Aufgabenkomplex 4: Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme

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1 Technische Universität Chemnitz 2. Juni 29 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4: Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin: 6. Juni 29 (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 4/65 Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I.2, Aufgabenkomple 4 kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll! und stellen Sie in die-. Skizzieren Sie das Richtungsfeld der Differenzialgleichung (= sem die Lösungsmenge dieser Differenzialgleichung dar! 2. An einer bestimmten Stelle wurde nach der Reaktorkatastrophe von Tschernobl eine Flächenbelastung durch ein radioaktives Isotop von 2 kbq/m 2 gemessen. Ein Jahr später wurde an der gleichen Stelle eine Belastung von noch kbq/m 2 gemessen. Bekannt ist, dass die Änderungsgeschwindigkeit der Radioaktivität proportional zu ihrer Höhe ist. Ermitteln Sie, nach welcher Zeit die Belastung auf 5 kbq/m 2 gefallen sein wird! 3. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung cos 2+sin = 2+sin! 4. Drehen Sie das kartesische --Koordinatensstem so, dass die Gleichung der Kurve = +( = 6 4 in Hauptachsenlage überführt wird! Um was für eine Kurve handelt es sich? Stellen Sie die Kurve im --Sstem grafisch dar! 5. a Ermitteln Sie die allgemeine reelle Lösung des Sstems ẋ = + 4 ẏ = 2 + 3! b Bestimmen Sie die spezielle Lösung, für die (=3 und (=5 gilt! 6. Lösen Sie die Anfangswertaufgabe ẋ= 2 ẏ=3 5 ż=2 4+z (=3, (= 2, z(=! Zusatzaufgabe auf Seite 2

2 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29 2 Zusatzaufgabe Bei dieser Aufgabe können Zusatzpunkte erworben werden, bei den Aufgaben 6 werden insgesamt 4 Punkte vergeben. Der Aufgabenkomple ist bestanden, wenn mindestens 2 Punkte erreicht worden sind. Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit MATLAB. Protokollieren Sie Ihr Vorgehen in einer diar-datei und speichern Sie erstellte Plots ab.. Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differenzialgleichung aus obiger Aufgabe zusammen mit einigen ausgewählten Lösungen der Gleichungen in einen gemeinsamen Plot und beschriften Sie die Achsen. Beachten Sie, dass sich die Pfeile nur im Anstieg, nicht aber in ihrer Länge unterscheiden sollen. 2. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der in den obigen Aufgaben 5 und 6 auftretenden Sstemmatrizen und vergleichen Sie diese mit Ihren Ergebnissen. 3. Zeichnen Sie die Punkte (,, welche die Gleichung in obiger Aufgabe 4 erfüllen, unter Verwendung des contour-befehls und beschriften Sie die Achsen. Öffnen Sie die erstellte diar-datei (vorher mit diar off die Protokollierung abschließen und entfernen Sie ggf. überflüssige Zeilen (z.b. Fehleingaben. Drucken Sie anschließend die bearbeitete diar-datei und eventuell angefertigte Plots und m-files möglichst sparsam (d.h. nach Möglichkeit duple, mehrere Seiten pro Blatt, kleine Schriftgröße aus. Fügen Sie den Ausdruck Ihrer restlichen Hausaufgabe an.

3 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29 3 Hinweise zur MATLABaufgabe eig Die Funktion eig dient der Bestimmung von Eigenwerten und der dazugehörigen Eigenvektoren. Zum Beispiel gibt der Befehl eig( [ 2 ; 2 ] die Eigenwerte der Matri 2 2 zurück. Ist man zusätzlich an den Eigenvektoren interessiert, so werden zwei Rückgabeargumente benötigt [V,D] = eig( [ 2 ; 2 ] contour Mit contour können die Niveaumengen (Punkte mit gleichem Funktionswert, z.b. Höhenlinien auf einer Landkarte einer Funktion dargestellt werden. Mit den Befehlen = linspace(-2, 2, ; = linspace(-2, 2, ; [X,Y] = meshgrid(,; Z = X.ˆ2 + Y.ˆ2; contour(x,y,z werden einige Niveaumengen, also {(, : f(, = c}, der Funktion f(, = gezeichnet. Es ist möglich, die gewünschten Niveaus c selbst anzugeben, z.b. werden mit contour(x,y,z,[ 2] nur die beiden Kreise zum Niveau c = und c = 2 gezeichnet. Will man nur ein Niveau zeichnen, muss dieses doppelt angegeben werden, z.b. contour(x,y,z,[ ] quiver quiver dient dem Zeichnen von Pfeilen. Zum Beispiel zeichnet quiver( [ ], [- ], [2-3], [ -2] die drei Vektoren v = ( 2, v 2 = an die zugehörigen Stellen =, 2 = siehe auch help quiver 3, v 3 = 2, 3 =,

