Integral- und Differentialrechnungen für USW Lösungen der Beispiele des 10. Übungsblatts

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1 Integral- und Differentialrechnungen für USW Lösungen der Beispiele des. Übungsblatts. Flächeninhalt unter einer Kurve: (a) Das bestimmte Integral von y(x) x zwischen x und x ist x dx x + + x ( ) x / (b) Das bestimmte Integral von y(x) x zwischen x und x + ist + x dx x + + x+ x (+) / + (c) Die Funktion y(x) x erfüllt y(x) für x und y(x) für x. Daher ist der Flächeninhalt zwischen der Kurve für y(x) x und der x-achse für x [, +] gegeben durch + ( x dx x dx ). Flächeninhalt zwischen Kurven (a) Die Kurven für u(x) x x und v(x) x x + x treffen einander in den x-werten, die erfüllen oder u(x) x x x x + x v(x) x(x ) x x Daher besitzt die Differenz u(x) v(x) Nullstellen in x,. Da die Funktion u(x) v(x) für alle x R stetig ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz, dass das Vorzeichen der Differenz durch die folgenden Auswertungen bestimmt wird: u( ) v( ) +5 u(x) v(x) > x (, ) u() v() u(x) v(x) < x (, ) u() v() + u(x) v(x) > x (, + ) Daher ist der Flächeninhalt zwischen den Kurven für u(x) und v(x) für x [, ] gegeben durch [u(x) v(x)] }{{} x x dx [u(x) v(x)] dx }{{} x x ) ) ( x x x ( x x x x x ( 9 ) 9 8

2 (b) Die Kurven für f(x) /x und g(x) /x treffen einander in den x-werten, die erfüllen oder f(x) x x x x / g(x) Daher besitzt die Differenz f(x) g(x) eine Nullstelle in x. Da die Funktion f(x) g(x) für alle x R + stetig ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz, dass das Vorzeichen der Differenz durch die folgenden Auswertungen bestimmt wird: f( ) g( ) +8 f(x) g(x) > x (, ) f( + ) g( + ) /6 f(x) g(x) < x (, + ) Daher ist der Flächeninhalt zwischen den Kurven für f(x) und g(x) für x [, ( 9 8 ) ] gegeben durch (9/8) [f(x) g(x)] dx [f(x) g(x)] dx }{{} }{{}. Leibniz-Regel x x x x ( ) ( ) x + + x + x + x + x + x + x(9/8) + x ( ) ( ) x / / x/ x / x / x / x/ x(9/8) / x 6 [( ( ) (a) Das bestimmte Integral ist F (x) [( ( ) ln(x) sin(x) ( ) 9 8 ] ( ) ) t dt t ( 9 8 ) ) ( 9 8 ( ) ] ) ( ) tln(x) (ln(x)) (sin(x)) tsin(x) und mit der Kettenregel ist die Ableitung von F (x) gegeben durch F (x) (ln(x)) (ln(x)) (sin(x)) (sin(x)) (ln(x)) x (sin(x)) cos(x) (b) Mit der Leibniz-Regel ist die Ableitung von F (x) direkt gegeben durch F (x) t tln(x) (ln(x)) t tsin(x) (sin(x)) (ln(x)) x (sin(x)) cos(x) die mit dem Ergebnis vom Teil (a) übereinstimmt, obwohl der Aufwand mit der Leibniz- Regel weniger ist.

