Aufgabenkomplex 5: Inhomogene Differenzialgleichungssysteme; Lineare Optimierung

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1 Technische Universität Chemnitz. Juni 9 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex : Inhomogene Differenzialgleichungssysteme; Lineare Optimierung Letzter Abgabetermin: 9. Juli 9 in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 4/6 Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomplex kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll!. Lösen Sie die Anfangswertaufgabe xt=a xt+ F sint, x= x für A=, 6 F =, x =!. Wenden Sie die Methode des Ansatzes vom Typ der rechten Seite auf die Differenzialgleichungssysteme a ẏ ẋ = = x+ x+y y 4 ẋ = x+y 4 und b ẏ = x+ y an! Was stellen Sie fest?. Bestimmen Sie unter den Nebenbedingungen x +x, x +x 4, x, x die Optima der Zielfunktionen a z=x +4x max, b z=x +4x min, c z=4x +6x max jeweils auf grafischem Wege und mit dem Simplexverfahren! Zeichnen Sie die beim Simplexverfahren durchlaufenen Basislösungen jeweils in die Skizze der grafischen Lösung ein! Für welche Argumente x, x werden die Optima erreicht? 4. In einer Kompostanlage werden Sorten Pflanzsubstrat hergestellt. Für die Herstellung von hl Substrat Sorte A werden u.a. 4 l Füllstoffe und l Kompost, für hl Substrat Sorte B werden u.a. 4 l Füllstoffe und 4 l Kompost benötigt. Pro Hektoliter Substrat werden bei der Sorte A e und bei der Sorte B eerlöst. Es stehen höchstens 8 hl Füllstoffe zur Verfügung, sollen aber mindestens 88 hl Kompost verwendet werden. Unter den vorgegebenen Bedingungen soll der Erlös maximiert werden. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe auf grafischem Wege!. Aus Trauben-, Orangen- und Apfelsaft werden verschiedene Sorten Multivitaminsaft hergestellt. l Multivitaminsaft enthalten bei der Sorte A l Trauben-, l Orangen- und l Apfelsaft, bei der Sorte B 4 l Orangen- und l Apfelsaft und bei der Sorte C l Orangenund l Apfelsaft. Pro Liter wird ein Gewinn von Cent bei Sorte A, Cent bei Sorte B und Cent bei Sorte C erzielt. Es stehen l Trauben-, 7 l Orangen- und l Apfelsaft zur Verfügung. Stellen sie das mathematische Modell für die Maximierung des Gewinns auf und lösen Sie dieses mit dem Simplexverfahren! Wieviel Liter der einzelnen Sorten sind herzustellen? Welche Bedeutung haben die Werte der Schlupfvariablen in der optimalen Lösung? Zusatzaufgabe auf Seite

2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 Zusatzaufgabe Bei dieser Aufgabe können Zusatzpunkte erworben werden, bei den Aufgaben werden insgesamt 4 Punkte vergeben. Der Aufgabenkomplex ist bestanden, wenn mindestens Punkte erreicht worden sind. Lösen Sie die folgende Aufgabe mit MATLAB. Protokollieren Sie Ihr Vorgehen in einer diary- Datei und speichern Sie erstellte Plots ab.. a Bestimmen Sie ohne MATLAB die reelle Lösung von x t xt sinωt y = + mit t yt x = y vgl Übung 6, Aufgabe für ω ± in Abhängigkeit von ω. b Zeichnen Sie die x-komponente der Lösung für ω =,, 6 über dem Intervall [,π]. In Übung 6, Aufgabe wurde für ω = als Lösung des Differenzialgleichungssystems cost sint xt = C + D + t sint sint cost t cost sint angegeben. Ermitteln Sie auch hierzu die Lösung der Anfangswertaufgabe und zeichnen Sie deren x-komponente ein. c Wie lautet die Periodenlänge der unter a bestimmten Lösung für rationale ω in Abhängigkeit von ω? Öffnen Sie die erstellte diary-datei vorher mit diary off die Protokollierung abschließen und entfernen Sie ggf. überflüssige Zeilen z.b. Fehleingaben. Drucken Sie anschließend die bearbeitete diary-datei und eventuell angefertigte Plots und m-files möglichst sparsam d.h. nach Möglichkeit duplex, mehrere Seiten pro Blatt, kleine Schriftgröße aus. Fügen Sie den Ausdruck Ihrer restlichen Hausaufgabe an.

