überlegt und abgewogen zum Einsatz kommt Schlussbetrachtung Abwägen des Für und Wider 31

32 Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart: Analysis verständlich unterrichten, München Freudigmann, Hans, u.a.: Lambacher Schweizer. Grundkurs Analysis, Stuttgart Freudigmann, Hans, u.a.: Lambacher Schweizer. Leistungskurs Analysis, Stuttgart Griesel, Heinz, u.a.: Elemente der Mathematik. Leistungskurs Analysis, Hannover Jahnke, Thomas (Hrsg.): Mathematik. Analysis. Cornelsen, Berlin Schweizer, Wilhelm: Lambacher Schweizer. Analysis, Stuttgart Schweizer, Wilhelm; u.a.(hrsg.): Lambacher Schweizer. Analysis. Grundkurs Gesamtausgabe, Stuttgart Literatur 32