Wir halten in einem s t Diagramm das Anfahren eines Autos fest. Wir nehmen an, dass zwischen Weg und Zeit der einfache Zusammenhang

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Martin Michael Buchholz
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1 . Die Momentangeschwindigkeit eines Autos Wir halten in einem s t Diagramm das Anfahren eines Autos fest. Wir nehmen an, dass zwischen Weg und Zeit der einfache Zusammenhang s(t) = t gilt. Im s t Diagramm wird die Geschwindigkeit durch des Graphen sichtbar. Unser Ziel ist es, die Momentangeschwindigkeit des Autos zu einem beliebigen Zeitpunkt zu bestimmen. Dazu berechnen wir in den Schritten. bis.3 die Steigung an den Graphen an dieser Stelle... Die Steigung von Sekanten Wir nähern die gesuchte Tangente durch eine Folge von an. t sei die Stelle, für welche wir die Momentangeschwindigkeit bestimmen wollen, t sei eine zweite Stelle mit t > t. Die Sekante legen wir durch die Punkte P(t f(t )) und Q(t f(t)). Für die Steigung resp. die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten wir: Weg s (in m) v = Im Folgenden bleibt der Punkt P immer fix, während der Punkt Q auf dem Graphen sich in Richtung von P bewegt. Dazu lassen wir t gegen t streben. Als Resultat erhalten wir eine Schar von Sekanten. Zeit t (in s) Die Sekante durch die Punkte ( ) und ( ). Beispiel: t = s. Dann ist s(t ) = m. Berechnen Sie die Werte in der Tabelle! t (in s) t t (in s) s(t) (in m) s(t) s(t ) (in m) v (in m/s) Die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t = s beträgt näherungsweise m/s. Seite

2 .. Die Steigung der Tangenten in einem bestimmten Punkt Die Schar der Sekanten nähert sich immer mehr der Tangenten an den Graphen im Punkt P(t f(t )) an. Wir berechnen nun für t. Weg s (in m) s(t) s() t = = = = t Zeit t (in s) Die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t = s beträgt genau m/s. Die Tangente an den Punkt ( )..3. Die Steigung der Tangenten in einem beliebigen Punkt Wir machen denselben Grenzübergang wie in.., aber wir ersetzen den speziellen Wert durch den allgemeinen t : s(t) s(t ) t t = = = t t = = Die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t beträgt genau oder als Funktion ausgedrückt: v(t) = Die Funktion v(t) nennen wir die Ableitung der Funktion s(t). Seite

3 . Die Ableitung Die formale Definition der Ableitung lehnt sich stark ans Beispiel von. an. Voraussetzung ist eine Funktion f, die in einem Intervall I definiert ist. Für uns wird oft gelten, dass I =. x und x seien zwei Punkte aus I, x = x x. Ihre 4 3 Δf Funktionswerte sind f(x ) und f(x), f = f(x) f(x ). 3 4 Der Ausdruck Δf = f(x) f(x ) = f(x + ) f(x ) x x gleich der Steigung der Sekanten. f(x Der Ausdruck + ) f(x ) heisst Differenzenquotient von f. Sein Wert ist heisst Differentialquotient von f. Wenn der Grenzwert existiert, so heisst er Ableitung von f an der Stelle x und wird mit d dx f(x ) oder f (x ) bezeichnet. Sein Wert ist gleich der Steigung der Tangenten an den Graphen von f im Punkt (x f(x ))... Ableitungen mit dem Differentialquotienten q(x) = x (x + ) x = x + x + x x + = x q (x) = x = x + q ist in jedem Punkt x differenzierbar. l(x) = mx+q m(x + ) + q (mx + q) = = = l (x) =, d.h. l ist. k(x) = a = k (x) = r(x) = x r =, d.h. r ist für x = nicht definiert. = = = r (x) = Seite 3

4 mit r =, d.h. die Ableitung r ist für x = nicht definiert. b(x) = x b = Für alle Punkte x ist b linear und weist eine konstante Steigung auf. Es gilt: b (x) = falls x >, d.h. b existiert für alle x. falls x < Für x = ist der Differentialquotient nicht eindeutig, denn das Resultat hängt davon ab, ob der verschiebbare Punkt sich links oder rechts vom fixen Punkt ( ) befindet: b( + ) b() = = = b( + ) b() = = = Die Eindeutigkeit ist eine notwendige Bedingung für einen Grenzwert. Da dies hier nicht der Fall ist, existiert in x = keine Ableitung für b(x), d.h. b = Bildlich bedeutet dies, dass b in x = keine eindeutige Tangente besitzt Die letzten beiden Beispiele zeigen einen wichtigen Zusammenhang zwischen zwei wichtigen Begriffen der Differentialrechnung auf: Die Stetigkeit einer Funktion ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit. Die Funktion r ist in x = nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar. Die Funktion b ist überall stetig und trotzdem nicht für alle x differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion darf keine Ecken, sondern nur runde Übergänge haben. Eine Funktion ist stetig, wenn sie mit einem Strich ohne Absetzen zeichenbar ist. Sie weist also keine Definitionslücken oder Sprungstellen auf. Seite 4

5 .. Einfache Ableitungsregeln Ableiten mit Hilfe des Differentialquotienten ist relativ aufwändig. Wir wollen einige Regeln herleiten, die uns das Ableiten vereinfachen sollen. f(x) = a f (x) = (Diese Regel wurde bereits in.. gezeigt.) g(x) = f(x)+a g (x) = f (x) d.h. ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. f(x + ) + a (f(x) + a) f(x + ) f(x) Beweis: g (x) = = = f (x) g(x) = c f(x) g (x) = c f (x) d.h. ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten. Beweis: g (x) = g(x) = f (x)+f (x) g (x) = f (x)+f (x) d.h. das Ableiten ist summandenweise möglich. Beweis: g (x) = Beispiel: f(x) = 3 x + 4x + = f (x) = f(x) = x n f (x) = n x n ( Polynomregel ) Beweis: (x + ) n x n = xn +n x n +? x n + + n x n = n x n +? x n + + n n x n +? x n + + n = n x n Beispiel: f(x) = 3x 7 +x +7x 3 f (x) = Seite

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