3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet.

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1 unit 1 / Seite 1 Einführung Differenzialgleichungen In physikalischen Anwendungen spielt oft eine Messgrösse in Abhängigkeit von der Zeit die Hauptrolle. Beispiele dafür sind Druck p, Temperatur T, Geschwindigkeit v (Schnelligkeit), Position x, Spannung U,... Für die Ableitung dieser Grössen nach der Zeit gibt es ein spezielles Symbol, nämlich den Punkt : ṗ, T, v, ẋ, U,... Diese Ableitungen haben manchmal eigene Namen, so ist die Geschwindigkeitskomponente in x Richtung gerade v x =ẋ oder die Beschleunigungskomponente in x Richtung a x = v x =ẍ. Die Punktschreibweise kann natürlich bei Bedarf jederzeit wieder in die Differenzialschreibweise umgewandelt werden: ṗ = dp, T = dt dv dx, v =,ẋ =, U = du,... Aufgabe: Wir betrachten einen Wagen der entlang der x Achse fährt. Dabei reguliert er seine Geschwindigkeit v nach folgendem Gesetz: v = 1 x +1 Der Wagen passiert die Marke x = 0 zur Zeit t =0: 1. Berechnen Sie den Fahrplan x(t) für t Zur Zeit t 5 ist der Wagen bei x = 5. Berechnen Sie t Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet. 5. Experimentieren Sie mit verschiedenen Time Steps (0.25, 0.125,...) und beobachten Sie, wie sich die numerisch bestimmte Zeit t 5 ändert. (Verwenden Sie ODE4 mit der Option Fixed Timestep!)

2 unit 1 / Seite 2 Lösung: 1. In der Differentialgleichung v = dx können wir die Variablen separieren: = 1 x +1 (x +1) dx = Jetzt integrieren wir und setzen die Anfangswerte ein: x (x +1) dx = t Wir erhalten und x2 + x = t x = t 0 2. Setze x = 5 in vorletzte Gleichung ein: t 5 =17.5 (Sekunden) 3. Beachten Sie die Kettenregel im 2. Schritt! a = dv = 1 (x +1) dx 2 = 1 (x +1) 3 Wir setzen die unter 1. gefundene Funktion x(t) ein und erhalten: 1 a = ( 1+2t ) Bei grösserem Zeitschritt Time Step wird der Wert für t 5 zu klein! Weshalb?

3 unit 1 / Seite 3 Aufgabe 1 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung (d.h. die Lösungsschar) der Gleichungen: 1. dy dx = 1 2 x2 2. dt = sin(2t) Aufgabe 2 Bestimmen Sie jeweils die spezielle Lösung durch den angegebenen Punkt, indem Sie die Konstante der in obiger Aufgabe gefundenen Lösungsschar bestimmen: a) dy dx = 1 2 x2 Kurve durch (0, 5). dt b) = sin(2t) Kurve durch (0, 4). c) Plotten Sie die beiden Kurven mit MATLAB. Aufgabe 3 Bestimmen Sie jeweils die spezielle Lösung durch den angegebenen Punkt, indem Sie die Koordinaten der Punkte direkt als Integrationsgrenzen einsetzen: a) b) dy dx = 1 2 x2 Kurve durch (0, 5). dt = sin(2t) Kurve durch (0, 4). Aufgabe 4 Erstellen Sie für jede Gleichung ein SIMULINK Modell und vergleichen Sie die Lösungskurve (y(x) resp. T (t)) mit den in Aufgabe 2 gefundenen MATLAB Graphen. a) dy dx = 1 2 x2 b) dt = sin(2t) Lösung: Die speziellen Lösungen sind y = 1 6 x3 + 5 und T = 1 cos(2t) Das zweite Integral bei Aufgabe 3 sieht beispielsweise so aus: T 4 dt = t 0 sin(2t) =... Bemerkung: Die Integrationsvariablen werden in t und T umbenannt, so entstehen keine Konflikte beim einsetzen der Grenzen!

