7. Integralrechnung. Literatur: [SH, Kapitel 9]
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- Liane Mona Hofmann
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1 7. Integralrechnung Literatur: [SH, Kapitel 9] 7.. Was sind Integrale? 7.2. Unbestimmte Integrale 7.3. Flächen und bestimmte Integrale 7.4. Eigenschaften und bestimmte Integrale 7.5. Partielle Integration 7.6. Integration durch Substitution 7.7. Integration über unendliche Intervalle 7.8. Riemann-Integrale Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-
2 7.. Was sind Integrale? Wozu Integrale? Umkehrung der Ableitung: Gegeben ich kenne die Ableitung, welche Funktion steckt dahinter? Flächen unterhalb einer Funktion Konsumentenrente, Produzentenrente, Erwartungswerte von Zufallsvariablen etc. Die schlechte Nachricht: Integrieren ist i.a. schwieriger als Ableiten Bei vielen Funktionen kann kein Integral bestimmt werden Es muss numerisch approimiert werden! Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-2
3 7.2. Unbestimmte Integrale () Definitionen Gegeben: eine Funktion f() Gesucht: alle Funktionen F(), die f() als Ableitung haben Definition (Stammfunktion). Eine Funktion, die f() als Ableitung hat, heißt Stammfunktion F(), d.h. Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-3
4 7.2. Unbestimmte Integrale (2) Wenn F() eine Stammfunktion von f() ist, dann ist auch F(X) + C Stammfunktion von f(): d(f() C) df() dc df() d d d d Alle Stammfunktionen lassen sich als F() + C schreiben, wobei C eine beliebige Konstante ist. Definition (Unbestimmtes Integral). Die Menge aller Stammfunktionen ist das unbestimmte Integral. C = Integrationskonstante = Integrationsvariable Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-4
5 7.2. Unbestimmte Integrale (3) Beispiel: f() 2 F() F() F() C f()d 3 3 C Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-5
6 7.2. Unbestimmte Integrale (4) Die Integration ist also die Gegenoperation zur Ableitung: d d d f()d F() C F'() f() d F'() d f()d F() C Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-6
7 7.2. Unbestimmte Integrale (5) Rechenregeln: Wichtige Integrale Potenzregel a d a a C a Beispiele: (a) d (b) d Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-7
8 7.2. Unbestimmte Integrale (6) Rechenregeln: Wichtige Integrale (Fortsetzung) Eponentialfunktion e a e a d e d e a d a ln a C a C, C, a a 0 0 und a Logarithmusfunktion d ln C Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-8
9 7.2. Unbestimmte Integrale (7) Rechenregeln: Wichtige Integrale (Fortsetzung) Einfache Rechenregeln Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-9
10 7.2. Unbestimmte Integrale (8) Rechenregeln: Wichtige Integrale (Fortsetzung) Beispiele: ( a) e 2 d (b) 2 d (c) 3 4 8e d Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-0
11 7.3. Flächen und bestimmte Integrale () Bestimmtes Integral Definition: Die Differenz des Wertes der Stammfunktion an zwei Stellen a und b ist das bestimmte Integral. Dabei heißen a und b die Integrationsgrenzen. Die Integrationskonstante C spielt beim bestimmten Integral keine Rolle: (F(b) + C) (F(a) + C) = F(b) F(a) Unterschied: Das bestimmte Integral (die Fläche) ist eine Zahl. Das unbestimmte Integral ist eine Funktion von. Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-
12 7.3. Flächen und bestimmte Integrale (2) Flächen unter Kurven Wichtige Anwendung: Die Fläche unter einem Kurvenstück lässt sich durch das bestimmte Integral bestimmen! Voraussetzung: Die Funktion f() ist zwischen den Punkten a und b stetig nichtnegativ (f() 0) Dann ist die Fläche unterhalb f() zwischen den Punkten = a und = b gleich Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-2
13 7.3. Flächen und bestimmte Integrale (3) Flächen unter Kurven (Fortsetzung) Abbildung 5: Flächenberechnung [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-3
14 7.3. Flächen und bestimmte Integrale (4) Beispiel: (4 ) d (4 ) d 3 Abbildung 5: Flächenstück unter f() = p +q [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-4
15 7.3. Flächen und bestimmte Integrale (5) Beispiel: 2 e 2 d Abbildung 52: Flächenstück unter f() = e (/2) [SH] 2 e 2 d Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-5
16 7.3. Flächen und bestimmte Integrale (6) Negative Integranden f() Ist die Funktion zwischen a und b nichtpositiv (f() 0) statt nichtnegativ, dann ist die Fläche oberhalb f() zwischen den Punkten a und b gleich Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-6
17 7.3. Flächen und bestimmte Integrale (7) Beispiel: 3ln 3 e d Abbildung 53: Flächenstück unter f() = e /3-3 [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-7
18 7.3. Flächen und bestimmte Integrale (8) Wechselnde Vorzeichen von f() Wechselt die Funktion zwischen a und b die Vorzeichen, dann muss die Fläche in Teilstücke zerlegt und berechnet werden. Beispiel: Abbildung 54: Integrand mit wechselnden Vorzeichnen [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-8
19 7.4. Eigenschaften bestimmter Integrale () Eigenschaften Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-9
![Abschnittsweise Integralberechnung [SH]](/docs-images/80/82283139/images/20-2.jpg "Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol.")
