Analysis. Merkur. Haarmann Wolpers. Verlag Rinteln

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1 Haarmann Wolpers Analysis Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Hermann Haarmann Studiendirektor in Hildesheim Dr. Hans Wolpers Akademischer Direktor Als Computeralgebrasystem wurde im Buch das TI-Nspire CAS mit Touchpad Handheld und die passende TI-Nspire CAS Software verwendet. Als numerischer Graphikrechner kommt zudem der TI-84 Plus zum Einsatz. Diese Produkte sind eingetragene Warenzeichen von Texas Instruments. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * 6. Auflage by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung Satz: topset Computersatz, Nürtingen Druck und Herstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 Vorwort Das vorliegende Buch ist ein Arbeitsbuch für den Mathematikunterricht in Analysis in der Oberstufe der Beru ichen Gymnasien Wirtschaft sowie Gesundheit und Soziales und adäquater Schulformen wie z. B. das Berufskolleg. Es ist abgestimmt auf die Lernbereiche und Kurse mehrerer Bundesländer und beinhaltet die in der Einführungs- und Quali kationsphase zu erwerbenden Inhalte und Kompetenzen. Da die Vorkenntnisse der Schüler beim Eintritt in die gymnasiale Oberstufe sehr unterschiedlich sind, werden im Kapitel 1 Grundwissen u. a.themen wie Potenzen und Logarithmen, Gleichungen und Ungleichungen kurz wiederholt. Die Methoden der Analysis sind u. a. für die Behandlung von wirtschaftswissenschaftlichen und sozialen Phänomenen geeignet und wurden aus Bedürfnissen dieser Gebiete entwickelt. Das erklärt auch, dass die Analysis nicht nur innermathematische Bedeutung hat, sondern in vielen außermathematischen Anwendungsgebieten unentbehrlich ist. Aus diesem Grund werden im Buch neben der Behandlung mathematischer Gegenstände auch Begriffe aus der Ökonomie so weit behandelt, dass die Lernenden die anwendungsbezogenen und fächerübergreifenden Lerninhalte verstehen und deren Problemstellungen lösen können. Der Stoff wird auf der Basis anwendungsorientierter und vollständig durchgerechneter Beispiele eingeführt. Dabei werden wichtige Methoden und Begriffe durch strukturierten Text unterstützt, sodass der Rechengang durch diese Gestaltung nicht unterbrochen wird. Während die Beispiele mithilfe verschiedener Methoden und Sozialformen des Unterrichts behandelt werden können, dienen die Übungen dazu, in Stillarbeitsphasen den Stoff zu vertiefen und den Gedanken der Handlungsorientierung zu unterstützen. Die Lösungen dieser Übungen be nden sich im Anhang. Die Abschnitte des Buches sind als thematisch abgeschlossene Lerneinheiten konzipiert. Jede Lerneinheit schließt mit einer Anzahl von Aufgaben ab. Diese Aufgaben sind einmal als Ergebnissicherung und Übung, zum anderen als Hausaufgaben gedacht. Exkurse ergänzen und vertiefen bestimmte Inhalte. Sie sind besonders gekennzeichnet. De nitionen und Sätze sind durch Merke gekennzeichnet, rot gerastert und mit einem roten Rahmen versehen. Anmerkungen vertiefen die durch Merke hervorgehobenen De nitionen und Sätze. Der Rechenaufwand in den Beispielen und Aufgaben ist so gehalten, dass er meistens mit einem Taschenrechner GTR zu bewältigen ist. Bei einigen Aufgaben wurde mathematische Software benutzt. Einfache, mit dem GTR anzufertigende Skizzen sind vom Schüler leicht selbstständig zu lösen und werden daher nicht aufgeführt. Die Abituraufgaben für grundlegendes und erhöhtes Anspruchsniveau (bzw. Grundkursfach und Leistungsfach) dienen der unmittelbaren Vorbereitung zur Abiturprüfung. Im Zentralabitur wird die Bearbeitung verschiedener mathematischer Sachverhalte durch den Einsatz von GTR-Rechnern unterstützt. Im Buch wird an ausgewählten Beispielen unter der Bezeichnung Einsatz des GTR die Nutzung des GTR ausführlich beschrieben. Der Einsatz des TI-Nspire CAS mit Touchpad Handheld und die TI-Nspire CAS Software werden durch ein Glossar und durchgerechnete Beispiele aus Abiturprüfungen am Ende des Buches vorgestellt. Die Verfasser

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5 Inhaltsverzeichnis 1 Notwendiges Grundwissen Zahlenmengen Algebraische Grundlagen Gleichungen Ungleichungen Das rechtwinklige Koordinatensystem Rationale Funktionen und ihre Anwendungen Der Funktionsbegriff Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen (Eigenschaften von Funktionen) Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Gebrochenrationale Funktionen Folgen, Reihen und Zinseszinsrechnung Begriff der Zahlenfolgen Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Zinseszinsrechnung Von Grenzwerten und Ableitungen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Steigung und Ableitung an der Stelle x Die Ableitungsfunktion f Bestimmung der Ableitungsfunktion mithilfe von Ableitungsregeln Kurven und ihre wichtigsten Punkte Extrema und Monotonie Wendepunkt und Krümmung Kurvendiskussion Einführung in die Kurvenscharen Wozu nützt die Differenzialrechnung? Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Bedingungen Extremwertprobleme Extremwertprobleme aus der Wirtschaftslehre Einführung in die Integralrechnung Die Stammfunktion Das bestimmte Integral Die Integralfunktion Integrale, Flächeninhalte, Körpervolumen und Renten Berechnung von Flächeninhalten Volumenberechnung von Rotationskörpern Konsumenten- und Produzentenrente

6 9 Neue Funktionen und ihre Ableitungen Problemstellung Produkt-, Quotienten- und Kettenregel Von gebrochenrationalen Funktionen und Wirtschaftlichkeit Von Wurzelfunktionen, Sparen und Konsumieren Exponential- und Logarithmusfunktionen Grundwissen über Exponential- und Logarithmus funktionen Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Wachstumsmodelle Produktionsslebensdauerzyklen Ergänzungen zur Integralrechnung Uneigentliche Integrale Partielle Integration Integration durch Substitution Zahlungsströme Zusammenfassende Aufgaben Differenzialgleichungen Abituraufgaben für grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau Analysis Lösungen zu den Übungen Analysis Kapitel 1 Notwendiges Grundwissen Kapitel 2 Rationale Funktionen und ihre Anwendungen Kapitel 3 Folgen, Reihen und Zinseszinsrechnung Kapitel 4 Von Grenzwerten und Ableitungen Kapitel 5 Kurven und ihre wichtigsten Punkte Kapitel 6 Wozu nützt die Differenzialrechnung? Kapitel 7 Einführung in die Integralrechnung Kapitel 8 Integrale, Flächeninhalte, Körpervolumen und Renten Kapitel 9 Neue Funktionen und ihre Ableitungen Kapitel 10 Exponential- und Logarithmusfunktionen Kapitel 11 Ergänzungen zur Integralrechnung Nspire CAS Glossar mit Beispielen über ausgewählte Nspire CAS-Funktionen Nspire CAS in Klausuraufgaben Stichwortverzeichnis