Aufgabenkomplex 3: Vektoren und Matrizen

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Max Eberhardt
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1 Technische Universität Chemnitz 15. November 010 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.1 Aufgabenkomplex : Vektoren und Matrizen Letzter Abgabetermin: 9. Dezember 010 in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 41/615 Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I.1, Aufgabenkomplex kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll! 1. a Zeigen Sie, dass der Vektor 8 Linearkombination, der Vektor hingegen keine Linearkombination der Vektoren und 1 ist! 4 b Wie kann man aus den unter a genannten Vektoren eine Basis des Raumes R bilden? 1 Geben Sie die Koordinaten der Vektoren 8 und 5 bezüglich dieser Basis an! Ein Körper wird durch eine Kraft F = 4 5 T vom Punkt 8,, zum Punkt 5,8, bewegt. a Zerlegen Sie die Kraft in eine Komponente in Bewegungsrichtung und in eine dazu orthogonale Komponente! b Bestimmen Sie den Winkel zwischen Kraft- und Bewegungsrichtung! c Bestimmen Sie die bei der Bewegung von der Kraft an dem Körper verrichtete Arbeit! 1 4. Sei A= 5, B= 4 6 1, C = 1 0 AB, BA, AC, CA, A T C, C T A, ABC und CBA, falls diese existieren!. Berechnen Sie die Matrizen 4. A sei eine beliebige Matrix. Mit welcher Matrix B muss man die Matrix A von links multiplizieren d.h. BA berechnen, damit a die 1. Zeile mit multipliziert wird, b eine einzeilige Matrix entsteht, deren Komponenten die Summen der Spalten der Matrix A sind, c das Doppelte der 1. Zeile zur. Zeile addiert wird? d die 1. mit der. Zeile vertauscht wird? 5. Es werden drei Produkte P 1, P und P aus drei Baugruppen B 1, B und B und diese aus drei Ausgangsstoffen R 1, R und R gefertigt, wobei im Einzelnen folgender Bedarf besteht: je P 1 je P je P R 1 R R B je B B 0 je B 1 B 6 je B 1 1 a Stellen Sie dar, wie sich aus den beiden gegebenen Matrizen die Aufwandsmatrix für den Bedarf an Ausgangsstoffen je Endprodukt errechnet und führen Sie diese Berechnung aus! b.w.

2 Höhere Mathematik I.1 Aufgabenkomplex 15. November 010 b Es wird ein Auftrag zur Herstellung von 00 P 1, 100 P und 00 P sowie zusätzlich von 100 B 1 und 80 B als Austauschbaugruppen erteilt. Welche Mengen an Ausgangsstoffen werden insgesamt benötigt? Nutzen Sie für die Rechnung die Multiplikation von Aufwandsmatrizen und Auftragsvektoren!

3 Höhere Mathematik I.1 Aufgabenkomplex 15. November 010 Aufgabenkomplex : Vektoren und Matrizen Letzter Abgabetermin: 9. Dezember a Zeigen Sie, dass der Vektor 8 Linearkombination, der Vektor hingegen keine Linearkombination der Vektoren und 1 ist! 4 b Wie kann man aus den unter a genannten Vektoren eine Basis des Raumes R bilden? 1 Geben Sie die Koordinaten der Vektoren 8 und 5 bezüglich dieser Basis an! = r a 8 = r +s1 8=r+ s = s= =r+4s stimmt für r=, s=, 1 0 also 8 = +1 Linearkombination = r = r +s1 =r+ s = s= = r+4s nicht erfüllt wegen r+4s =, es gibt also keine Parameter r, s, die das erfüllen, somit keine Linearkombination. 1 0 b, 1, 4 1 sind linear unabhängig. Jedes System von linear unabhängigen Vektoren des R ist Basis des R. Also handelt es sich bei den Vektoren um eine Basis = r +s1 +t gilt offensichtlich für r=, s=, t = = r +t r=1 t 5 = r + s1 +t 5=r+ s+t s=5 r t =5 +4t t=+t 16=r+4s+ t 16=r+4s+t = 6t+1+4t+t, t = 1, r=, s=, also =

