Grundzüge der VWL A. Mathematik

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1 Grundzüge der VWL A. Mathematik Max Albert, Henrik Egbert, Vanessa Mertins & Birgit E. Will WS 05/06 1 Mathematische Voraussetzungen Vorlesung und Übung setzen den Stoff der Veranstaltung Mathematik A (Vorlesung und Übung) als bekannt voraus. Etwaige Lücken in Ihren Kenntnissen sollten Sie dringend schließen. Weder in der Vorlesung noch in den Übungen zur VWL A kann die notwendige Mathematik in ausreichendem Umfang erklärt werden. Was Sie dort zur Mathematik hören, dient nur dazu, Sie an bekannten Stoff zu erinnern oder auf dieser Grundlage neue Begriffe einzuführen. Sie müssen Ihre Lücken daher durch selbstständige Arbeit schließen. Entsprechende Literaturempfehlungen finden Sie am Ende dieser Hinweise. Einige mathematische Konzepte sind für die Veranstaltung von besonderer Bedeutung und werden das gesamte Semester hindurch immer wieder verwendet: Differenzialrechnung, insbesesondere partielle Ableitungen, totales Differenzial, Differenzenquotient, Differenzialquotient, Elastizitäten, Satz über implizite Funktionen, Höhenlinien, Ableitungen der Umkehrfunktion Optimierung mit und ohne Nebenbedingung, Bedingungen erster und zweiter Ordnung, Lagrangeansatz Funktionen mit mehreren Veränderlichen Folgen und Grenzwerte homogene und homothetische Funktionen konvexe Mengen, (Quasi-)Konkavität und (Quasi-)Konvexität von Funktionen Wir empfehlen Ihnen daher, sobald wie möglich zu überprüfen, ob Sie über ausreichende Kenntnisse zu diesen Stichwörtern verfügen. In der ersten Übungsstunde werden für die Mikroökonomie wichtige mathematische Grundlagen noch einmal kurz wiederholt. Es wird außerdem an die aus der Mathematik A bekannte Notation erinnert und allgemein der Umgang mit Mathematik in der Veranstaltung erläutert. Die elementare (Schul-)Mathematik Umformung von Gleichungen, Bestimmung von Geradensteigungen, Kurvendiskussionen wird nicht wiederholt. 1

2 Es ist häufig sinnvoll, sich Funktionen grafisch zu veranschaulichen. Insbesondere bei Funktionen mit zwei oder emhr Veränderlichen kann dabei ein Mathematikprogramm sehr hilfreich sein. Kostenlos erhältlich und leicht zu erlernen sind die Programme MuPAD Light (unter und GNUPLOT (unter Mathematica und Maple erfordern eine gewisse Einarbeitung, sind dafür aber sehr leistungsfähig und lassen sich für viele Zwecke einsetzen. Für Maple gibt es eine Campuslizenz. Die Verwendung dieser Programme ist freiwillig und nicht klausurrelevant. Es handelt sich nur um Hilfsmittel zur Erarbeitung des Vorlesungsund Übungsstoffes. 2 Notation und Interpretation der Differentialrechnung 1. Gleichheit, Definition, Identität: Eine Gleichung legt eine Menge von Lösungswerten fest. Beispiel: x 2 1 = 0 für x R legt fest, daß x {1, 1}. Für Definitionen wird das Symbol := oder =: verwendet; der definierte Ausdruck steht auf der Seite des Doppelpunkts. Definitionen führen zu Identitäten; dies sind Gleichungen, die für alle Einsetzungen der Variablen gelten. Beispiel: h(x) := f[g(x)] definiert die Funktion h als Verkettung der Funktionen g und f. Daraus ergibt sich