Differenzialgleichungen erster Ordnung

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1 Differenzialgleichungen erster Ordnung Fakultät Grundlagen Mai 2011 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung

2 Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Geometrische Deutung Numerik 2 Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung 3 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 2

3 Begriffe Grundsätzliches Geometrische Deutung Numerik Eplizite Form: () = f (, ) ( ) D f IR 2 Jedem Punkt P( ) D f wird dadurch der Wert der Steigung der Lösungskurve durch P zugeordnet. Definition: Unter einem Linienelement im Punkt P 0 ( 0, 0 ) versteht man einen kleinen Tangentenabschnitt an die Lösungskurve im Punkt P 0, bestimmt durch die Steigung m = ( 0 ) = f ( 0, 0 ). Die Gesamtheit aller Linienelemente heißt Richtungsfeld der Differenzialgleichung. Das Richtungsfeld gibt einen qualitativen Überblick über den Verlauf der Lösungskurven; hat man genügend Linienelemente gezeichnet, so lassen sich die Lösungskurven einpassen. Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 3

4 Richtungsfeld Grundsätzliches Geometrische Deutung Numerik Richtungsfeld der Differenzialgleichung = 10 sin() 1 10 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 4

5 Beispiel = Grundsätzliches ( ) Die Steigung m = gibt stets die Richtung senkrecht zum Ursprungsstrahl OP an; alle Linienelemente stehen senkrecht auf OP. = Lösungskurven sind konzentrische Kreise um O. Geometrische Deutung Numerik P Die allgemeine Lösung von ( ) lautet: = C; C > 0. Nachrechnen: = ± C 2 = ± C 2 = Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 5

6 Geometrische Deutung Numerik Kurvenschar und gewöhnliche Differenzialgleichung Durch Lösen einer DGL n-ter Ordnung erhält man eine n-parametrige Kurvenschar. Gelegentlich interessiert auch das umgekehrte Problem: Gibt es es zu einer n-parametrigen Kurvenschar eindeutig eine DGL n-ter Ordnung? Wie erhält man diese Differentialgleichung? C () = C e 3 C () = ( 3) C C () ( 3) C e 3 = e 3 C () C e 3 = 3 bzw. = 3 C1,C 2 () = C 1 cos(2) + C 2 sin(2) C 1,C 2 () = 2C 1 sin(2) + 2C 2 cos(2) C 1,C 2 () = 4C 1 cos(2) 4C 2 sin(2) 4 + = 0 Eine gewöhnliche DGL n-ter Ordnung ist äquivalent zu einer n-parametrigen Kurvenschar. Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 6

7 Anfangswertproblem Grundsätzliches Geometrische Deutung Numerik Anfangswertproblem einer Differentialgleichung 1. Ordnung. = f (, ), ( 0 ) = 0 Die rechte Seite der Differentialgleichung weist jedem Punkt des Definitionsbereichs eine Steigung zu. Das Lösen einer DGL bedeutet die Konstruktion der zugehörigen Kurve, d. h. einer Funktion, deren Ableitung überall mit der vorgegebenen Steigung übereinstimmt. Bei gutartiger rechter Seite verläuft durch jeden Punkt genau eine Lösungskurve, d. h. die Kurven können sich nicht schneiden. Der Grundgedanke fast aller numerischer Verfahren ist, die sich kontinuierlich ändernde Steigung durch die Steigung(en) an einem oder mehreren diskreten Punkt(en) zu ersetzen. Alle numerischen Verfahren lassen sich auch auf vektorwertige Funktionen übertragen. Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 7

8 Numerik; Richtungsfeld Geometrische Deutung Numerik Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 8

9 Konstruktion des Eulerverfahrens Geometrische Deutung Numerik () g 2 2 m 2 g 1 1 m 1 0 m 0 g h }{{} h }{{} 2 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 9