4 unit 2 / Seite 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen/SIMULINK Aus einer Büchse fliesst Wasser durch ein Loch aus. Bestimme den zeitlichen Verlauf des Wasserspiegels h(t). Zur Zeit t 0 = 0 sei der Wasserstand h 0. Das Gefäss ist ein Kreiszylinder mit Querschnittsfläche A 1, das Loch ein Kreis mit Fläche A 2. Wenn alles ohne Reibung und Wirbel verläuft, ist die Ausflussgeschwindigkeit (in Abhängigkeit von der Füllhöhe h) v 2 = 2gh Aus der Kontinuitätsgleichung A 1 v 1 = A 2 v 2 und v 1 = dh (v 1 ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Wasserspiegel bewegt) folgt schliesslich die gewöhnliche, nichtlineare, separierbare Differentialgleichung 1. Ordnug für h: A 1 dh = A 2 2gh Die Lösungsschar ergibt sich durch Integration: ( h = A 2 g A 1 2 t + c ) 2 2 Setzen wir die AW ein folgt Die Ausflusszeit beträgt h = ( A ) 2 g 2 h A 1 2 t + 0 T = A 1 2h0 A 2 g SIMULINK Erstelle jetzt ein SIMULINK Modell für Deine ganz private Büchse. Überprüfe die Ausflusszeit mit der obigen Formel und anhand des Graphen, den Du mit SIMULINK findest.

5 unit 3 / Seite 5 Separierbare Gleichung Beispiele: 1. y = y x 2. 3x 2 + ax 5y =0 3. Ein Kapital K wird mit p% pro Jahr verzinst. Am Anfang einer Zeitperiode t beträgt das Kapital K 0. Wir nehmen an, dass das Kapital für Zwischenperioden kontinuierlich (d.h. nicht nur zum Jahresende) verzinst wird. Wie lautet die Funktion K(t) des Kapitals zur Zeit t? 4. T = k(t T 0 ) 5. y = x y Lineare Differentialgleichung, Variation der Konstanten Hier werden lineare DGL 1. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten behandelt, Variation der Konstanten. Beispiele: 1. y cos(x) y sin(x) =1 2. y y x = x x 2 y y = 1 x Isoklinenverfahren für Gleichungen 1. Ordnung Beispiele: 1. y = y x 2. y = y x 3. y = x 2 + y 2

6 unit 4 / Seite 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgabe 1 Die vier Differentialgleichungen a. ẍ +2ẋ + x =0 b. ẍ + x =0 c. ẍ +2ẋ x =0 sind gemäss nachfolgendem Rezept zu untersuchen. Wir suchen jeweils die allgemeine Lösung der (homogenen) Gleichung und gehen wie folgt vor: A. schreibe das chrakteristische Polynom χ(λ) auf B. suche die Nullstellen und schreibe das Spektrum σ auf 1 C. schreibe das Polynom als Produkt der Linearfaktoren 2 D. schreibe jetzt eine Basislösung der Differentialgleichung und damit die allgemeine Lösung auf Lösung: Zu D: Die allgemeinen Lösungen sind a. x h = c 1 e t + c 2 te t b. x h = c 1 cos(t)+c 2 sin(t) c. x h = c 1 e t cos( t 2 )+c 2e t sin( t 2 ) 1 MATLAB: roots 2 MATLAB: factor faktorisiert das Polynom, wobei komplexe Nullstellen zu quadratischen Faktoren führen.

7 unit 4 / Seite 7 Aufgabe 2 Die drei Differentialgleichungen 1. ẍ +2ẋ +4x =2e t 2. ẍ ẋ + x = t t ẍ 3ẋ = 10 sin(2t) sind gemäss nachfolgendem Rezept zu untersuchen: A. Suche die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. B. Gib eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung an. C. Zu den Anfangswerten x 0 = 0 und ẋ 0 = 0 ist die Lösung anzugeben. Aufgabe 3 Wir betrachten die Differentialgleichung xy +2y = x 2 Die Gleichung lässt sich lösen, wenn wir die Substitution u = x 2 y vornehmen und zunächst die Funktionenschar u bestimmen. 1. Bestimme die Lösungsschar u und damit y 2. Bestimme die spezielle Lösung durch den Punkt P =(1, 9 4 ).

