Vorwort 7. 1 Ganzrationale Funktion Fluss 9. 2 Ganzrationale Funktion Radsportler Ganzrationale Funktion Windeln 21

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1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort 7 1 Ganzrationale Funktion Fluss 9 NRW Abitur Ganzrationale Funktion Radsportler 13 NRW Abitur Ganzrationale Funktion Windeln 21 4 Ganzrationale Funktion Straßenkreuzung 26 Baden-Württemberg Abitur Ganzrationale Funktion Küstenlinie 32 Hessen Musteraufgabe 6 Ganzrationale Funktion Straßenlaterne 37 7 Gebrochenrationale Funktion Funktionenschar 41 NRW Abitur Gebrochenrationale Funktion Mineraldünger 45 9 Gebrochenrationale Funktion Heizkosten Gebrochenrationale Funktion Bakterienkultur Exponentialfunktion rechtwinkliger Schnitt 56 NRW Abitur Exponentialfunktion Funktionenschar 61 Niedersachsen Abitur Exponentialfunktion Grenzwert 66 Hessen Abitur Exponentialfunktion Ventile Exponentialfunktion Kettenlinie 73 Hessen Abitur Exponentialfunktion Pharmaunternehmen 79 NRW Abitur Exponentialfunktion Sauerstoffproduktion 85 NRW Abitur

2 Inhaltsverzeichnis 18 Exponentialfunktion Medikament 91 Baden-Württemberg Abitur Exponentialfunktion Schädlinge 95 Hessen Musteraufgabe 20 Logarithmusfunktion Schale Logarithmusfunktion Rotweinkaraffe 105 Hessen Musteraufgabe 22 Logarithmussfunktion Schadstoffmessung Logarithmusfunktion Atemstoßtest 114 Hessen Abitur Trigonometrische Funktion Sonnenschein Trigonometrische Funktion Luftvolumen der Lunge 120 KMK Musteraufgabe Stichwortverzeichnis 125 6

3 Vorwort Vorwort In diesem Aufgabenbuch finden Sie 25 Aufgaben für Prüfungsvorbereitungsklassen. Die Aufgaben sind nach Funktionenklassen sortiert und bieten eine breite Auswahl an Aufgabentypen und Schwierigkeitsgeraden. Am Anfang finden Sie rein mathematische «klassische» Abituraufgaben, anschließend gemischte Aufgaben und zum Schluss eher anwendungsbezogene Aufgaben. Im Anschluss an die Aufgaben befindet sich eine ausführliche Lösung, mit der auch Ihre Schüler die Bearbeitung der Aufgabe gut nachvollziehen kommen. Teilweise handelt es sich bei den Aufgaben um ehemalige Abituraufgaben aus verschiedenen Bundesländern, dies ist im Inhaltsverzeichnis angegeben. Wir hoffen, dass dieses Buch Ihnen bei der Abiturvorbereitung für Ihre Schüler hilft. Helmut Gruber, Robert Neumann 7

4 20 Logarithmusfunktion Schale Für jede Zahl t > 0 ist eine Funktionenschar f t (x) gegeben durch f t (x) = ln ( x 2 +t ) ; x IR a) Untersuchen Sie den Graphen von f t (x) auf Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte (auf die hinreichende Bedingung für Wendepunkte kann verzichtet werden). Skizzieren Sie den Graphen zu f 4 (x) für 3 x 3 (1LE = 2cm). Für welche Werte von t liegen die Wendepunkte des Graphen von f t (x) unterhalb der x-achse? ( ) ( ) b) Für 0 < t < 0,5 sind die Punkte A t t ln(2t), Bt t ln(2t) und O(0 0) Eckpunkte eines Dreiecks, das um die y-achse rotiert. Für welchen Wert von t wird der Rauminhalt des entstehenden Kegels am größten? Geben Sie den größtmöglichen Rauminhalt des Kegels an. c) Der Graph von f 4 (x) und die Gerade y = ln8 umschließen eine Fläche. Rotiert diese Fläche um die y-achse, entsteht eine Schale. Berechnen Sie das Volumen der Schale, wenn einer Längeneinheit 5 cm entsprechen. 101

