Mathematik Q1 - Analysis INTEGRALRECHNUNG

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1 Mathematik Q1 - Analysis INTEGRALRECHNUNG

2 ZIELE Einführung der neuen Begrifflichkeiten orientierter Flächeninhalt Integral Integralfunktion anhand der Badetag-Aufgabe Berechnung von Integralen mittels des 1. Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

3 Fließgeschwindigkeit in l pro min BADETAG Herr Schmitz bereitet sich auf sein geliebtes Wannenbad vor und lässt Wasser ein. Das folgende Diagramm stellt die zeitliche Entwicklung von Zufluss und Abfluss dar: Zeit t in min 1) Beschreibe in 3-4 Sätzen, wie Herr Schmitz das Wasser in die Wanne einlässt.

4 Fließgeschwindigkeit in l pro min BADETAG Zeit t in min 2a) Wie viel Liter waren maximal in der Wanne?

5 Fließgeschwindigkeit in l pro min BADETAG Zeit t in min Maximaler Inhalt: W(9) = = 86 Liter

6 Fließgeschwindigkeit in l pro min BADETAG Zeit t in min 2b) Inhalt nach 16 Minuten: W(16) = W(9) 4 10 = = 46 Liter

7 3) Ab t=12 gelte konstant v(t) = -10l/min Wann ist die Wanne leer? nach 16 min noch 46 l, 46 l : 10 l/min = 4,6 min, also ist die nach 20 min und 36 sec. leer

8 Wasserstand in Litern WASSERSTANDSFUNKTION W(T) 4) Skizziere die Funktion W(t), die für jeden Zeitpunkt den Wasserstand in der Wanne angibt Zeit t in min

9 ORIENTIERTER FLÄCHENINHALT Die Funktion W(t) gibt für jeden Zeitpunkt an, wie viel Wasser in der Wanne ist Offensichtlich berechnet man einen solchen Wert, indem man die Flächeninhalte (zwischen Graph und x-achse), die oberhalb der x-achse liegen, addiert die Flächeninhalte, die unterhalb der x-achse liegen, subtrahiert. Man spricht daher vom ORIENTIERTEN FLÄCHENINHALT

10 Fließgeschwindigkeit in l pro min BADETAG Zeit t in min Inhalt nach 16 Minuten: W(16) = = = 46 Liter

11 INTEGRALBEGRIFF Die Summe dieser (orientierten) Flächen wird als Integral bezeichnet: Das Integral von a bis b einer Funktion f ist die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen Graph und x-achse, kurz y Exact: Integral: Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte oberhalb der x-achse mit einem positiven und unterhalb der x-achse mit einem negativen Vorzeichen versehen. a + A 1 + A3 - A 2 - A 4 b x

12 Fließgeschwindigkeit in l pro min BADETAG Zeit t in min Inhalt nach 16 Minuten: 16 0 v t dt = = 46 Liter

13 INTEGRALFUNKTION 46

14 DEFINTION INTEGRALFUNKTION Gegeben ist eine Funktion f. Für eine fest gewählte Zahl a heißt die Funktion x I a x = f t dt a Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a. Die Integralfunktion ordnet jeder Stelle x den Wert des Integrals f t dt zu, d.h. x a die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen a und x.

15 2. ZIEL: INTEGRALFUNKTIONEN BESTIMMEN Oft ist es sehr mühsam/unmöglich, die orientierten Flächeninhalte auszurechnen Wir suchen daher nach einer Möglichkeit, die Integralfunktion (hier I 0,5 (x)) direkt aus der gegebenen Funktion f zu bestimmen Dann wäre es sehr einfach, das Integral zu bestimmen (Einsetzen!): f x dx = I 0.5 (2. 5) A 1 A 2

16 Wasserstand in Litern BADETAG Gib für die Funktion W(t) im Bereich 0 bis 4 min eine Funktionsvorschrift an. Wie könnte man die Funktion v(t) aus der Funktion W(t) zurückgewinnen? Zeit t in min

17 BADETAG v(t) = 10, denn pro Minute fließen 10 Liter Wasser ein. Für t Minuten berechnen wir also den Flächeninhalt (d.h. das Integral!) durch: t 0 t 0 v x dx = 10 dx = t 10 = 10 t Also: W(t) = 10t im Intervall [0;4] Zusammenhang zwischen W(t) und v(t): W (t) = 10 = v(t)

18 BADETAG II (ARBEITSBLATT) Stellt euch nun vor, Herr Schmitz dreht den Wasserhahn ganz langsam und gleichmäßig auf, so dass der Wasserhahn erst nach 10 min voll aufgedreht ist (also 10 l/min fließen). Der Zulauf in den ersten 10 Minuten werde also durch die Funktion v(t) = t beschrieben. 1) Berechne, wie viel Liter Wasser nach 10 min in der Wanne sind. 2) Du hast in der letzten Aufgabe ein Integral berechnet. Welches? Notiere die Rechnung von 2. nochmal mit Hilfe der Integral- Schreibweise. 3) Bestimme eine Formel, die zu einem beliebigen Zeitpunkt t zwischen 0 und 10 min angibt, wie viel l Wasser in der Wanne sind. Fällt dir etwas auf? Vergleiche die Formel mit der Funktion v(t).

19 LÖSUNG 1) W(10) = ½ = ½ 10 2 = 50 Liter ) W(10) = v t dt = t dt = t 0 3) W(t) = v x dx = x dx = W (t) = ½ 2 t = t = v(t), d.h. t 0 50 Liter ½ t t = ½ t 2 Vermutung: Die Ableitung der Integralfunktion ist wieder die Ausgangsfunktion!

20 HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG integrieren, hochleiten f(x) differenzieren, ableiten

21 KONSEQUENZEN

22 LÖSUNG Wir bestimmen I 1 (x) 6 Dann gilt f x dx = I Um I 1 (x) zu bestimmen, müssen wir f x = x 3 + 3x 2 + 5x 3 hochleiten : I 1 x = 1 4 x4 + x x2 3x + c

23 LÖSUNG Wir müssen noch die Konstante c bestimmen Dazu nutzen wir aus, dass gelten muss: 1 I 1 1 = f x dx = 0 1 I 1 1 = c = 0 0,25 + c = 0 c = 0, 25

24 LÖSUNG I 1 x = 1 4 x4 + x x2 3x 0, 25 6 f x dx = I = 36,5 Negativ??

25 LÖSUNG JA!!! Wir bestimmen bei der Integralberechnung die Summe der orientierten Flächeninhalte!

26 WAS MAN WISSEN MUSS: Was versteht man unter einem Integral? Warum kann ein Integral auch negativ sein? Was ist eine Integralfunktion? (Denkt an die Wasserstandsfunktion der Badewanne) Was sagt der Hauptsatz aus? (Denkt an das Schaubild mit den Pfeilen) Wie berechnet man ein Integral mit Hilfe der Integralfunktion?

27 AUFGABEN Arbeitsblatt, Aufgabe 1