4 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29 4 Aufgabenkomple 4: Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin: 6. Juni 29 und stellen Sie in die-. Skizzieren Sie das Richtungsfeld der Differenzialgleichung (= sem die Lösungsmenge dieser Differenzialgleichung dar! Lösungen der Differenzialgleichung: ( = ln +C (eingezeichnet für C= 5, 4,...,5 2. An einer bestimmten Stelle wurde nach der Reaktorkatastrophe von Tschernobl eine Flächenbelastung durch ein radioaktives Isotop von 2 kbq/m 2 gemessen. Ein Jahr später wurde an der gleichen Stelle eine Belastung von noch kbq/m 2 gemessen. Bekannt ist, dass die Änderungsgeschwindigkeit der Radioaktivität proportional zu ihrer Höhe ist. Ermitteln Sie, nach welcher Zeit die Belastung auf 5 kbq/m 2 gefallen sein wird! N(t Flächenbelastung in Abhängigkeit von der Zeit dn dt N, dn dt = kn, N( = 2, N( = dn dn N = k dt (N >, N = k dt (N >, lnn = kt +C t = : ln2 = C, t = : ln95.43 = k+c, k = ln95.43 ln2 = ln lnn = ln t + ln2, für N=5 ergibt sich t = ln 5 2 ln Nach 2.45 Jahren ist die Flächenbelastung auf 5 kbq/m 2 gefallen ( ln N= ergibt sich nach 2 ln Jahren, Cäsium 37: Halbwertszeit: 3 Jahre. 2

5 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29 5 (Nach Tschernobl traten Flächenbelastungen > 2 kbq/m 2 in Teilen der Ukraine, Weissrusslands, Russlands und Skandinaviens auf. In Mitteleuropa war z.b. Österreich stark betroffen mit Spitzenwerten von 5 kbq/m 2. Bei München wurden 9 kbq/m 2 gemessen. 3. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung cos 2+sin = 2+sin! homogen: Trennung der Veränderlichen d d = cos 2+sin, d = cosd d cosd dsin 2+sin, = 2+sin = 2+sin (Dabei ist die Substitution t =2+sin, dt =cos, dt =cosd vorgenommen werden. d ln = ln(2+sin+ln C, = C(2+sin ( Der bei der Division durch zu beachtende Sonderfall = ist bei der Wahl von C= in dieser Lösung enthalten, streng genommen müsste außerdem ln = ln(2+sin+ln C, C>, = C(2+sin, C>, = C(2+sin, C beliebig reell (einschließlich C=, da Lösung ist geschrieben werden. inhomogen: Variation der Konstanten: Ansatz: = C((2+sin C ((2+sin+C( cos cos 2+sin C((2+sin = 2+sin, C ((2+sin = 2+sin, C ( =, C( = +D allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl.: = (2+sin + D(2+sin 4. Drehen Sie das kartesische --Koordinatensstem so, dass die Gleichung der Kurve = +( = 6 4 in Hauptachsenlage überführt wird! Um was für eine Kurve handelt es sich? Stellen Sie die Kurve im --Sstem grafisch dar! 9 λ λ = (9 λ(4 λ 36 = 36 3λ + λ 2 36 = (λ 3λ, λ /2 = 3; EV zu λ =3: EV, normiert EV zu λ 2 =: EV, normiert ξ Drehung: = V = 3 2 ξ (Dabei gilt detv=. η η ξ ξ ξ η = η η 3 ξ ξ η + ( 4 3 ξ = η η (Da zur Drehung die orthogonale Matri aus den normierten Eigenwerten verwendet wurde, ist beim quadratischen Anteil ohnehin klar, dass die Diagonalmatri aus den normierten Eigenwerten

