x y Kenner der Kegelschnitte werden hier eine Ellipse erkennen, deren Hauptachsen aber nicht mit der Richtung der Koordinatenachsen zusammenfallen.

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1 Matrizen / ensoren - eil ensoren - zweidimensionales Beispiel um das Eigenwertproblem zu verdeutlichen hier als Beispiel ein zweidimensionales Problem die entsprechenden Matrizen und Determinanten haben so nur Elemente; sie lassen sich übersichtlicher behandeln und auch in einer Skizze veranschaulichen Analog unserer Problemstellung zum rägheitstensor legen wir eine smmetrische Matri A allerdings mit Elementen zugrunde der Begriff ensor wird hier nicht benutzt da ein ensor Stufe definitionsgemäß Elemente hat Gegeben sei die smmetrische Matri A diese soll in die Diagonalform überführt werden gesucht ist also eine Koordinatentransformation: ' ' für welche die Matri in die Diagonalform übergeht: A d A A in unseren bisherigen Betrachtungen stand als Beispiel der rägheitstensor zur Verfügung; was kann man sich aber hier unter der angegebenen Matri A vorstellen? wir multiplizieren A von rechts und von links mit dem Ortsvektor r r A r Kenner der Kegelschnitte werden hier eine Ellipse erkennen deren Hauptachsen aber nicht mit der Richtung der Koordinatenachsen zusammenfallen Wir suchen also das Koordinatensstem ' ' dessen Achsen mit den Ellipsenachsen zusammenfallen Dr Hempel Mathematische Grundlagen ensoren --

2 die Eigenwerte der Matri A ergeben sich aus der charakteristischen Gleichung det A E also 6 ausmultipliziert ergibt das: 5 6 mit den Lösungen: A und A damit haben wir die Eigenwerte und die Eigenwertmatri diagonalisierte Matri: d A diese diagonalisierte Form der Matri bezieht sich auf das Koordinatensstem ' ' die entsprechende Ellipse erhält man erneut durch Multiplikation mit dem Ortsvektor des neuen Koordinatensstems von links und von rechts: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' setzt man diesen Ausdruck gleich einer Konstanten zb = erhält man die grafische Veranschaulichung: ' ' ' ' const / / das ist eine Ellipse mit den Halbachsen a / und b / Mit der Diagonalisierung der Matri ist die gewünschte Drehung des Koordinatensstems in die Richtung der Ellipsen-Hauptachsen offensichtlich erfolgreich gewesen wir ermitteln nun noch die Eigenvektoren: a und a sie ergeben sich aus A a a ; A E a und A a a ; A E a für den ersten Eigenvektor zum Eigenwert gilt damit: Dr Hempel Mathematische Grundlagen ensoren --

3 Dr Hempel Mathematische Grundlagen ensoren -5- ausmultipliziert ergibt sich das Gleichungssstem und offensichtlich sind die beiden Gleichungen linear abhängig dadurch ist das Gleichungssstem unterbestimmt; die Lösungen können nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt werden; setzt man zb ergibt sich da es hier um eine Drehung des Koordinatensstems gehen soll - ohne Streckung / Stauchung der Achsen - gilt die Normierungsbedingung damit werden Einheitsvektoren in den ausgezeichneten Richtungen beschreiben der erste Eigenvektor ergibt sich zu: a in gleicher Weise ergibt sich für den zweiten Eigenwert : und damit der zweite Eigenvektor a die ransformationsmatri welche die Matri A in die Diagonalgestalt d A überführt wird aus den Eigenvektoren gebildet und kann geschrieben werden: a a die Richtigkeit lässt sich leicht überprüfen: Für orthogonale Matrizen ist die Kehrmatri gleich der transponierten Matri Man erhält sie durch Vertauschen von Zeilen mit Spalten der Matri Setzt man also für d A A die entsprechend konkreten Werte ein ergibt sich

4 Durch die ransformation wurde das Bezugssstem in das Sstem ' ' überführt Die Matri erscheint im Koordinatensstem ' ' in Diagonalform betrachten wir die Komponenten der ransformationsmatri genauer: die Werte entsprechen genau sin bzw cos da wir über eine Drehung sprechen handelt es sich in unserem speziellen Fall offenbar um eine Drehung um den Winkel den Winkel cos sin sin cos für beliebige Winkel wird solch eine Drehung durch die orthogonale Matri dargestellt: cos sin sin cos Geometrische Darstellung der Rechnung: Die Matri A stellt - von rechts und links mit dem Ortsvektor multipliziert - eine Ellipse dar Die Eigenwertaufgabe bestand darin die Größe ihrer Halbachsen und die Lage des Hauptachsensstems ' ' in Bezug auf das vorgegebene Koordinatensstem zu finden ensoren - dreidimensionales Beispiel Versuchen wir nun ein dreidimensionales Beispiel pisch ist hier unser bereits mehrfach bemühter rägheitstensor J 7 J 6 5 Die zu stellenden Fragen lauten: - Wie groß sind die Hauptträgheitsmomente - wie sind die Hauptträgheitsachsen bezüglich des Koordinatensstems z orientiert? Dr Hempel Mathematische Grundlagen ensoren -6-