10 Algorithmus des Eulerverfahrens Geometrische Deutung Numerik Steigungen der Geraden Rechenvorschrift g 0 : m 0 = f ( 0, 0 ) 1 = 0 + h f ( 0, 0 ) g 1 : m 1 = f ( 1, 1 ) 2 = 1 + h f ( 1, 1 ) g 2 : m 2 = f ( 2, 2 ) 3 = 2 + h f ( 2, 2 )..... () 2 g 2 Algorithmus 1 0 g 0 g 1 n+1 = n + h f ( n, n ) n+1 = n + h Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 10

11 Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung Separierbare DGL; Trennung der Variablen = f () g() d d d d = f () g() Bruchrechnung für Differenzial! g() d = f () d Ruf nach Integral wird erhört! g() d = f () d Kennt man die Stammfunktionen von g() bzw. f (), so erhält man die Lösungsfunktion () in impliziter Form: g() d = f () d G() = F () + C Ist die Funktion G() nicht allzu kompliziert, dann lässt sich die obige Beziehung nach auflösen. = G 1 (F () + C) Eakter Nachweis mit Kettenregel! Aufgabe! Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 11

12 Beispiel I Grundsätzliches Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung AWP : = 2 ; (1) = 1 = 2 d = 2 d d = 2d ln = 2 ln + C ln = ln( 2 ) + C = ±e C 2 = K 2 ; K IR (1) = K 1! = 1 K = 1 Lösung AWP: = 2 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 12

13 Beispiel II Grundsätzliches Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung AWP : = ; (1) = 1 = d = d d = d arctan = ln + C = tan (ln + C) (1) = tan ( }{{} ln 1 +C )! = 1 =0 C = arctan(1) = π 4 Lösung AWP: = tan ( ln + π ) 4 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 13

14 Definition Grundsätzliches Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung Normalform () + g() () = r() Markenzeichen: die unbekannte Funktion () und ihre Ableitung () gehen linear ein. Die Koeffizienten g() und r() dürfen nichtlinear von abhängen! r() heißt Störfunktion (Störglied). Bezeichnung: + g() = 0... lineare homogene DGL + g() = r()... lineare inhomogene DGL Lineare DGL erster Ordnung werden in zwei Schritten integriert. Beispiele für Einordnung (Eselsbrücke:, i ; Zahl) : + = sin(2) = sin(10) linear + sin( ) = cos(3) sin(7 2 ) = cos(21) nichtlinear Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 14

15 Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung 1.Schritt: homogene Differenzialgleichung () + g() () = 0 Trennung der Variablen: d d = g() d = g() d ln = g()d + ln C = G() + ln C h () = Ce G() = Ce g()d = C 1 () Grundlösung: 1 () = e G() separierbar, besitzt stets die triviale Lösung () = 0. Beispiel: cos() + sin() = 0 d d d = sin() = cos() sin() cos() d ln = ln cos() + ln C h () = C cos() 1 () = cos() Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 15

16 Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung 2.Schritt: inhomogene Differenzialgleichung () + g() () = r() 1 () sei Lösung der hom. DGL: () + g() () = 0 Ansatz: () = C() 1 () () = C () 1 () + C() 1 () (), () einsetzen in inhomogene Differenzialgleichung: C () 1 () + C() 1 () + g() C() 1() = r() C () 1 () + C() [ 1() + g() 1 () ] = r() }{{} =0 C () 1 () = r() () = C() 1 () C () = r() r() () = 1 () 1 () 1 () d + K 1 () }{{} r() }{{} C() = 1 () d + K h () p () Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 16

17 Allgemeine Lösung; Zusammenfassung Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung Die allgemeine Lösung der linearen inhomogenen DGL () + g() () = r() besteht aus zwei Anteilen () = h () + p () mit h () = K 1 () p () = 1 ()... allgemeine Lösung der hom. DGL r() d... partikuläre Lösung der inhom. DGL 1 () Diese Eigenschaft ist charakteristisch für lineare Differenzialgleichungen beliebiger Ordnung. Sie vereinfacht oft die Lösung: Nach Ermittlung der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung kann man oft aufgrund der Bauart der Störfunktion eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung erraten. Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 17