die Identität f 1 [h(x)] g(x). Diese Identität besagt, daß die f 1 [h(x)] = g(x) für alle möglichen Werte von x erfüllt ist. 2. Klammerung: Für verschachtelte Ausdrücke werden zur leichteren Lesbarkeit manchmal verschiedene Klammern verwendet, z.b. bei Summen wie a + {b + [c + (d + e)]} oder verschachtelten Funktionen wie h{g[x, f(z)]}. Diese Klammern dürfen nicht (und können eigentlich auch nicht) mit Mengenklammern (s. Bsp. oben: x {1, 1}) oder Klammern für die Angabe von Intervallen (z.b. das links offene, rechts geschlossene Intervall (0, 1]) verwechselt werden. 3. Rundung: Verwenden Sie die mathematische Rundung. Beispiel: Wenn man 1 auf zwei Stellen hinter dem Dezimalpunkt angibt, geht man von 3 drei Stellen aus, also , und rundet ab, weil die dritte Stelle kleiner als 5 ist: Bei 2 erhält man und rundet auf, weil 3 3 die dritte Stelle größer als 5 ist: Ist die dritte Stelle gleich 3 5, dann wird so gerundet, dass die zweite Stelle entweder eine gerade Zahl oder 0 ist: ergibt 0.34, ergibt Rechnen Sie so weit wie möglich mit den exakten Werten, auch wenn 2

3 gerundete Zwischenergebnisse verlangt werden. Frühzeitiges Runden führt u.u. dazu, daß Sie die geforderte Genauigkeit verfehlen. Beispiel: statt 1 9 = 3 = D-Operator für Ableitungen: Für die Ableitung einer Funktion f : R R schreiben wir f (x); die Ableitung an einer bestimmten Stelle wie z.b. x = 7 lautet dann f (7). Für eine Funktion g : R 2 R findet man für die erste partielle Ableitung nach der ersten Variablen am häufigsten folgende Schreibweisen: g(x 1, x 2 ) x 1 oder g x1 (x 1, x 2 ) oder D 1 g(x 1, x 2 ) Für diese Veranstaltung ist die letztgenannte Schreibweise verbindlich. Die Ableitung an einer bestimmten Stelle wie z.b. (x 1, x 2 ) = (13, 5) lautet D 1 g(13, 5). Der Index am D-Operator gibt die Nummer der Variablen an, nach der abgeleitet wird; es spielt damit keine Rolle, welcher Buchstabe für diese Variable verwendet wird. Beachten Sie, daß D 1 g(13, 5) eine Zahl ist, während es sich bei D 1 g(x 1, x 2 ), D 1 g(13, x 2 ) und D 1 g(x 1, 5) um (verschiedene) Funktionen handelt. Gelegentlich hat eine Funktion keinen eigenen Namen, z.b. g[f(x), x]. Um die Ableitung dieses Ausdrucks nach x zu bezeichnen, gibt es zwei Möglichkeiten: Man definiert die Funktion k(x) := g[f(x), x] und schreibt Dk(x) = D 1 g[f(x), x]f (x)+d 2 g[f(x), x]. Oder man klammert den abzuleitenden Ausdruck: D{g[f(x), x]} = D 1 g[f(x), x]f (x) + D 2 g[f(x), x] Wird eine Funktion zweimal abgeleitet, z.b. zuerst nach der ersten und dann nach der zweiten Variable, schreibt man D 2 [D 1 g(x 1, x 2 )] oder bequemer D 1,2 g(x 1, x 2 ). Mehrfache Ableitungen nach derselben Variablen lassen sich auch durch einen hochgestellten geklammerten Index kennzeichnen, also D (2) 1 g(x 1, x 2 ) statt D 1,1 g(x 1, x 2 ). Im Einklang mit dieser Schreibweise kann man im übrigen auch Df(x) statt f (x) schreiben und D (2) f(x) statt f (x). 5. Ableitung und Näherungsrechnung: Wir betrachten eine Funktion f : R R, die den Zusammenhang zwischen einer unabhängigen Variable x und einer abhängigen Variable y beschreibt, also y = f(x). Die Ableitung der Funktion ist f f(a + h) f(a) (a) := lim, h 0 h 3