5 Lösung Es ist f t (x) = ln ( x 2 +t ) ; t > 0, x IR a) Wegen f t ( x) = ln ( ( x) 2 +t ) = ln ( x 2 +t ) = f t (x) ist der Graph von f t (x) achsensymmetrisch zur y-achse. Zur Bestimmung der Nullstellen des Graphen von f t muss gelten: f t (x) = 0. Dies führt zu ln ( x 2 +t ) = 0 x 2 +t = e 0 = 1 x 1;2 = ± 1 t ; 0 < t 1 Für 0 < t 1 hat der Graph von f t (x) die Nullstellen x t;1 = 1 t und x t;2 = 1 t. Um die Extrempunkte zu bestimmen, benötigt man die 1. und 2. Ableitung, die man mit Hilfe der Ketten- und Quotientenregel erhält: f t (x) = 1 x 2 +t 2x = 2x x 2 +t f t (x) = 2 (x 2 +t ) 2x 2x 2t 2x2 (x 2 +t) 2 = (x 2 +t) 2 Die notwendige Bedingung f t (x) = 0 führt zu: Die hinreichende Bedingung ergibt: f t (0) = 2x x 2 +t = 0 x = 0 2t 2 02 (0 2 +t) 2 = 2t t 2 = 2 t > 0 Minimum Mit f t (0) = ln ( 0 2 +t ) = lnt erhält man als einzigen Extrempunkt den Tiefpunkt T t (0 lnt) Zur Bestimmung der Wendepunkte führt die notwendige Bedingung f t (x) = 0 zu: 2t 2x 2 (x 2 +t) 2 = 0 2t 2x2 = 0 x 1;2 = ± t ( ) ( (± ) ) 2 ( ) Mit f t ± t = ln t +t = ln(2t) erhält man die Wendepunkte W t;1 t ln(2t) ( ) und W t;2 t ln(2t) Die Wendepunkte liegen unterhalb der x-achse, wenn der y-wert der Wendepunkte kleiner als Null ist: ln(2t) < 0 2t < e 0 = 1 t < 1 2 Für 0 < t < 1 2 liegen die Wendepunkte unterhalb der x-achse. 102

6 b) Das Volumen des Kegels, der bei der Rotation des Dreiecks um die y-achse entsteht, erhält man mit der Formel: V = 1 3 π r2 h Die angegebenen Eckpunkte des Dreiecks sind: A t ( t ln(2t) ), Bt ( t ln(2t) ) und O(0 0) mit 0 < t < 0,5. Aus t < 0,5 folgt ln(2t) < 0. Damit ergibt sich für r und h: r = t und h = 0 ln(2t) = ln(2t), für das Volumen erhält man damit: V(t) = 1 3 π ( t ) 2 1 ( ln(2t)) = π t ln(2t) 3 Um das Maximum von V(t) zu bestimmen, benötigt man die 1. und 2. Ableitung von V(t), die man mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhält: V (t) = 1 ( 3 π 1 ln(2t) +t 1 ) 2t 2 = π (ln(2t) + 1) 3 V (t) = 1 3 π 1 2t 2 = π 3 1 t = π 3t Die notwendige Bedingung V (t) = 0 führt zu π 3 (ln(2t) + 1) = 0 bzw. ln(2t) + 1 = 0 2t = e 1 t = 1 2e 0,184 Wegen V ( ) 1 2e = π 3 11 = 2πe 3 < 0 handelt es sich um ein lokales Maximum. 2e Bei der Betrachtung der Randwerte von V(t), benutzt man die Tatsache, dass t schneller gegen Null geht, als lnt gegen minus Unendlich geht: lim V(t) = lim ( 13 ) π t ln(2t) = 0 t 0 + t 0 + und lim V(t) = lim ( 13 ) π t ln(2t) = 0 t 0,5 t 0,5 also handelt es sich bei t = 1 2e um ein absolutes Maximum. Mit ( ) 1 V = 1 2e 3 π 1 ( 2e ln 2 1 ) = π 2e 6e 0,193 hat der Kegel für t = 1 2e das größtmögliche Volumen; es beträgt etwa 0,193VE. y2 c) Das Volumen V der Schale erhält man, indem man die Formel V = π x 2 dy für Rotation y 1 um die y-achse verwendet, wobei x = f 4 (y) die Umkehrfunktion von y = f 4 (x) ist; die Inte- 103

7 grationsgrenzen sind y 1 = ln4 (y-wert des Tiefpunkts) und y 2 = ln8. y = f 4 (x) = ln ( x ) führt zu e y = x bzw. x 2 = e y 4. Damit ergibt sich: ln8 [ ] ln8 V = π (e y 4)dy = π e y 4y ln4 ln4 = π (e ln8 4 ln8 ( e ln 4 4 ln4 )) = π (8 4 ln ln4) 3,856VE Da eine Längeneinheit 5cm ist, ergibt eine Volumeneinheit 5cm 5cm 5cm = 125cm 3. Somit beträgt das Volumen der Schale etwa 3, cm 3 = 482cm