Integrale. Mathematik Klasse 12. Fläche 1. Fläche 4. Fläche 2. Fläche 5 Fläche 3. Fläche 6. Ditmar Bachmann / Eurokolleg.

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1 Fläche 1 Fläche 4 Fläche 2 Fläche 5 Fläche 3 Fläche 6 aus Google maps

2 Begriff des Integrals Die Wurzeln zur Integralrechnung reichen bis ins Altertum zurück. Damals ist man auf das Problem gestoßen, Flächen mit krummen Rändern zu berechnen, also nicht nur gerade Rechtecke, sondern auch Kreise, Ellipsen oder noch krummere Dinger. Beispiele zur Flächenberechnung: Wie groß ist die Fläche des Steinsees? Lösungsansatz: Zerlege die Fläche so, dass jedes Stück nur noch jeweils eine krumme Seite hat. Beschreibe den krummen Rand als Graph einer Funktion. Finde eine Methode, wie du die Fläche zwischen der x-achse und dem Graphen einer Funktion berechnen kannst. aus Google maps

3 Problem: Wie kann eine Fläche mit krummen Rändern berechnet werden? Bereits Archimedes von Syrakus (~240 BC) hatte die entscheidende Idee: Man bildet schmale Rechtecke und summiert deren Flächeninhalte. Je schmaler das Rechteck, desto genauer wird das Ergebnis. Auf diese Weise kann man sich dem richtigen Ergebnis immer besser annähern. Die blauen und die roten Rechtecke haben die gleiche Grundfläche, die blauen Rechtecke liefern zu viel, die roten zu wenig. Tipp mit schöner geogebra - Animation:

4 Im 17. Jahrhundert, also fast 2000 Jahre später, entwickelten Newton und Leibniz dann Methoden, mit denen man diese Probleme genauer und eleganter lösen konnte, in dem sie ein ganz anderes Problem lösten: Problem: Eine Funktion liegt vor, die die Ableitung einer anderen Funktion ist. Wie finde ich diese andere Funktion? f(x) = 2x f (x) = 2 h (x) = 2x h(x) = x 2

5 Bezeichnungen und Definitionen und Regeln Definition: f: D f R sei eine beliebige Funktion: Eine Funktion F: D f R heißt Stammfunktion von f, wenn F = f, wenn also f die Ableitung von F ist. Beispiel: f(x) = 2x 2. Dann ist F(x) = 2 3 x3 eine Stammfunktion von f(x), weil ( 2 3 x3 ) = 2x 2 Fragen: Gibt es zu jeder Funktion eine Stammfunktion? Gibt es nur eine Stammfunktion? Wie findet man die Stammfunktionen? Ja, wenn f(x) stetig ist nein, es gibt unendlich viele mit folgenden Regeln Regel zur Bildung Stammfunktionen: Eine Potenzfunktion f: D f R mit f(x) = ax n hat die Stammfunktionen F(x) = a n+1 x n c, c R Die Stammfunktion eines Polynoms wird gebildet, indem man die Stammfunktionen der einzelnen Summanden bildet. Beispiel: f(x) = 4x 5-5x 3 + 2x Dann ist F(x) = 4 6 x6-5 4 x x3 + 7x eine Stammfunktion von f(x)

6 der Knüller Frage: Was hat der Leibniz / Newton Ansatz, also die Stammfunktionen, mit dem Flächeninhalt von krummlinigen Figuren zu tun? Problem: Wie groß ist die blaue Fläche Lösung: Finde ein Stammfunktion zu der roten Funktion f(x) : F(x) = 2 4 x x3 Berechne die blaue Fläche A f mit: A f = F(2) F(1) A f also: A f = F(2) F(1) = ( ) = 1 5 6

7 Definitionen und Schreibweisen Def.: Die Menge aller Stammfunktionen F zu einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f: Schreibweise: f x dx = F(x) + c, mit c R Def: Für eine Stammfunktion F(x) von f heißt die Zahl F(b) F(a) das bestimmte Integral von f in den Grenzen a,b D f. Schreibweise: a b f x dx = F(b) F(a) Bezeichnungen: In dem Ausdruck a b f x dx = F(b) F(a) heißt f(x) der Integrand, x die Integrationsvariable a die obere Integrationsgrenze, b die untere Integrationsgrenze

8 Regeln Um bestimmte zu geschickt berechnen zu können, gibt es verschiedene Rechenregeln: Ist F(x) eine Stammfunktion von f und sind a,b D f die untere bzw obere Integrationsgrenze, so gilt:. a a f x dx = 0 (gleiche Integrationsgrenze) b a a f x dx = b f x dx (vertauschen der Integrationsgrenzen) b c b a f x dx = a f x dx + c f x dx (Itegrationsintervall aufteilen) b b b a (f x + g x )dx = a f x dx + a g x dx (Summenregel) b b a (a f x )dx = a a f x dx (Faktorregel)

9 Begriff des Integrals Das Integral ist in gewissem Sinn die Umkehrung der Ableitung, wie die Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Eine wichtige Anwendung der Integralrechnung ist, Flächen unter Kurven zu berechnen. Beispiele zur Flächenberechnung: Problem: Wie kann eine Fläche mit krummen Rändern berechnet werden?

10 Ein Auto mit der Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/sec wird konstant beschleunigt mit der Beschleunigung a = 1,25 m/sec 2. Wie groß ist seine Geschwindigkeit nach 1 sec, nach 4 sec nach 12 sec? Wie groß ist seine Geschwindigkeit nach t 0 sec? Um die Geschwindigkeit v(t) des Autos zu bestimmen, sucht man eine Stammfunktion: v(t) = a dt = at + C. (denn v (t) = a!) C ist in diesem Fall die Anfangsgeschwindigkeit 10 m/sec. v(1)= 1, = 11,25 v(4)= 1, = 15 v(12)= 1, = 25 v(t 0 )= 1,25 t Um die zurückgelegte Strecke s(t) zu bestimmen, sucht man eine Stammfunktion zu v(t): s(t) = v(t) dt = (at + 10)dt = ½ 1,25t t + C 1 denn s (t) = v(t)!) C 1 ist in diesem Fall die Anfangsstrecke, zb 0 m. s(1)= ½ 1, = 10,625 s(3)= ½ 1, = 50 s(5)= ½ 1, = 81,25 s(t 0 )= ½ 1,25 t t 0 =