5 dazu bestimmen wir zuerst die Eigenwerte: det J E daraus ergibt sich die charakteristische Gleichung ohne die Rechnung hier auszuführen sei das Ergebnis vorgestellt; die Gleichung Grades ergibt Lösungen: 6 Eine smmetrische Matri wie unser rägheitstensor besitzt angenehme Eigenschaften: Sämtliche Eigenwerte sind reell und mit ihnen auch sämtliche Eigenvektoren Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal Zu jedem Eigenwert gehören so viele unabhängige Eigenvektoren wie seine Ordnung beträgt Daraus folgt: Es gibt insgesamt n linear unabhängige Eigenvektoren - auch dann wenn mehrfache Eigenwerte auftreten damit haben wir die Eigenwerte und die Eigenwertmatri diagonalisierte Matri: J d 6 diese diagonalisierte Matri bezieht sich auf das Koordinatensstem ' ' die Diagonalenelemente entsprechen den Hauptträgheitsmomenten J J J z in Richtung der Hauptträgheitsachsen freie Achsen Wie kann man sich diesen diagonalisierten rägheitstensor vorstellen? wie bereits im zweidimensionalen Beispiel multiplizieren wir diese Matri von links und rechts mit dem Ortsvektor des Koordinatensstems ' ' ' ' ' ' 6 ' ' ' 6' ' 6' setzt man diesen Ausdruck gleich einer Konstanten zb = erhält man die grafische Veranschaulichung: ' ' ' 6' const / / 6 / wir erhalten ein dreiachsiges Ellipsoid mit den entsprechenden Halbachsen Mit der Diagonalisierung der Matri ist die gewünschte Drehung des Koordinatensstems in die Richtung der Ellipsoid-Hauptachsen offensichtlich erfolgreich gewesen Dr Hempel Mathematische Grundlagen ensoren -7-

6 Wir ermitteln nun noch die Eigenvektoren: a a z z und a z sie ergeben sich aus J a a ; J E a J a a ; J E a und J a a ; J E a für den ersten Eigenvektor zum Eigenwert gilt damit: 7 J 6 5 z das Gleichungssstem z z und z offensichtlich sind die Gleichungen linear abhängig merkt man wenn man zu rechnen beginnt das Gleichungssstem ist also unterbestimmt; die Lösungen können nur bis auf einen konstanten Faktor ermittelt werden setzt man zb z ergibt sich Da es hier wie im zweidimensionalen Beispiel um eine Drehung des Koordinatensstems geht - ohne Streckung / Stauchung der Achsen - gilt die Normierungsbedingung z im konkreten Fall ergibt sich daraus und z 667 also a analog ergeben sich zwanglos a und a Achtung: Stellt man sich vor dass die Vektoren a a a die Richtungen für ' ' vorgeben lohnt eine Prüfung ob aus dem Rechtssstem z wieder ein Rechtssstem geworden ist So wie im Rechtssstem z das Kreuzprodukt aus den Einheitsvektoren und den Vektor z ergibt z sollte gelten a a a i j k wir prüfen: a a a Dr Hempel Mathematische Grundlagen ensoren -8-

7 das ist genau der a entgegengesetzte Vektor Das Problem entsteht weil sich die Eigenvektoren nur bis auf einen konstanten Faktor genau bestimmen lassen Dieser konstante Faktor kann natürlich auch negativ sein Schlussfolgerung: Um als Koordinatensstem ein Rechtssstem zu erhalten sollte eine gründliche Prüfung der Eigenvektoren und ihrer Zuordnung erfolgen! Ansonsten könnten bei der Lösung entsprechender phsikalischer Probleme Überraschungen auftreten! Für unseren konkreten Fall schlage ich einen anderen Ausweg vor: Wir ändern die Zuordnung der Eigenvektoren! 667 a 667 a a 667 eine Prüfung zeigt dass so ein Rechtssstem aus den Eigenvektoren erstellt wurde Die ransformationsmatri welche die Matri J in die Diagonalgestalt aus den Eigenvektoren gebildet und kann geschrieben werden: d J überführt wird a a a z z z Die Richtigkeit lässt sich leicht überprüfen: Für orthogonale Matrizen ist die Kehrmatri gleich der transponierten Matri Man erhält sie durch Vertauschen von Zeilen mit Spalten der Matri Setzt man also für J J d die entsprechend konkreten Werte ein ergibt sich Durch die ransformation wurde das Bezugssstem z in das Sstem ' ' überführt Die Matri erscheint im Koordinatensstem ' ' in Diagonalform Nicht ganz so einfach wie im zweidimensionalen Fall ist die Veranschaulichung der ransformationsmatri dazu sei auf Kapitel Matrizen und Determinanten - ein erster Hinweis Kapitel Drehmatri im R verwiesen Dr Hempel Mathematische Grundlagen ensoren --