3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 Aufgabenkomplex : Inhomogene Differenzialgleichungssysteme; Lineare Optimierung Letzter Abgabetermin: 9. Juli 9. Lösen Sie die Anfangswertaufgabe xt=a xt+ F sint, x= x für A=, 6 F =, x =! Lösung: Homogenes System: λ λ λ = λ λ+ λ = λ +4 λ =, λ // = ±i;. Zu λ / =±i: xt kann in der Form xt=c cost+d sin t angesetzt werden. Die erste Gleichung lautet ẋ=z, so dass sich zt = ẋt/ = C sint+dcost ergibt. yt hängt nicht von xt und zt ab, cost sint folglich ist xt =C sint +D cost die zu dem Eigenwertpaar λ / = ±i gehörige Lösung des homogenen Differenzialgleichungssystems. EV zu λ =: EV E cost sint allgemeine Lösung des homogenen Systems: xt = C sint +D cost +E Inhomogenes System: Ansatz: xt = Asint + Bcost, xt = Acost Bsint e t Einsetzen in inhomogenes System: A B A B 6 A cost B sint = A sint+ B cost + sint A B A B A cost B sint A sint+b cost+6sint A cost B sint = A sint+b cost+sint A cost B sint A sint B cost+sint

4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 4 Koeffizientenvergleich: sint : B = A + 6 A B = 6 cost : A = B A B = sint : B = A + A B = cost : A = B A B = sint : B = A + A B = cost : A = B A +B = spezielle Lösung des inhomogenen Systems: xt = sint + 4 cost allgemeine Lösung des inhomogenen Systems: cost sint xt = C +D +E e t + sint + cost sint cost 4 Anfangsbedingung: x = C +D +E + Lösung der Anfangswertaufgabe: cost sint xt = sint cost + = e t + sint + 4 cost C+=, C= E =, E = D+=, D=. Wenden Sie die Methode des Ansatzes vom Typ der rechten Seite auf die Differenzialgleichungssysteme a ẏ ẋ = = x+ x+y y 4 und b ẋ = x+y 4 ẏ = x+ y an! Was stellen Sie fest? Lösung: a homogen: ẏ ẋ = = x+ x+y y λ λ = λ λ 6=λ λ 4=, λ / = 9 ± { 4 4 =

5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 EV zu λ =4: EV C allgemeine Lösung des homogenen Dgl.systems: x = C inhomogen: Inhomogenität rechte Seite : ft = Einsetzen in inhomogenes Dgl.system: xt= A 4 = + A EV zu λ = : e 4t + D 4, Ansatz: xt = spezielle Lösung des inhomogenen Dgl.systems: x = allgemeine Lösung des inhomogenen Dgl.systems: x = C d.h. xt = Ce 4t De t + 4 yt = Ce 4t + De t A A e t EV D, xt= A + A = 4 A + A = 6A + A = + 4A =6 A =4, A = 4 e 4t + D b homogen: ẏ ẋ = = x+y x+ y λ { λ = λ λ =λ λ =λλ =, λ / = EV zu λ =: EV C allgemeine Lösung des homogenen Dgl.systems: x = C inhomogen: Inhomogenität rechte Seite : ft = Einsetzen in inhomogenes Dgl.system: xt= A 4 = + A EV zu λ =: e t + D 4, Ansatz: xt = e t + A A EV D, xt= 4, A + A = 4 A + A = A + A = + = 6, Widerspruch, GS unlösbar Eine spezielle Lösung des inhomogenen Differenzialgleichungssystems kann also in diesem Fall nicht einfach in Form der rechten Seite gesucht werden. Es liegt der Resonanzfall vor. Die allgemeine Lösung des inhomogenen Differenzialgleichungssystems lautet xt = C e t + D + 6t+4 muss bei der Bearbeitung des Aufgabenkomplexes nicht ermittelt 6t werden.