3 (c) Die Ableitung der Funktion F (x) an(x) tan (x) e t dt kann nicht mit der Methode im Teil (a) bestimmt werden, da es keine abgeschlossene Formel für eine Stammfunktion des Integrands e t gibt. Trotzdem mit der Leibniz-Regel,. Numerische Integralrechnung (a) Für eine Approximation des Werts F (x) e t ttan(x) (tan(x)) e t ttan (x) (tan (x)) e (tan(x)) sec (x) e (tan (x)) + x erf(), erf(x) x e t dt π wird eine Riemannsche Summe S(n) mit der Teilung t i i/n, i,..., n, t i t i t i /n, i,..., n des Intervalls [, ] und mit Auswertungen der Funktion e t / π in ˆt i t i, i,..., n, gegeben durch n S(n) e t i ti n π n e (i/n) π i (b) Die Auswertungen von S(n) für n,,, sind S() Sum[(./) Exp[-(i/)^]/Sqrt[Pi], {i,, }].865 S() Sum[(./) Exp[-(i/)^]/Sqrt[Pi], {i,, }].898 S() Sum[(./) Exp[-(i/)^]/Sqrt[Pi], {i,, }].8 S() Sum[(./) Exp[-(i/)^]/Sqrt[Pi], {i,, }].8665 (c) Die Auswertung der error function ist erf() Trennbare Differentialgleichungen (a) Zur Lösung des Problems des exponentiellen Wachstums, gruppiert man die m-variablen zusammen, i m (t) m(t), m() m (t) m(t), m() und integriert beide Seiten von t bis zu einer beliebigen Zeit t T >, ln(m(t)) tt T t m (t) T m(t) dt dt t tt t T

4 Zur Bestimmung der Stammfunktion ln(m(t)) erkennt man im Integrand m (t)/m(t), dass die Ableitung des Nenners im Zähler steht, und dann verwendet man die Kettenregel. Alternativ macht man die Substitution u m(t), du m (t)dt, und es gilt m (t) du m(t) dt ln(u) ln(m(t)) u Bei der Auswertung in t und t T und mit m() ergibt sich ln(m(t )/) ln(m(t )) ln() ln(m(t )) ln(m()) ln(m(t)) Bei der Auswertung der Funktion exp( ) in beiden Seiten ergibt sich m(t )/ exp(ln(m(t )/)) e T oder m(t ) e T tt t T Da T > beliebig ist, ist die Lösung m(t) e t. Zur Kontrolle bestätigt man folgendermaßen direkt, m(t) löst das Problem des exponentiellen Wachstums, m (t) D t e t (e t ) m(t), m() e. (b) Zur Lösung des Problems des logistischen Wachstums, gruppiert man die p-variablen zusammen, p (t) p(t)( p(t)), p() / p (t), p() / p(t)( p(t)) und integriert beide Seiten von t bis zu einer beliebigen Zeit t T >, T p (t) T p(t)( p(t)) dt dt t tt T t Zur Bestimmung einer Stammfunktion verwendet man Partialbruchzerlegung, p( p) A p + B p Durch Multiplikation mit p( p) sieht man, die unbekannten Koeffizienten A und B müssen für alle p erfüllen, A( p) + Bp und insbesondere { p : A + B p : A + B oder A B. Das bestimmte Integral ist dann T p (t) T [ p p(t)( p(t)) dt (t) p(t) + ln(p(t)) ] p (t) T dt p(t) tt ln( p(t)) tt t t p (t) T p(t) dt p (t) p(t) dt

5 wobei, wie im Teil (a), die Stammfunktionen ln(p(t)) und ln( p(t)) durch die Kettenregel oder durch die Substitutionen u p(t), du p (t)dt, bzw. v p(t), dv p (t)dt, bestimmt werden. Man sammelt die obigen Ergebnisse und bekommt ln(p(t)) tt ln( p(t)) tt T t t Durch die entsprechenden Auswertungen mit p() / T [ln(p(t )) ln(p())] [ln( p(t )) ln( p())] ( ) p(t ) [ln(p(t )) ln(/)] [ln( p(t )) ln(/)] ln p(t ) Bei der Auswertung der Funktion exp( ) in beiden Seiten ergibt sich e T p(t ) p(t ) ( p(t ))e T p(t ) e T p(t )( + e T ) oder p(t ) et + e T ( ) e T e T + e T Da T > beliebig ist, ist die Lösung p(t) /( + e t ). Zur Kontrolle bestätigt man folgendermaßen direkt, p(t) löst das Problem des logistischen Wachstums, p (t) D t ( + e t ) ( + e t ) D t e t ( + e t ) [ ] [ + e t ] e t p(t)( p(t)) + e t + e t + e t + e t ( + e t ) p (t) 6. Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung p() + e (a) Mit x (t) g 9.8 Meter/Sekunde folgt x (t) x () + x (s)ds gds gt wobei x () verwendet worden ist. Wenn nochmals integiert wird, ergibt sich x(t) x() + x (s)ds h e t gsds h gt / wobei x() h Meter verwendet worden ist. Die Aufprallszeit τ erfüllt x(τ) h gτ / oder h/g τ oder τ h/g Die Aufprallsgeschwindigkeit ist dann (b) Anhand der Beschleunigung x (τ) gτ g h/g hg 5