6 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29 6 entsteht. Für die Koeffizienten des linearen Anteils ist aber die Berechnung mit der Drehmatri erforderlich. 3ξ 2 + 4ξ 3η =, ξ 2 + 8ξ η =, η = ξ 2 + 8ξ = (ξ η ξ Also handelt sich um eine Parabel. Im transformierten Koordinatensstem liegt ihr Scheitelpunkt im Punkt ( 4, ( 3 V = cosα sinα = gilt sinα cosα für α =arccos (da I. Quadrant. Folglich entsteht das ξ-η-sstem aus dem -- Sstem durch Drehung um ca a Ermitteln Sie die allgemeine reelle Lösung des Sstems ẋ = + 4 ẏ = 2 + 3! b Bestimmen Sie die spezielle Lösung, für die (=3 und (=5 gilt! 4 a A = 2 3 λ λ = 3 2λ+λ 2 +8=λ 2 2λ+5=, λ /2 =± 5=±2i EV zu +2i: 2 2i i : ( 2, Zeilen tauschen +i 2 2i 4 II +(2+2iI +i ( i 2 = EV zu 2i: 2+2i i : ( 2, Zeilen tauschen i 2+2i 4 II +(2 2iI i (+i 2 = allgemeine komplee (t = C i +i e ( 2it + D e (+2it 3 Wege zur Berechnung der allgemeinen reellen I. Ausführliche Rechnung: Setzen C=A+Bi, D=C=A Bi EV C EV D i +i

7 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29 7 (t = e t ((A+Bi = e t (( (A+B (A Bi A+Bi i (cos2t + isin2t+(a Bi (cos2t + isin2t+ ( +i ( (A+B+(A Bi A Bi (cos2t isin2t = e t ( ((A+Bcos2t+(A Bsin2t + i((a+bsin2t (A Bcos2t Acos2t Bsin2t + i(asin2t+bcos2t (cos2t isin2t (A+Bcos2t+(A Bsin2t + i( (A+Bsin2t+(A Bcos2t Acos2t Bsin2t + i( Asin2t Bcos2t ( (2A+2Bcos2t+(2A 2Bsin2t sin2t+cos2t sin2t cos2t =e t = 2A 2B e 2Acos2t 2Bsin2t cos2t sin2t t sin2t+cos2t sin2t cos2t Mit E =2A, F = 2B erhält man (t = E e cos2t t + F e sin2t t als allgemeine reelle Lösung des Differenzialgleichungssstems. II. Vereinfachte Rechnung (s. Vorlesung: Die ( Zerlegung der zum ersten Eigenwert ( gehörenden Lösung ( in Real- und Imaginärteil ergibt i cos2t+sin2t sin2t cos2t e t (cos2t+isin2t = e t +ie cos2t t. Multipliziert man sin2t Real- und Imaginärteil separat mit Konstanten, erhält man das unter I. vorgerechnete Ergebnis. III. Berechnung einer aus der anderen Komponente: Wegen λ /2 =±2i kann man jede der beiden Komponenten in der Form e t (E cos2t+f sin2t ansetzen und daraus mithilfe der gegebenen Differenzialgleichungen die andere Komponente errechnen. Setzt man z.b. (t=e t (E cos2t+f sin2t, so folgt aus der zweiten Differenzialgleichung + (t= 2 (3(t ẏ(t= 2 et (3E cos2t+3f sin2t E cos2t F sin2t + 2E sin2t 2F cos2t = 2 et (2E cos2t+2e sin2t+2f sin2t 2F cos2t=e t( E(sin2t+cos2t+F(sin2t cos2t, so dass man auch auf diesem Wege das unter I. notierte Ergebnis erhält. Geht man stattdessen von (t=e t (E cos2t+f sin2t aus, so ergibt sich die zweite Komponente zu (t= ẋ(t+(t ( =e t E cos2t sin2t +F cos2t+sin2t b Setzt man t = in die bei a unter Weg I notierte Lösung ein, so erhält man 3 ( = E + F =, E F =3, E =5, also F =2. 5 7sin2t+3cos2t Lösung der AWA also: (t = e 2sin2t+5cos2t t (t = (7sin2t+3cos2te, d.h. t (t = (2sin2t+5cos2te t

8 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni Lösen Sie die Anfangswertaufgabe ẋ= 2 ẏ=3 5 ż=2 4+z (=3, (= 2, z(=! λ λ 2 4 λ =( λ λ λ =( λ(λ 2 +5λ 6= λ =, λ 2/3 = ± = 5 2 ± 7 { 2 = 6 EV zu λ /2 =: =, =2 2, 2 =C, 3 =D EV zu λ 3 = 6: =, 2 = =, 3 = 2 2 EV: C, D EV: E (t =C e +D e +E 3 e, (=C +D +E 3 = (t = e t + e t 3 e 6t = e t + 2 e 6t, d.h (t = 2e t + e 6t (t = e t 3e 6t z(t = e t 2e 6t