6 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 6. Bestimmen Sie unter den Nebenbedingungen x +x, x +x 4, x, x die Optima der Zielfunktionen a z=x +4x max, b z=x +4x min, c z=4x +6x max jeweils auf grafischem Wege und mit dem Simplexverfahren! Zeichnen Sie die beim Simplexverfahren durchlaufenen Basislösungen jeweils in die Skizze der grafischen Lösung ein! Für welche Argumente x, x werden die Optima erreicht? Lösung: Grafische Lösung a, b x x +x =4. BL. BL zulässiger Bereich max. BL: Max x +x = x c x 4 4 x +x =4. BL. BL: Max Max zulässiger Bereich max. BL: Max x +x = x min Niveaulinien der Zielfunktion z=x +4x Maximierung erfolgt durch Parallelverschiebung des Zielfunktionsniveaus nach rechts oben. Der zulässige Bereich wird verlassen im Schnittpunkt der Geraden x +x = und x +x =4: x + x = x + x = 4 6x + 9x = 6 + 6x + 4x = 48 x =, x =, x = 6 Also wird das Maximum für x = 6, x = angenommen, der maximale Zielfunktionswert beträgt. Minimierung erfolgt durch Parallelverschiebung des Zielfunktionsniveaus nach links unten. Das ist beliebig weit möglich, die Zielfunktion ist über dem zulässigen Bereich nach unten unbeschränkt und die Aufgabe damit nicht lösbar. Niveaulinien der Zielfunktion z=4x +6x Maximierung erfolgt durch Parallelverschiebung des Zielfunktionsniveaus nach links oben. Der zulässige Bereich wird verlassen auf dem Abschnitt der Geraden x +x = zwischen den Punkten, und 6,. Also wird das Maximum für die Punkte x = +t, t angenommen, der maximale Zielfunktionswert be- x trägt 4.

7 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 7 Transformation in Normalform und Lösung mit dem Simplexverfahren: Variablensubstitution: x =x, x =x + x = x, x = x x +x =x ++ x =x ++ x, x x 4 x +x =x ++ x =x ++ x 4, x +x NB in Gleichungsform mit Schlupfvariablen: x x +u = 4 x x +u = a Zielfunktion: z=x +4x =x ++4 x =x 4x + max, z =x 4x max, z=z + x x u u BV c B 4 x B Q u 4. Basislösung u x =x =, u =4, u = x =, x = z 4 z = x. Basislösung u x =u =, x =, u = x =, x = z 6 z =6 x. Basislösung x 4 u =u =, x =, x = x =6, x = z 6 7 z =7 z=, alle j Optimum Da die Optimalitätsindikatoren für die Nichtbasisvariablen positiv sind, ist z6, = das eindeutige Maximum. b Zielfunktion: z=x +4x =x ++4 x =x 4x + min, z = x +4x max, z= z + x x u u BV c B 4 x B Q u 4. Basislösung wie bei a u alle a i nichtpositiv = z 4 ZF unbeschränkt, LOA unlösbar