4 falls der Limes existiert. Die erste Näherung für die Veränderung von f an der Stelle a wird durch die lineare Funktion f (a)h beschrieben. Es gilt y := f(a + h) f(a) f (a)h. Aus der Definition der Ableitung folgt, daß die Näherung für hinreichend kleine Absolutwerte von h immer besser wird in dem Sinne, daß der Fehler der Näherung im Verhältnis zu h immer geringer wird. Es gibt verschiedene traditionelle Schreibweisen, die diesen Zusammenhang ausdrücken sollen. Anstelle der unabhängigen Variablen h verwendet man oft auch x oder dx, um deutlich zu machen, daß h als Veränderung von x interpretiert werden kann. Man schreibt auch dy = f (a)dx, wobei die abhängige Variable dy die Näherung für die Veränderung von y angibt, wenn dx die Veränderung von x ist, also y dy für hinreichend kleine dx. Im folgenden wird x anstelle von h verwendet. Wir schreiben also y f (a) x. Diese Idee läßt sich auch auf Funktionen mehrerer Variabler ausdehnen. Die erste Näherung für die Veränderung einer Funktion g : R 2 R an einer Stelle (a 1, a 2 ) lautet y := g(a 1 + x 1, a 2 + x 2 ) g(a 1, a 2 ) D 1 g(a 1, a 2 ) x 1 + D 2 g(a 1, a 2 ) x 2, wobei die Näherung desto besser ist, je kleiner ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) Ableitung einer impliziten Funktion: Wir betrachten die Funktion g : R 2 R. Sei y = g(x 1, x 2 ) und g(a 1, a 2 ) = y 0, wobei y 0 eine Konstante ist. Wir betrachten eine Umgebung U von (a 1, a 2 ). In dieser Umgebung möge zu jedem x 2 genau ein x 1 mit g(x 1, x 2 ) = y 0 existieren. Mit anderen Worten: Es existiert eine implizite Funktion h mit g[h(x 2 ), x 2 ] y 0. Wenn diese Funktion an der Stelle (a 1, a 2 ) differenzierbar ist, gilt und somit D[g[h(a 2 ), a 2 ]] = D 1 g[a 1, a 2 ]h (a 2 ) + D 2 g[a 1, a 2 ] = 0 h (a 2 ) = D 2g[a 1, a 2 ] D 1 g[a 1, a 2 ]. Folgende Form der Berechnung findet sich häufig: Man führt das sogenannte totale Differential dy = D 1 g[a 1, a 2 ]dx 1 + D 2 g[a 1, a 2 ]dx 2 von g an der Stelle a 1, a 2 ein. In unserer Interpretation ist dies eine Näherungsformel für die Veränderung von y (s.o.). Wenn sich x 1 und 4

5 x 2 ausgehend von [x 1, x 2 ] = [a 1, a 2 ] so verändern, daß die Funktion g näherungsweise auf dem Niveau y 0 konstant bleibt, muß gelten. Daraus ergibt sich dy = D 1 g[a 1, a 2 ]dx 1 + D 2 g[a 1, a 2 ]dx 2 = 0 dx 1 dx 2 = D 2g[a 1, a 2 ] D 1 g[a 1, a 2 ]. Der Ausdruck dx 1 /dx 2 ist nichts anderes als eine Näherung für die Veränderung der impliziten Funktion h: dx 1 = h(a 2 )dx 2. Mit Hilfe des totalen Differentials läßt sich schnell und intuitiv rechnen. Allerdings kann man bei komplizierteren Berechnungen leicht Fehler machen, weil die impliziten Funktionen nicht ausdrücklich eingeführt werden, so daß nicht klar ist, welche Variable als Funktion welcher anderen Variable betrachtet wird. 7. Ableitung der Umkehrfunktion: Wir betrachten eine umkehrbar eindeutige (bijektive) und differenzierbare Funktion f : R R. Die Umkehrfunktion lautet f 1 (z) =: g(z). Es gilt g (z) = 1/f (x), wobei jedoch z = f(x) vorausgesetzt werden muß. Die Behauptung g (z) = 1/f (x) ohne die letztgenannte Einschränkung wäre falsch. Die Einschränkung kann auch berücksichtigt werden, indem man g [f(x)] 1/f (x) schreibt. Beispiel: Sei f(x) = x 3. Dann gilt f 1 (z) = z 1/3 =: g(z). Es gilt nun g (z) = z 2/3 /3 und f (x) = 3x 2. Weiter gilt f(1) = 1, g (1) = 1/3 und f (1) = 3, also g (1) = 1/f (1). Es gilt jedoch f(2) 1; wir erhalten g (1) = 1/3 und f (2) = 8, also g (1) 1/f (2). 