Aufgabenkomplex 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme

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1 Technische Universität Chemnitz 04. Juni 00 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni 00 (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 9/7 Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomple 4 kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll! (t cosht (t cost. Betrachtet werden die Kurven (t, y (t sinht (t y (t sint (t cosht und (t jeweils für t R. y (t sinht a Zeigen Sie, dass cosh t sinh t gilt! Welches Analogon hat diese Beziehung für Winkelfunktionen? b Berechnen Sie die Tangentenvektoren für die drei Kurven! c Geben Sie mithilfe der Beziehungen aus a parameterfreie Gleichungen der drei Kurven an! d Stellen Sie die drei Kurven grafisch dar! Wie oft werden die Kurven für <t< durchlaufen? e Beschreiben Sie die in der oberen Halbebene (einschließlich -Achse gelegenen Teile der drei Kurven als Funktionen y f i (, i,,! f Berechnen Sie für die drei Funktionen die Ableitung zum einen mithilfe der Formel d d /dt d/dt y (t (t aus (t, zum anderen als f (! g Die Funktionen f (, f ( und f ( sollen zu einer einheitlichen über der gesamten -Achse definierten Funktion zusammengefasst werden. Beschreiben Sie diese Funktion durch einen einheitlichen Ausdruck! h Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten an die gegebenen Kurven in den Punkten (/, /, (,0 und (, und zeichnen Sie die Tangenten in das Bild aus d ein! +5 cost. a Um was für eine Kurve handelt es sich bei (t +5 sint? Skizzieren Sie die Kurve! t b Ermitteln Sie den Durchstoßpunkt der Kurve durch die -y-ebene und die Gleichung der Tangente in diesem Punkt! c In welchem Winkel schneidet die Kurve die -y-ebene?. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung y (+9y + 8! 4. Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y y, y( 4! 5. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matri und führen Sie 8 9 die Diagonalisierung mithilfe der Matri aus den Eigenvektoren rechnerisch aus!

2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple Juni 00 Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni 00 (t. Betrachtet werden die Kurven (t y (t (t cosht und (t jeweils für t R. y (t sinht cosht, sinht (t (t y (t cost sint a Zeigen Sie, dass cosh t sinh t gilt! Welches Analogon hat diese Beziehung für Winkelfunktionen? b Berechnen Sie die Tangentenvektoren für die drei Kurven! c Geben Sie mithilfe der Beziehungen aus a parameterfreie Gleichungen der drei Kurven an! d Stellen Sie die drei Kurven grafisch dar! Wie oft werden die Kurven für <t< durchlaufen? e Beschreiben Sie die in der oberen Halbebene (einschließlich -Achse gelegenen Teile der drei Kurven als Funktionen y f i (, i,,! f Berechnen Sie für die drei Funktionen die Ableitung zum einen mithilfe der Formel d d /dt d/dt y (t (t aus (t, zum anderen als f (! g Die Funktionen f (, f ( und f ( sollen zu einer einheitlichen über der gesamten -Achse definierten Funktion zusammengefasst werden. Beschreiben Sie diese Funktion durch einen einheitlichen Ausdruck! h Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten an die gegebenen Kurven in den Punkten (/, /, (,0 und (, und zeichnen Sie die Tangenten in das Bild aus d ein! ( e a cosh t sinh t +e t e t +( t e t ( e t ++e t ( e t +e t Dies entspricht für Winkelfunktionen dem Satz des Pythagoras cos t+sin t. sinht sint sinht b (t, cosht (t, cost (t cosht c (t und (t: y (Hyperbel d (t: +y (Kreis (t y (t (t und (t werden einmal durchlaufen, da der Sinus Hyperbolicus monoton von nach wächst. (t wird unendlich oft durchlaufen, da Sinus und Kosinus periodisch mit gleicher Periodenlänge sind. Bei h berechnete Tangenten: + y für den Punkt (/, /, für den Punkt (,0, y für den Punkt (,. (t