8 unit 5 / Seite 8 Inhomogene lineare Differentialgleichungen Spezieller Ansatz Wir betrachten die allgemeine lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a ẍ + b ẋ + cx = I(t) Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung x = x h + x s Zunächst stellen wir fest, dass sich x h als Linearkombination von zwei Lösungen darstellen lässt x h = c 1 x 1 + c 2 x 2 Dabei sind x 1 und x 2 je nach Vorzeichen der Diskriminante des charakteristischen Polynoms χ(λ) =aλ 2 + bλ + c von der Form x 1 x 2 D>0 e λ 1t e λ 2t D =0 e λt te λt D<0 e Re(λ)t cos(im(λ) t) e Re(λ)t sin(im(λ) t) Die Werte von λ 1 und λ 2 sowie λ sind die Nullstellen von χ(λ). Um eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden, stehen zwei Methoden zur Verfügung 1. spezieller Ansatz (geht nur für Spezialfälle) 2. Variation der Konstanten (geht allgemein, wird hier nicht behandelt!) Aufgaben: Bestimme zunächst die allgemeine Lösung und dann die spezielle Lösung, die die angegebenen Anfangsbedingungen (AW) erfüllt: 1. ẍ +4x = t mit AW: ẋ(0) = 0 und x(0) = ẍ 4x = cos(t) mit AW: ẋ(0) = 2 und x(0) = ẍ +ẋ 2x = e t mit AW: ẋ(0) = 0 und x(0) = ẍ +3ẋ 2x = sin(t) mit AW: ẋ(0) = 0 und x(0) = 0.

9 Aufgabe 1: Klassifiziere die folgenden Differentialgleichungen Gleichung Anfangswerte gewöhnlich partiell Ordnung linear falls Gleichung linear, konst. Keoffizienten: homogen / inhomogen trennbare Variablen Nr. ẍ + 6ẋ + 5x = 0 x 0 = 2, ẋ 0 = 1 a y t + y = 0 y(0, 0) = 0 b x ẋ cos(x) = 2t x(1) = 0 c ẋ + tx = t x(0) = 0 d ẋ = (1 x) 2 x(0) = 0 e ẍ 3ẋ + 2x = t e 2t x(0) = ẋ(0) = 0 f... x(0) = ẋ(0) = 0 x 6ẍ + 12ẋ 8x = 6e 2t ẍ = 1 g ẍ = g 1 2 c waρẋ 2 x(0) = 5000, ẋ(0) = 0 h ẍ + 16x = 0 x(0) = 3, ẋ(0) = 4 i ẍ + 16x = e 4t x(0) = 0, ẋ(0) = 0 j ẍ + 16x = cos(4t) x(0) = 0, ẋ(0) = 0 k mẍ + Rẋ + Dẋ 2 = mg sin(α) x(0) = 10, ẋ(0) = 1 l 2ẋ = x 4 t x(4) = 1 m t(t + 1)ẋ = x x(1) = 1 2 n t 2 ẋ = x 2 + xt x(1) = 1 o unit 6 / Seite 9 ẍ + 12ẋ + 36x = e 6t x(0) = ẋ(0) = 0 p

10 Lösung Aufgabe 1 Gleichung Anfangswerte gewöhnlich partiell Ordnung linear falls Gleichung linear, konst. Keoffizienten: homogen / inhomogen trennbare Variablen Nr. ẍ + 6ẋ + 5x = 0 x 0 = 2, ẋ 0 = 1 g 2 ja homogen nein a y t + y = 0 y(0, 0) = 0 p 1 *** *** *** b x ẋ cos(x) = 2t x(1) = 0 g 1 nein *** ja c ẋ + tx = t x(0) = 0 g 1 ja inhomogen ja d ẋ = (1 x) 2 x(0) = 0 g 1 nein *** ja e ẍ 3ẋ + 2x = t e 2t x(0) = ẋ(0) = 0 g 2 ja inhomogen *** f... x(0) = ẋ(0) = 0 x 6ẍ + 12ẋ 8x = 6e 2t ẍ = 1 g 3 ja inhomogen *** g ẍ = g 1 2 c waρẋ 2 x(0) = 5000, ẋ(0) = 0 g 2 nein *** ja, Subst. ẋ = v h ẍ + 16x = 0 x(0) = 3, ẋ(0) = 4 g 2 ja homogen *** i ẍ + 16x = e 4t x(0) = 0, ẋ(0) = 0 g 2 ja inhomogen *** j ẍ + 16x = cos(4t) x(0) = 0, ẋ(0) = 0 g 2 ja inhomogen *** k mẍ + Rẋ + Dẋ 2 = mg sin(α) x(0) = 10, ẋ(0) = 1 g 2 nein *** ja, Subst. ẋ = v l 2ẋ = x 4 t x(4) = 1 g 1 nein *** ja m t(t + 1)ẋ = x x(1) = 1 2 g 1 ja *** ja n t 2 ẋ = x 2 + xt x(1) = 1 g 1 nein *** ja, Subst. u = x t o unit 6 / Seite 10 ẍ + 12ẋ + 36x = e 6t x(0) = ẋ(0) = 0 g 2 ja inhomogen *** p