8 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 8 c Zielfunktion: z=4x +6x =4x ++6 x =4x 6x +4 max, z =4x 6x max, z=z +4 x x u u BV c B 4 6 x B Q u 4. Basislösung u x =, x =, u =4, u =, z =, z=4 z 4 6 x 4. Basislösung optimal, da alle j u x =, x =, u =, u =, z =8, z=4 z 8 Weiterrechn. mögl., da j für NBV x gleich x 4 x 6. Basislösung optimal x =6, x =, u =, u =, z =8, z=4 z 8 Weiterrechn. führt zurück auf. Basislösung Alle Punkte auf der Kante zwischen den Ecken x,x =, und x,x = 6,, d.h. x alle Punkte x = +t, t sind optimale Lösungen, für sie ergibt sich der optimale Zielfunktionswert zx,x = 4+t+6 t = In einer Kompostanlage werden Sorten Pflanzsubstrat hergestellt. Für die Herstellung von hl Substrat Sorte A werden u.a. 4 l Füllstoffe und l Kompost, für hl Substrat Sorte B werden u.a. 4 l Füllstoffe und 4 l Kompost benötigt. Pro Hektoliter Substrat werden bei der Sorte A e und bei der Sorte B eerlöst. Es stehen höchstens 8 hl Füllstoffe zur Verfügung, sollen aber mindestens 88 hl Kompost verwendet werden. Unter den vorgegebenen Bedingungen soll der Erlös maximiert werden. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe auf grafischem Wege! Lösung: ges.: x : herzustellendes Substrat A in hl, x : herzustellendes Substrat B in hl Gewinn: x + x max Füllstoffe:.4x +.4x 8 Kompost:.x +.4x 88 Nichtnegativität: x, x x 44.x +.4x =88.4x +.4x =8 Der zulässige Bereich ist leer, also ist die Aufgabe unlösbar. x

9 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 9. Aus Trauben-, Orangen- und Apfelsaft werden verschiedene Sorten Multivitaminsaft hergestellt. l Multivitaminsaft enthalten bei der Sorte A l Trauben-, l Orangen- und l Apfelsaft, bei der Sorte B 4 l Orangen- und l Apfelsaft und bei der Sorte C l Orangenund l Apfelsaft. Pro Liter wird ein Gewinn von Cent bei Sorte A, Cent bei Sorte B und Cent bei Sorte C erzielt. Es stehen l Trauben-, 7 l Orangen- und l Apfelsaft zur Verfügung. Stellen sie das mathematische Modell für die Maximierung des Gewinns auf und lösen Sie dieses mit dem Simplexverfahren! Wieviel Liter der einzelnen Sorten sind herzustellen? Welche Bedeutung haben die Werte der Schlupfvariablen in der optimalen Lösung? Lösung: ges.: x,x,x : herzustellender Saft der Sorten A, B, C in l Gewinn: z =.x +.x +.x max Traubensaft: x Orangensaft: x + 4 x + x 7 Apfelsaft: x + x + x Nichtnegativität: x, x, x Die angegebenen Multiplikationen für ZF und NB dienen der Rechenvereinfachung. Normalform: z =z=4x +x +x max x +u = x +4x +x +u = 87 x + x +x +u = 7 x, x, x, u, u, u x x x u u u BV c B 4 x B Q u u u 7 7 z 4 x 4 u 4. u z 4 x u 4 x z 4 7 Alle Optimalitätsindikatoren j sind nichtnegativ, dabei sind nur die für die Basisvariablen gleich. Also hat die Aufgabe bei x =, x =, x =, x 4 =, x =, x 6 = das eindeutige Maximum z=z /=7.. Der maximale Gewinn von 7, e wird erzielt, wenn l Saft Sorte A und l Saft Sorte B hergestellt werden, während kein Saft Sorte C herzustellen ist. Die Schlupfvariablen geben an, wie viele Rohstoffe beim optimalen Ergebnis nicht verbraucht werden. Aufgrund der Multiplikation der Ungleichungen für die Ressourcen mit sind die Werte noch durch zu dividieren. Also bleiben bleiben l Orangensaft übrig, Trauben- und Apfelsaft werden vollständig verbraucht.