8. Variablen- und Funktionssymbole: Häufig wird, um die Zahl der verwendeteten Symbole kleinzuhalten, dasselbe Symbol für eine Variable und eine Funktion verwendet. Beispiel: y = y(x, z). 9. Schreibweise für Optimierungsprobleme Soll eine Zielfunktion f : R 2 R 2 unter der Nebenbedingung g(x 1, x 2 ) = c durch geeignete Wahl der Instrumentvariablen x 1, x 2 maximiert werden, wird dies in der Vorlesung wie folgt dargestellt: max {f(x x 1, x 1, x 2 ) : g(x 1, x 2 ) = 0} 2 Gelegentlich werden wir Nebenbedingungen wie x 1, x 2 0 (Nichtnegativitätsbedingungen) nicht explizit erwähnen, weil die entsprechenden 5

6 Variablen bereits als positive Variablen definiert wurden. Soll die Nichtnegativität explizit erwähnt werden, bieten sich zwei Möglichkeiten: max x 1, x 2 0 {f(x 1, x 2 ) : g(x 1, x 2 ) = 0} oder max x 1, x 2 {f(x 1, x 2 ) : g(x 1, x 2 ) = 0, x 1, x 2 0} Zielfunktion und/oder Nebenbedingungen können Parameter enthalten: max x 1, x 2 {f(x 1, x 2, a) : g(x 1, x 2 ) = c} Ein solches Maximierungsproblem bestimmt, wenn es lösbar ist, Lösungsfunktionen für x 1 und x 2, die von den Parametern a, c abhängen: x j = x j(a, c), j = 1, 2. Das gesuchte Maximum hängt über diese Lösungsfunktionen ebenfalls von den Parametern ab, wird also durch z(a, c) := f[x 1(a, c), x 2(a, c)] bestimmt. Häufig definiert man die sogenannte Maximalwertfunktion z direkt durch z(a, c) := max x 1, x 2 {f(x 1, x 2, a) : g(x 1, x 2 ) = c}. Diese Definition hat den Vorteil, daß sie auch dann verwendbar ist, wenn es zu gewissen (oder allen) Werten von a, c mehrere Lösungen gibt (die dann natürlich alle den gleichen Maximalwert z(a, c) liefern müssen). Der sogenannte Einhüllendensatz (Enveloppensatz, englisch envelope theorem) macht Aussagen über die erste Ableitung von Maximalwertfunktionen. Der Einhüllendensatz wird in der Vorlesung für spezielle Fälle erläutert und verwendet. Literatur Adams, Gabriele; Kruse, Hermann-Josef; Sippel, Diethelm; Pfeiffer, Udo (2002), Mathematik zum Studieneinstieg. Grundwissen der Analysis für Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure, Naturwissenschaftler und Informatiker, 4. Auflage, Berlin: Springer. In diesem Buch werden die Grundlagen der Analysis (Funktionen, Grenzwerte, Differentialrechnung) sehr ausführlich erklärt. Es ist sehr gut für das Selbststudium geeignet. Chiang, Alpha C. (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3. Auflage, New York: McGraw-Hill. 6