20 7.4. Eigenschaften bestimmter Integrale (2) Abschnittsweise Integralberechnung Abbildung 55: Abschnittsweise Integralberechnung [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-20
21 7.4. Eigenschaften bestimmter Integrale (3) Ableitung nach den Integrationsgrenzen Beispiel: d db b a 5 2 ln(3) d Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-2
22 7.5. Partielle Integration () Ziel: Integration von bestimmten komplizierteren Funktionen (aus der Produktregel) Unbestimmte Integrale: Bestimmte Integrale: Trick: Anwendbar, wenn Funktion aus einem Produkt f() g () besteht, bei dem g () einfach zu integrieren ist f () g() ebenfalls einfach zu integrieren ist. Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-22
23 7.5. Partielle Integration (2) Beispiel: e d f () g'() f() g'() e f'() g() e d f()g() f'()g() d Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-23
24 7.6. Integration durch Substitution () Ziel: Vereinfachung von bestimmten Integralen. Ansatz: Definiere und ersetze innere Funktion u = g() da g'() du d du g'()d. Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-24
25 7.6. Integration durch Substitution (2) Beispiel: d u g() g'() f(u) u g() 2 0 g'() d f(g()) g'() d d Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-25
26 7.6. Integration durch Substitution (3) Analog für bestimmte Integrale: Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-26
27 7.6. Integration durch Substitution (4) Beispiel: e ln( ) ug( ) g'() d f(u) u g() ln() g'() e e ( ln()) d ( ln()) d Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-27
28 7.7. Integration über unendliche Intervalle () Kann man die Fläche unter der Kurve berechnen und ist sie endlich, obwohl sie nach rechts unbegrenzt ist? Abbildung 56: Unbegrenzte Fläche [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-28
29 7.7. Integration über unendliche Intervalle (2) () Integration zu einer oberen Grenze b A(b) b 0 e d e b 0 e b 0 A(b) b 0 e d e b e b (2) Grenzwert für b (wenn > 0) lim b A(b) Die Fläche nähert sich also beliebig nahe der, ist also praktisch gleich. Man schreibt auch e d 0 Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-29
30 7.7. Integration über unendliche Intervalle (3) Allerdings muss ein solcher Grenzwert nicht immer eistieren. Beispiel: d lim b b d lim [ln ] b b lim [ln b ln()] b lim [ln(b)] b Die Fläche ist also nicht nur unbegrenzt sondern auch unendlich groß. Abbildung 57: Unendliche Fläche [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-30
31 7.7. Integration über unendliche Intervalle (4) Integrale über unbeschränkte Funktionen. Ein ähnlicher Fall tritt auf, wenn eine Fläche unbegrenzt ist, da die Funktion unendlich große Werte annimmt. Beispiel: Abbildung 58: Integral über unbeschränkte Funktion [SH] Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-3
32 7.7. Integration über unendliche Intervalle (5) Obwohl f() wenn 0 + ist die Fläche unter dem Kurvenstück endlich: 2 h d 2 h / 2 d 2 / 2 2 h h 2 2 für h 0 Man schreibt: 2 d lim 0 2 h0 h 2 2 Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-32
33 7.8. Riemann-Integrale () Problem: Für viele Funktionen eistiert keine Stammfunktion Integral nicht berechenbar Lösung: Numerische Approimation des Integrals Einfachstes Beispiel für eine solche Methode: Riemann-Summen Teile den Integrationsbereich [a,b] in n Teile mit der jeweiligen Breite Lege in jeden Teil ein Rechteck unter die Funktion Breite von Rechteck i = Höhe von Rechteck i = f( i ) mit i innerhalb des Bereiches i Approimierte Fläche: b a f() d n i f( ) i Je größer n, desto genauer die Approimation. Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-33
34 7.8. Riemann-Integrale (2) Beispiel einer nicht integrierbaren Funktion Beispiel einer Riemann-Summe mit n = 0 und n = 50 Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-34
35 Ende Wirtschaftsmathematik WS 203/4 lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B7-35
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