4 Höhere Mathematik I.1 Aufgabenkomplex 15. November Ein Körper wird durch eine Kraft F = 4 5 T vom Punkt 8,, zum Punkt 5,8, bewegt. a Zerlegen Sie die Kraft in eine Komponente in Bewegungsrichtung und in eine dazu orthogonale Komponente! b Bestimmen Sie den Winkel zwischen Kraft- und Bewegungsrichtung! c Bestimmen Sie die bei der Bewegung von der Kraft an dem Körper verrichtete Arbeit! 8 5 a Weg: s= 8 = Die Bewegungsrichtung kann auch durch den dazu proportionalen Vektor s = charakterisiert werden. Sind F s und F o die Komponenten der Kraft in Bewegungsrichtung und orthogonal dazu, so gilt F s =t s und F o = F F s = F t s. Da F o zu s orthogonal ist, gilt F t s s=0. Daraus folgt 1 4 t = F s s s = 5 = = 5. Folglich ist F s = 5 1 = die Kraftkomponente in Bewegungsrichtung und 10 F o = = 1 14 die dazu orthogonale Komponente b F, s=arccos =arccos =arccos 5 5 =arccos 1 = π 4 c W = F s = 4 6 = 45 oder W = F s s = = Sei A= 5, B= 4 6 1, C = 1 0 AB, BA, AC, CA, A T C, C T A, ABC und CBA, falls diese existieren! 0 0 AB = Produkt von Nichtnullmatrizen kann Nullmatrix werden., 0 0. Berechnen Sie die Matrizen

5 Höhere Mathematik I.1 Aufgabenkomplex 15. November BA = Man beachte BA AB., AC Typen, unverträglich, Produkt nicht definiert, CA = 5 A T C = 4 7, C T 4 8 A = ABC = Man beachte A T C T=C T A T T =C T A., , CBA Typen,, unverträglich, Produkt nicht definiert 4. A sei eine beliebige Matrix. Mit welcher Matrix B muss man die Matrix A von links multiplizieren d.h. BA berechnen, damit a die 1. Zeile mit multipliziert wird, b eine einzeilige Matrix entsteht, deren Komponenten die Summen der Spalten der Matrix A sind, c das Doppelte der 1. Zeile zur. Zeile addiert wird? d die 1. mit der. Zeile vertauscht wird? a 11 a 1 a 1 a 1n a 11 a 1 a 1 a 1n a 1 a a a n a a 1 a a a n = a 1 a a a n a 1 a a a n a m1 a m a m a mn a m1 a m a m a mn Element aus 1. Zeile b Element jeder Zeile und addieren c Element aus 1. Zeile + 1 Element aus. Zeile a 11 a 1 a 1 a 14 a 1n a 1 a a a 4 a n a 1 a a a 4 a n a 11 a 1 a 1 a 14 a 1n d a 1 a a a 4 a n a 41 a 4 a 4 a 44 a 4n = a 1 a a a 4 a n a 41 a 4 a 4 a 44 a 4n a m1 a m a m a m4 a mn a m1 a m a m a m4 a mn,

6 Höhere Mathematik I.1 Aufgabenkomplex 15. November Element aus. Zeile 1 Element aus 1. Zeile 1 Element aus. Zeile 1 Element aus 4. Zeile 1 Element aus letzter Zeile 5. Es werden drei Produkte P 1, P und P aus drei Baugruppen B 1, B und B und diese aus drei Ausgangsstoffen R 1, R und R gefertigt, wobei im Einzelnen folgender Bedarf besteht: je P 1 je P je P R 1 R R B je B B 0 je B 1 B 6 je B 1 1 a Stellen Sie dar, wie sich aus den beiden gegebenen Matrizen die Aufwandsmatrix für den Bedarf an Ausgangsstoffen je Endprodukt errechnet und führen Sie diese Berechnung aus! b Es wird ein Auftrag zur Herstellung von 00 P 1, 100 P und 00 P sowie zusätzlich von 100 B 1 und 80 B als Austauschbaugruppen erteilt. Welche Mengen an Ausgangsstoffen werden insgesamt benötigt? Nutzen Sie für die Rechnung die Multiplikation von Aufwandsmatrizen und Auftragsvektoren! a r : Bedarf an Ausgangsstoffen, b: Bedarf an Baugruppen, p: Bedarf an Endprodukten Endprodukte Baugruppen: A 1 = 0, Ausgangsstoffe Baugruppen: A = b = A1 p, r = A T b = A T A 1 p Rohstoffbedarf für Endprodukte Aufwandsmatrix für den Zusammenhang von Endprodukten und Ausgangsstoffen also: je P je P je P A = A T A 1 = = R , d.h R R b b Austausch : Bedarf an Austauschbaugruppen r gesamt = A p+a T b Austausch = = = Es werden 1480 Einheiten R 1, 1960 Einheiten R und 6660 Einheiten R benötigt.

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