18 Lineare Differenzialgleichung; Beispiel I Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung AWP + = ; (1) = 3 1. Schritt hom. Dgl: + = 0 d d = d = d ln = ln + ln C h () = C 1 () = 1 2. Schritt inhom. Dgl: + = p () = C() ; p() = C () C() 2 ; [ C() C + () C() ] 2 = p () = C() = + 1 C () = C() = 2 + Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 18

19 Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung Lineare Differenzialgleichung; Beispiel II 3. Schritt Allgemeine Lösung: () = h () + p () = C ; C IR 4. Schritt Anfangsbedingung: (1) = C ! = 3 C = 1 () = Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 19

20 Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichung Flussdiagramm für Differenzialgleichungen 1. Ordnung DGL nein ja linear nein ja separierbar nein ja Konst. Koeff. Spez. Verfahren Substitution? u = a + b + c u = Numerik Separieren und integrieren h mit Separation p mit Variation der Konstanten h mit charakt. Gleichung p mit Störgliedansatz Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 20

21 Hund und Wurst I; Problemstellung v v H (0 0) (1 0) v F v H = v 0 gerichtet zur Wurst!! ( ) 0 v F = v 1 ( ) v H = v v = v F + v H = v v 1 v Geschwindigkeitsvektor ist tangential zur Bahnkurve. Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 21

22 Hund und Wurst II; Lösen der DGL Ableitung entspricht Steigung des Geschwindigkeitsvektors! v 1 d d = u = 2 v v 0 = v 1 v = v 1 v 0 = 1 + ( ) 2 + ; Subst.: u = Trennung der Variablen ist jetzt möglich! du = v 1 d 1 + u 2 v 0 ln (u + ) 1 + u 2 u u 2 = K ɛ mit ɛ = v 1 v 0 ( ) = v 1 v u 2 = v 1 v 0 ln + C Nachrechnen! Rest: Rücksubstitution u = und Umstellen nach Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 22

23 Hund und Wurst III; Rücksubstitution ( ) 2 = K ɛ = K 1 ɛ = K 1 ɛ = K 2 2 2ɛ 2 K 1 ɛ K 1 ɛ = K 2 2 2ɛ 2 ( ) () = 1 2 K 1 ɛ 1+ɛ 0 K ( (1) = 1 2 K K 1 )! = 0 C = ±1 () = 1 2 AWP: ( 1 ɛ 1+ɛ) ist Lösung des d d = ɛ 1 + ( ) 2 + ; (1) = 0 2 da 1+ɛ < 1 ɛ für 0 < < 1 C = 1! Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 23

24 Hund und Wurst IV; Bahnkurven ɛ = 2 3 ɛ = 4 3 v F v H v F ɛ = 1 v F v H v H Hund wird abgetrieben! Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 24

25 Hund und Wurst V; benötigte Zeit? v = d dt = ( ) ẋ ẏ = v [()] 2 v 1 v [()] 2 1. Komponente mit ( () = ɛ 1+ɛ) v [ 1 ɛ 1+ɛ ] 2 = 2v 0 ɛ + ɛ [ ɛ + ɛ ]d = 2v 0 dt Fall: ɛ 1 1+ɛ 1 + ɛ + 1 ɛ 1 ɛ = 2v 0 t + C; t(1) = 0 C = ɛ ɛ = 2 1 ɛ 2 t(0) = 1 v 0 (1 ɛ 2 ) für ɛ < 1 Fall: ɛ = ln = 2v 0 t + C; t(1) = 0 C = 1 2 t(0) = ; t() ist für = 0 nicht definiert! t(0) = für ɛ > 1 t() ist für = 0 nicht definiert! Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Folie: 25