9 Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29 9 Zusatzaufgabe Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit MATLAB. Protokollieren Sie Ihr Vorgehen in einer diar-datei und speichern Sie erstellte Plots ab.. Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differenzialgleichung aus obiger Aufgabe zusammen mit einigen ausgewählten Lösungen der Gleichungen in einen gemeinsamen Plot und beschriften Sie die Achsen. Beachten Sie, dass sich die Pfeile nur im Anstieg, nicht aber in ihrer Länge unterscheiden sollen. 2. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der in den obigen Aufgaben 5 und 6 auftretenden Sstemmatrizen und vergleichen Sie diese mit Ihren Ergebnissen. 3. Zeichnen Sie die Punkte (,, welche die Gleichung in obiger Aufgabe 4 erfüllen, unter Verwendung des contour-befehls und beschriften Sie die Achsen. Öffnen Sie die erstellte diar-datei (vorher mit diar off die Protokollierung abschließen und entfernen Sie ggf. überflüssige Zeilen (z.b. Fehleingaben. Drucken Sie anschließend die bearbeitete diar-datei und eventuell angefertigte Plots und m-files möglichst sparsam (d.h. nach Möglichkeit duple, mehrere Seiten pro Blatt, kleine Schriftgröße aus. Fügen Sie den Ausdruck Ihrer restlichen Hausaufgabe an. nachbereitete diar-datei (Kommentare durch % gekennzeichnet und Plots auf dieser und der nächsten Seite % Aufgabe % Anzahl der Pfeile pro Koordinatenrichtung n = 8; = linspace(-2, 2, n; = linspace(-2, 2, n; [X,Y] = meshgrid(, ; % Verschiebe X um eps, damit X nie eakt ist X = X + eps; % Berechnung der Norm der Pfeile, um diese später zu Normieren Norm = sqrt( +./X.^2; % Koordinate der Pfeile setzen U = ones(n,n./ Norm; % Koordinate der Pfeile setzen V = (./X./ Norm; % Pfeile zeichnen figure(; clf; quiver(x, Y, U, V,.5, 'LineWidth', 2, 'Color', 'black'; % % für Octave ('LineWidth',2,'Color','black' führen bei Octave zu Fehler: % quiver(x, Y, U, V,.5 % % ais fest einstellen ais([ ]; grid on; hold on; % Koordinatenachsen hervorheben plot([-2,2],[,],'-k','linewidth', plot([,],[-2,2],'-k','linewidth', % Jetzt drei Lösungen einzeichnen n = 5; = linspace(-2, 2, n; f = log(abs(; f2 = log(abs( + ; f3 = log(abs( - ; plot(, f, 'Color', 'blue', 'LineWidth', 2; plot(, f2, 'Color', 'red', 'LineWidth', 2; plot(, f3, 'Color', 'magenta', 'LineWidth', 2; % Labels, Title label(''; label(''; title('richtungsfeld und ausgewählte Lösungen'; print -depsc HA4_matlab_plot_.eps

10 % Aufgabe 2 A = [ - 4 ; -2 3 ]; EW=eig(A' EW =. - 2.i. + 2.i [EV,D]=eig(A; EV EV = i i B = [ 2 ; 3-5 ; 2-4 ]; EW=eig(B' EW = -6 [EV,D]=eig(B; EV EV = % Ermittelt wurden normierte Eigenvektoren. Der. und der 3. EV gehören % zum EW. Der 3. EV ergibt sich aus der oben in der Musterlösung von % Aufgabe 6 notierten Darstellung durch Wahl von C=-.48 und D= % Aufgabe 3 n = ; = linspace(-2, 2, n; = linspace(-2, 2, n; [X,Y] = meshgrid(,; Z = 9*X.^2 + 2*X.*Y + 4*Y.^2 + 26*sqrt(3*X + 3*sqrt(3*Y; figure(2; clf; hold on; contour(x,y,z,[ ],'LineWidth',3,'Color','black'; % % für Octave (kann mit contour nur geschlossene Konturen darstellen: % Z(,:=; Z(,:=; Z(:,=; Z(:,=; % Zusatzparameter werden bei Octave beim contour-befehl nicht akzeptiert: % contour(x,y,z,[,] % % Label, Title label(''; label(''; grid on; hold on; plot([-2,2],[,],'-k','linewidth', plot([,],[-2,2],'-k','linewidth', title('gedrehte Parabel (vgl. Aufgabe 4'; print -depsc HA4_matlab_plot_3.eps diar off Richtungsfeld und ausgewählte Lösungen gedrehte Parabel (vgl. Aufgabe Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 4 2. Juni 29