7 Dieses weltweit verwendete Standardlehrbuch eignet sich sowohl für Erstsemester zum systematischen Lernen als auch für Fortgeschrittene als Nachschlagewerk. Es geht zwar weit über das hinaus, was in der Vorlesung verlangt wird, ist aber eine gute Hilfestellung für diejenigen, die ihr Hauptstudium eher quantitativ ausrichten wollen. Dörsam, Peter (2003), Mathematik anschaulich dargestellt, 11. Auflage, Heidenau: Pd-Verlag. Elementar, deckt nicht die gesamten Anforderungen ab, ist aber für Studenten mit geringen mathematischen Kenntnissen als Einstieg oder Repetitorium geeignet. Der ausführliche Anhang kann als Formelsammlung zum Nachschlagen dienen. Schindler, Klaus (2002), Mathematik für Ökonomen. Grundlagen für Betriebswirte, Volkswirte und Wirtschaftsingenieure, 4. Auflage, Wiesbaden: Deutscher Universitäts-Verlag. Dieses Lehrbuch ist der Referenztext der Veranstaltung VWL A. Aufgrund seiner vollständigen mathematischen Beweisführung und der großen Anzahl von Beispielen ist der Text in sich geschlossen und kann ohne Sekundärliteratur erarbeitet werden. Für Vorlesung und Übung sind die Kapitel Mengenlehre, Abbildungen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit von besonderer Bedeutung. Das abschließende Kapitel Ökonomische Anwendungen (neu in der 4. Auflage) enthält die beispielhafte Anwendung mathematischer Konzepte auf mikroökonomisch relevante Fragestellungen wie Präferenzen, Nutzenfunktionen und Produktionsfunktionen. Es geht zudem ausführlich auf die Differentialrechnung als mathematisches Hilfsmittel für ökonomische Probleme ein. Simon, Carl; Blume, Lawrence (1994), Mathematics for Economists, New York: Norton. Gutes Lehrbuch, das jedoch in weiten Teilen über das Geforderte hinausgeht. Stöwe, Heinz; Härtter, Erich (1990), Lehrbuch der Mathematik für Volkswirte und Betriebswirte, 3. Auflage, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht. Vermittelt im wesentlichen den Stoff, der an den meisten Universitäten in den Grundvorlesungen Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler vermittelt wird. Es werden nur Kenntnisse der elementaren Schulmathematik vorausgesetzt. Im Anhang sind einige dieser Grundkenntnisse noch einmal übersichtlich zusammengestellt. Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter I. (2004), Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Basiswissen mit Praxisbezug, München: Pearson. Sehr umfassende und umfangreiche Einführung in die Analysis mit dem 7

8 Schwerpunkt auf den wirtschaftswissenschaftlichen Aspekten. Das Buch enthält die für die Mikroökonomie wichtigsten Konzepte. Der Lehrinhalt wird durch eine Vielzahl von Fallstudien und wohlüberlegte Didaktik veranschaulicht. Das Buch eignet sich sehr gut für das Selbsstudium, sowohl bei guten als auch bei geringen mathematischen Vorkenntnissen. Die englische Ausgabe von 1995 mit dem Titel Mathematics for Economic Analysis wird nicht mehr aufgelegt; der Nachfolger wurde in zwei Bände aufgesplittet. Der erste Band mit dem Titel Essential Mathematics for Economic Analysis enthält die Grundlagen, der zweite Band baut auf diesen auf. Varian, Hal R. (2003), Intermediate Microeconomics, 6. Auflage, New York: Norton (bzw. die dt. Übersetzung bei Oldenbourg). Varian bietet in seinem mathematischen Anhang eine kurze Wiederholung der im Textteil verwendeteten Konzepte. Der Inhalt reicht für das Verständnis des Vorlesungs- und Übungsstoffes nicht aus. 8