3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple Juni 00 e (t und (t: y, y (t: y, y (da jeweils obere Halbebene f (,, f (,, f (, f (t: y (t cosht d (t sinht cotht, f ( (Wg. y 0 (obere HE ist y, so dass sich in beiden Fällen y cosht sinht ergibt. (t: y (t cost d (t sint cott, f ( (Wg. y 0 (obere HE ist y, so dass sich in beiden Fällen y cost sint ergibt. (t: y (t cosht d (t sinht cotht, f ( (Wg. y 0 (obere HE ist y, so dass sich in beiden Fällen y cosht ergibt. sinht g f(, R h (/, / liegt wegen +y auf dem Kreis (t, dabei ist ( π ( π, (, die Tangente also Tangente ( +u( Man kann auch mit mit der Darstellung f ( argumentieren, die Tangentengleichung ergibt ( sich da zu T ( f + f (, d.h. + y, das ist die parameterfreie Darstellung der oben mit dem Parameter u beschriebenen Gerade. (,0 liegt wegen ±y auf dem Kreis (t und auf dem rechten Hyperbelzweig (t, dabei ist (0, (0, die Tangente an den Kreis also Tangente +u. 0 (0, (0, die Tangente an die Hyperbel also auch Tangente +u. 0 Für die Darstellungen f ( und f ( streben die Ableitungen für gegen bzw., so dass sich die senkrechte Gerade ergibt, das ist die parameterfreie Darstellung der angegebenen Gerade. (, liegt wegen y, auf dem rechten Hyperbelzweig (t. Da sich der Tangentenvektor einfach durch Vertauschen der Komponenten des Ortsvektors ergibt, muss man den Parameter t nicht eplizit berechnen. Es gilt (t(, (t (, die Tangente also Tangente ( +u( Man kann auch mit mit der Darstellung f ( argumentieren, die Tangentengleichung ergibt sich da zu T ( f (+ f (( + ( +, d.h. y, das ist die parameterfreie Darstellung der angegebenen Gerade...

4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple Juni cost. a Um was für eine Kurve handelt es sich bei (t +5 sint? Skizzieren Sie die Kurve! t b Ermitteln Sie den Durchstoßpunkt der Kurve durch die -y-ebene und die Gleichung der Tangente in diesem Punkt! c In welchem Winkel schneidet die Kurve die -y-ebene? a Es handelt sich um eine Schraubenlinie. Durch Einsetzen von (t, y(t und z(t überzeugt man sich leicht davon, dass sie auf dem Kreiszylinder (+ +(y 5, also dem Kreiszylinder mit der Achse (,,z und dem Radius 5, verläuft. b Für zt 0 erhält man (0, so dass die Kurve 0 im Punkt (,,0 die -y-ebene durchstößt. 5 sint 0 Ferner ist (t 5cost, (0 5, die Tangente 0 in diesem Punkt also Tangente +u 5. 0 c Die Richtung der Kurve im Durchstoßpunkt, das ist die Richtung der Tangente in diesem Punkt, bildet mit dem Normalenvektor der -y-ebene einen Winkel von arccos arccos Die Schraubenlinie schneidet die -y-ebene somit in einem Winkel von.. (Das kann man natürlich auch direkt mit dem Arkussinus berechnen. z. y. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung y (+9y + 8! d (+9y + 8 Trennung der Veränderlichen: y +9 d + 8 bzw. y0: y( 0 ist Lösung ( y d

5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple Juni 00 5 Partialbruchzerlegung wie bei Aufgabe aus Aufgabenkomple : + 80, / 9 ± ± +9 ( 4(+7 A 4 + B +7 A(+7+B( 4 ( 4(+7 Koeffizientenvergleich: A+ B 4 7A 4B 9 + 4A+4B 4 + A, A, B, ( y 4 d +7 4 ± { (A+B+(7A 4B ln y ln 4 ln +7 +Dln 4 4 +Dln (+7 (+7 +lncln ln y C 4 (+7, C>0 Fallunterscheidung: y, 4 gleiches Vz.: y C ( 4 (+7, C>0 ( C 4 (+7, DlnC beliebig reell, C>0 y, 4 ungleiches Vz.: y C ( 4 (+7, C>0 y C( 4 (+7, C<0 ( Die Zusammenfassung von ( bis ( führt zur allgemeinen Lösung y( C ( 4 (+7, C R. (An der Stelle 4 könnte zwischen den Zweigen der Lösung gewechselt werden (Bifurkation, so dass sich weitere Lösungen ergeben würden. Darauf soll hier aber nicht näher eingegangen werden. 4. Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y y, y( 4! homogene Dgl.: d y, y d, lny ln+lnc, y( C (Sonderfall y0 und Beträge unter den Logarithmen wie üblich behandelt inhomogene Dgl.: Ansatz Variation der Konstanten: y( C(, y ( C ( + C( y y C + C C C, C, C( +D, allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. also y( + D Anfangsbedingung: y( +D 4, D, Lösung der Anfangswertaufgabe also y( +

6 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple Juni Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matri und führen Sie 8 9 die Diagonalisierung mithilfe der Matri aus den Eigenvektoren rechnerisch aus! λ 8 9 λ ( λ( 9 λ λ+λ + 96 λ λ 0 Eigenwerte λ / ± { + EV zu λ : 8 EV zu λ : EV A EV B Matri aus den linear unabhängigen Eigenvektoren: V a b Im Falle der Invertierbarkeit gilt d b (s. Aufgabe a aus Übung 0 c d ad bc c a des. Semesters. Also ist V. V 9 0 AV