Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen)

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Günter Sommer
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1 Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen) 1. Lösen Sie intuitiv (d.h. ohne spezielle Verfahren) die folgenden DGLn (allgemeine Lösung): = b) =! c) = d)!! = e at. Prüfen Sie, ob die gegebenen Funktionen = () eine Lösung der DGL ist. ( ) DGL e + 1 = b) 3sin( + 4) + = c) a 4e + a + = d) sin = e) sin = cos f) 3 + = ln g) a+ be = h) i) 4 = 1 e = j) ln + = 3. Klassifizieren Sie:!! rr = b) Z = Z c) = d) = Seite 1 von 11

2 4. Setzen Sie eine möglichst einfache DGL an: gewöhnlich, 1. Ordnung, linear, inhomogen, variable Koeffizienten b) gewöhnlich, 3. Ordnung, nicht linear c) gewöhnlich, 1. Ordnung, linear, homogen, konstante Koeffizienten d) Sstem 3. Ordnung von gekoppelten DGLn 1. Ordnung, gewöhnlich, nicht linear e) lineares Sstem,. Ordnung, konstante Koeffizienten, in Zustandsform mit einer Ein- und einer Ausgangsgröße f) partiell, 1. Ordnung, nicht linear 5. Definieren Sie beispielhaft: Anfangswertproblem mit DGL: gewöhnlich, nicht linear, 4. Ordnung b) Randwertproblem mit DGL: gewöhnlich, linear, 3. Ordnung c) Anfangswertproblem mit linearem Sstem:. Ordnung, konstante Koeffizienten in Zustandsform 6. Lösen Sie intuitiv folgende Anfangs-/Randwertprobleme:! = ( ) = 1 b) ( ) ( ) c) =, ( ) = 3,49 =, = 1, = 13 =, 1 = 3 d) () e) ( ) ( ) = 1, =, = Seite von 11

3 7. Berechnen Sie durch Trennung der Variablen. = f) sin( ) = 3 b) = = (1 + ) = = (1 ) c) d) e) g) = ( + 1) h) = sin( ) i) = j) 4 = 5 ( + 1) 8. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme. = cos( ) mit ( π / ) = e b) + 3 = mit () = 1 () = 1 c) = mit () = 1 () = d) 4!! 4! + = mit () = 5! () = 1 e) = mit () = π () = f) 1/ = mit () = 1 g) 1/ 3 = mit () = h) + cos( ) = mit ( π / ) = π i) ( + 1) = mit (1) =,5 j) + = 1 mit () = 1 k) = e mit () = l) Tu! () + u () = Ku E() mit ua () = U ue() t = Aδ () t A A zu l) Ein lineares elektrisches Filternetzwerk mit der Eingangsspannung u E (t) und der Ausgangsspannung u A (t) werde durch die gegebene DGL beschrieben. Berechnen Sie den Verlauf der Ausgangsspannung. Seite 3 von 11

4 9. Wandeln Sie die folgenden DGLn in ein Sstem von DGLn 1. Ordnung um.!! 3! + + t = d) ln = b) + cos = e) sin + 13 = e c) () 5 1= f)!! s = g 1. Gegeben: Lineares dnamisches Sstem mit u = u(t): Eingangsgröße, = (t): Ausgangsgröße. Bestimmen Sie die vier Matrizen A, B, C und D einer entsprechenden Zustandsform. 3! + = + 1 6! = u = 4 + u 1 1 1!!! c)!! s = ( 1 ) b) = u = s m F π +! = u! 1 = u =! = 7,3u+ d) ( ) 1 e)! i = i 1 i =,3, 4! = u+ 4 = u = j= 1 j 11. Bestimmen Sie die charakteristische Gleichung und die allgemeine Lösung zu folgenden DGLn. + 3= e) = b)!! +! + 5= f) q!! + 7q! + 3q = c)!!! + 1= g)!! + 6! = 9 d)!! ϕ + 4ϕ = h) a + a = Seite 4 von 11

5 1. Skizzieren Sie zu den folgenden Anfangswertproblemen die allgemeine Lösung der DGL und markieren Sie die spezielle Lösung. = 1, 1 = 1 b), ( ) () = = c) 4 ( ) = 5, = Skizzieren Sie grob das Isoklinenfeld zu den folgenden DGLn: = b) = c) ( 1) = d) + 1= Die Isoklinen der DGL = f( ; ) sind durch die Gl. f ( ; ) = const. definiert. 14. Definieren Sie ein zeitinvariantes, lineares, dnamisches Sstem. Ordnung mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangsgrößen Allgemein b) Zahlenbeispiel 15. Stellen Sie die folgende DGLn in Form eines Strukturbildes dar (u(t) = u: Eingangsgröße).! = b)!!! = u c)! = ( u1+ uu3) d) g) 5 d 5 ( ) d = 1 = 1 u! h)!! f) e) = sin( u)! = b + b = + u 1 E u!!! +! = ln( 3 )! = a + bu+! = a + b u+! = a + bu i) j)! = A+ Bu Seite 5 von 11

6 16. Wandeln Sie folgende Strukturbilder in DGLn um. b) c) d) Seite 6 von 11

7 e) 17. Differentialgleichungen / Ssteme Gegeben ist die folgende DGL: d t () sin( ( )) ( ) ( ) d t tut + = Wandeln Sie die DGL um in ein Sstem von DGLn erster Ordnung. Stellen Sie das Sstem als Strukturbild dar. b) Das folgende Differentialgleichungssstem soll mit Hilfe eines CAE-Sstems mit grafisch strukturierter Bedienoberfläche untersucht werden. () + () t = u() t d t dz() t = t ( ) Stellen Sie dafür das DGL-Sstem als Blockbild dar. Von welchem Tp ist die erste der beiden DGLn? Seite 7 von 11

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