10 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 Zusatzaufgabe Lösen Sie die folgende Aufgabe mit MATLAB. Protokollieren Sie Ihr Vorgehen in einer diary- Datei und speichern Sie erstellte Plots ab.. a Bestimmen Sie ohne MATLAB die reelle Lösung von x t xt sinωt y = + mit t yt x = y vgl Übung 6, Aufgabe für ω ± in Abhängigkeit von ω. b Zeichnen Sie die x-komponente der Lösung für ω =,, 6 über dem Intervall [,π]. In Übung 6, Aufgabe wurde für ω = als Lösung des Differenzialgleichungssystems cost sint xt = C + D + t sint sint cost t cost sint angegeben. Ermitteln Sie auch hierzu die Lösung der Anfangswertaufgabe und zeichnen Sie deren x-komponente ein. c Wie lautet die Periodenlänge der unter a bestimmten Lösung für rationale ω in Abhängigkeit von ω? Öffnen Sie die erstellte diary-datei vorher mit diary off die Protokollierung abschließen und entfernen Sie ggf. überflüssige Zeilen z.b. Fehleingaben. Drucken Sie anschließend die bearbeitete diary-datei und eventuell angefertigte Plots und m-files möglichst sparsam d.h. nach Möglichkeit duplex, mehrere Seiten pro Blatt, kleine Schriftgröße aus. Fügen Sie den Ausdruck Ihrer restlichen Hausaufgabe an. Lösung:. a Die allgemeine Lösung des homogenen Systems wurde bereits in Übung 6 besprochen. Sie lautet cost sint xt = C + D. sint cost Für die Inhomogenität kann der Ansatz nach Art der rechten Seite gemacht werden A B x s t = sinωt + cosωt A B mit noch zu bestimmenden A,A,B,B. Setzt man diesen Ansatz in das inhomogene System ein, erhält man A B ω cosωt ω sinωt = x sinωt A B s t = x s t+ ωa cosωt ωb = sinωt sinωt + ωa cosωt ωb sinωt Aus dem Vergleich der Koeffizienten folgt das Gleichungssystem A = ωb + B = ωa A = ωb B = ωa

11 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9 dessen Lösung A =, A = ω, B = ω ω, B = lautet. Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems ist damit xt = ω cosωt cost sint ω +C + D. sinωt sint cost Um die gegebene Anfangsbedingung zu erfüllen, muss x = ω C ω + = D gelten, d.h. C D = ω ω. b nachbereitete diary-datei Kommentare durch % gekennzeichnet und Plot auf der nächsten Seite c Es muss die Periodenlänge der homogenen Lösung = π mit der Periodenlänge der speziellen Lösung = π ω abgestimmt werden, um die Periodenlänge der Lösung zu erhalten. Es muss also k π = k π ω für ganze Zahlen k und k gelten. Die rationale Periodenlänge ω lässt sich als ω = p q mit p,q N und ggtp,q = schreiben. Dann ist die obige Bedingung zu k = k ω = k q p äquivalent. Aus ggtp,q = folgt k = p und k = q und damit beträgt die Periodenlänge der Lösung q π bzw. p π ω.

12 % % Aufgabe % omega=[, /, 6/]; linestyles={'b-','m-','c-'}; % Startbedingung x = [ ; ]; % Figure einrichten figure; clf; hold on; t = linspace,**pi,; for i=:lengthomega, % Frequenz der Anregung w = omegai; % Parameter C, C bestimmen, damit die Anfangsbed. erfüllt ist C = x - /-w^ * [-w ; ]; % Lösung für w berechnen x = /-w^ * [-w * cosw*t ; sinw*t] + C * [cost ; -sint] + C * [sint ; cost]; % x-komponente der Lösung plotten plott,x,:,linestyles{i},'linewidth',; end % Parameter C, C bestimmen, damit die Anfangsbedingung erfüllt ist C = x; % Lösung berechnen x = C * [cost ; -sint] + C * [sint ; cost] + / * [t.* sint ; t.*cost - sint]; % x-komponente der Lösung plotten plott,x,:,'r-','linewidth',; % Titel und Label setzen legend'omega = ','omega = /','omega = 6/','omega = ','Location', ' NorthWest'; xlabel't'; ylabel'x'; setgca,'xtick',:*pi:6**pi; title'x-komponente der Lösungen des Differenzialgleichungssystems'; print -depsc HA_matlab_plot_.eps diary off x omega = omega = / omega = 6/ omega = x Komponente der Lösungen des Differenzialgleichungssystems t Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex. Juni 9