6 integriert man grafisch (der Flächeninhalt der obigen Kurve ist bis t, er bleibt bis t und er wird bis t 5) und bekommt die Geschwindigkeit und die Position (wegen Symmetrien ist der Flächeninhalt der obigen Kurve für die jeweiligen Teilintervalle t [, ], t [, ] und t [, 5]) d.h. es gelten x(), x() x() + und x(5) x() + 6. Insbesondere mit x(5) 6 fährt man 6 Kilometer in den 5 Minuten. Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist 6 Kilometer / 5 Minuten oder 7 Kilometer/Stunde. Man kann das Problem auch mit Formeln folgendermaßen lösen. Aus der Grafik für x (t) liest man Punkte auf jeder Gerade, bestimmt die Formel für die entsprechende Gerade 6

7 und sammelt diese Formeln für die folgende stückweise Definition für die Beschleunigung, t, t [, ] t, t [, ] x (t), t [, ] 6 t, t [, ] t, t [, 5] Die Geschwindigkeit bekommt man mit Formeln, wenn man x (t) stückweise integriert. Mit x () ist x (t) für t [, ] gegeben durch x (t) x () + x (s)ds sds s t t, t [, ] Mit x () (aus der letzten Formel) ist x (t) für t [, ] gegeben durch x (t) x () + x (s)ds + ( s)ds + (s s ) t + t t, t [, ] Mit x () (aus der letzten Formel) ist x (t) für t [, ] gegeben durch x (t) x () + x (s)ds + ds, t [, ] Mit x () (aus der letzten Formel) ist x (t) für t [, ] gegeben durch x (t) x () + x (s)ds + (6 s)ds + (6s s ) t 7 + 6t t, t [, ] Mit x () (aus der letzten Formel) ist x (t) für t [, 5] gegeben durch x (t) x () + x (s)ds + Zusammengefasst ist die Geschwindigkeit gegeben durch t, t [, ] + t t, t [, ] x (t), t [, ] 7 + 6t t, t [, ] t t + 5, t [, 5] (s )ds +(s s) t t t +5, t [, 5] Die Position bekommt man mit Formeln, wenn man x (t) stückweise integriert. Mit x() ist x(t) für t [, ] gegeben durch x(t) x() + x (s)ds s ds t /, t [, ] Mit x() (aus der letzten Formel) ist x(t) für t [, ] gegeben durch x(t) x() + x (s)ds + ( + s s )ds / t + t t /, t [, ] 7

8 Mit x() (aus der letzten Formel) ist x(t) für t [, ] gegeben durch x(t) x() + x (s)ds + ds t, t [, ] Mit x() (aus der letzten Formel) ist x(t) für t [, ] gegeben durch x(t) x() + x (s)ds + ( 7 + 6s s )ds 7 7t + t t /, t [, ] Mit x() 7/ (aus der letzten Formel) ist x(t) für t [, 5] gegeben durch x(t) x()+ x (s)ds 7 + (s s+5)ds 7/+5t 5t +t /, t [, 5] Zusammengefasst ist die Position gegeben durch t /, t [, ] / t + t t /, t [, ] x(t) t, t [, ] 7 7t + t t /, t [, ] 7/ + 5t 5t + t /, t [, 5] Aus dieser Formel ergibt sich x(5) 6. 8