11 Aufgabe 2/3/4: Löse die folgenden Anfangswertprobleme Gleichung Anfangswerte allgemeine Lösung Lösung Anfangswerproblem Nr. ẍ + 6ẋ + 5x = 0 x 0 = 2, ẋ 0 = 1 a ẋ cos(x) = 2t x(1) = 0 c ẋ + tx = t x(0) = 0 d ẋ = (1 x) 2 x(0) = 0 e ẍ 3ẋ + 2x = t e 2t x(0) = ẋ(0) = 0 f... x(0) = ẋ(0) = 0 x 6ẍ + 12ẋ 8x = 6e 2t ẍ = 1 ẍ + 16x = 0 x(0) = 3, ẋ(0) = 4 i ẍ + 16x = e 4t x(0) = 0, ẋ(0) = 0 j ẍ + 16x = cos(4t) x(0) = 0, ẋ(0) = 0 k 2ẋ = x 4 t x(4) = 1 m t(t + 1)ẋ = x x(1) = 1 2 n t 2 ẋ = x 2 + xt x(1) = 1 o g ẍ + 12ẋ + 36x = e 6t x(0) = ẋ(0) = 0 p unit 6 / Seite 11

12 Lösung Aufgabe 2/3/4 Gleichung Anfangswerte allgemeine Lösung Lösung Anfangswerproblem Nr. ẍ + 6ẋ + 5x = 0 x 0 = 2, ẋ 0 = 1 c 1 e 5t + c 2 e t 3 4 e 5t e t a ẋ cos(x) = 2t x(1) = 0 arcsin(t 2 + c) arcsin(t 2 1) c ẋ + tx = t x(0) = ce t2 2 1 e t2 2 d ẋ = (1 x) 2 x(0) = t+c 1 1 t+1 = t t+1 e ẍ 3ẋ + 2x = t e 2t x(0) = ẋ(0) = 0 c 1 e t + c 2 e 2t + ( t 2 2 t) e 2t e t + e 2t + ( t 2 2 t) e 2t f... x(0) = ẋ(0) = 0 x 6ẍ + 12ẋ 8x = 6e 2t ẍ = 1 t 3 e 2t + (c 0 + c 1 t + c 2 t 2 ) e 2t ( t t2) e 2t g ẍ + 16x = 0 x(0) = 3, ẋ(0) = 4 c 1 cos(4t) + c 2 sin(4t) 3 cos(4t) + 1 sin(4t) i ẍ + 16x = e 4t x(0) = 0, ẋ(0) = 0 c 1 cos(4t) + c 2 sin(4t) e 4t 1 32 ( cos(4t) + 4 sin(4t) + e 4t ) j ẍ + 16x = cos(4t) x(0) = 0, ẋ(0) = 0 c 1 cos(4t) + c 2 sin(4t) + t sin(4t) t sin(4t) k 8 8 2ẋ = x 4 t x(4) = c t t t t t(t + 1)ẋ = x x(1) = 1 2 c t 1 t keine Lösung! n t 2 ẋ = x 2 + xt x(1) = 1 ẍ + 12ẋ + 36x = e 6t x(0) = ẋ(0) = 0 ( t 2 t t c ln t 1+ln t 2 + c 1t + c 2 ) e 6t t 2 2 e 6t p m o unit 6 / Seite 12