Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2014): Differential und Integralrechnung 6

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 204): Differential und Integralrechnung 6 6. (Herbst 200, Thema 2, Aufgabe 4) Suchen Sie für alle c R einen Punkt auf der Parabel P := { (x,y) : y 2 = x }, mit minimalem Abstand zum Punkt (c, 0), indem Sie die Funktion ( ) ( ) f(y) := y 2 c 2 y 0 in Abhängigkeit von c minimieren. 6.2 (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem kürzesten Abstand zu dem Punkt (0,r) auf der y Achse. Für welche r > 0 ist (0,0) der Punkt mit dem kürzesten Abstand? 6.3 (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 4) Zugrunde gelegt sei hier ein kartesisches (x, y) Koordinatensystem. Bestimmen Sie für c > 0 die Punkte der Parabel {(x,y) R 2 : y 2 = 2x}, die vom Punkt (c, 0) den kleinsten Abstand haben. 6.4 (Herbst 2004, Thema, Aufgabe 5) Es seien a = (a,a 2 ), b = (b,b 2 ) und c = (c,c 2 ) verschiedene Punkte des R 2. Bestimmen Sie alle Punkte p = (x,y) in R 2 mit der Eigenschaft, dass p a 2 +2 p b 2 +3 p c 2 minimal ist ( bezeichne die euklidische Norm). 6.5 (Herbst 2003, Thema 2, Aufgabe 7) Seien p ein Punkt und M eine offene Teilmenge von R 2. Beweisen Sie, dass auch eine offene Teilmenge von R 2 ist. 6.6 (Frühjahr 2006, Thema 3, Aufgabe 6) {p+x x M} Beweisen Sie, dass (0, 0) ein Randpunkt der Teilmenge {( ( )) } x, sin x R, x > 0 x des R 2 ist.

2 6.7 (Frühjahr 200, Thema 2, Aufgabe 4) Sei Γ die durch die Parametrisierung γ(t) = (x(t),y(t)) = ( 3t 2,3t 3 t ) ( 3 t 3 ) gegebene geschlossene Kurve in der (x, y) Ebene. Berechnen Sie die Bogenlänge von Γ. 6.8 (Frühjahr 2006, Thema, Aufgabe 6) a) Beweisen Sie, dass die Funktion F : R R, x x 2 eine Stammfunktion der Funktion ist. b) Bestimmen Sie die Länge der Kurve +x2 + 2 ln (x+ +x 2 ) f : R R, x +x 2 γ : [0,6π] R 2, t t (cost,sint). c) Skizzieren Sie die Bildmenge γ([0, 6π]). 6.9 (Herbst 2006, Thema 3, Aufgabe 5) Gegeben sei die Kurve C : [0, [ R 2, definiert durch C(t) = (x(t),y(t)), x(t) = t6 6, y(t) = 2 t4 4. Berechnen Sie die Bogenlänge von C zwischen den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen. 6.0 (Frühjahr 2009, Thema 2, Aufgabe 4) Gegeben sei die Kurve ϕ : [0;2π] R 2, ϕ(t) = ( cos 3 t, sin 3 t ), sowie ihre Bildmenge K = {ϕ(t) t [0;2π]}. a) Für welche t [0;2π] weist der Punkt ϕ(t) K den kleinsten bzw. größten Abstand vom Ursprung (0, 0) auf? b) Man skizziere die Bildmenge K. c) Man begründe, warum die Kurve ϕ rektifizierbar ist, und bestimme ihre Bogenlänge.

3 6. (Frühjahr 202, Thema 3, Aufgabe 4) Gegeben sei die Kurve γ : [,2] R 2 mit mit der Bildmenge a) Man berechne und skizziere die Bildmenge K. γ(t) = ( t 3 3t+2, 2 3t 2) K = {γ(t) : t [,2]}. γ(), γ(2), γ (), γ (2), b) Man bestimme die Bogenlänge von K. 6.2 (Frühjahr 2005, Thema 3, Aufgabe 4) Es sei h R, h 0. Die Abbildung cost f : R R 3, t sint ht definiert eine Kurve im R 3. Für t R sei α(t) der Winkel zwischen dem Tangentialvektor f (t) und dem Vektor 0 e 3 := 0. Man zeige: α(t) ist unabhängig von t R. 6.3 (Frühjahr 203, Thema 3, Aufgabe 3) Für a, b R, a, b > 0 sei die Kurve c : [0,] R 3 durch acos(t) c(t) = asin(t) bt gegeben und deren Bildmenge B = {c(t) : t [0,]}. a) Berechnen Sie die Bogenlänge von B in Abhängigkeit von a und b. b) Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen dem Tangentialvektor an die Kurve und dem Vektor 0 e 3 = 0 konstant ist. 6.4 (Frühjahr 999, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die Kurve K : [0,2π] R 2, definiert durch K(t) := (x(t),y(t)) mit x(t) = t sint und y(t) = cost. a) Berechnen Sie die Bogenlänge dieser Kurve. (Hinweis: cost = 2 ( sin t 2) 2.) b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Kurve und der x Achse eingeschlossen wird.

4 6.5 (Frühjahr 200, Thema 2, Aufgabe 4) Es sei Q := [0,] [,2] und f : Q R definiert als { 0, falls x = 0, f(x,y) := x y, falls x 0. a) Zeigen Sie: f ist stetig in Q, insbesondere in jedem Punkt (x 0,y 0 ) Q mit x 0 = 0. b) Berechnen Sie c) Berechnen Sie (Herbst 20, Thema, Aufgabe 4) f(x,y)dx für jedes y [,2]. f(x,y)dy für jedes x [0,]. Die Funktion f : I R R sei auf dem Intervall I stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass die auf I I definierte Funktion { } f(x) f(y) für x y x y (x,y) g(x,y) := f (x) für x = y auch in jedem Punkt (x 0,x 0 ) I I stetig ist. [Hinweis: Man beachte den Mittelwertsatz!] 6.7 (Herbst 2004, Thema 2, Aufgabe 4) Sei B = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 } die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und f : B R eine stetige Funktion mit f(,0) = und f(,0) =. Begründen Sie, weshalb f auf dem Rand von B mindestens 2 voneinander verschiedene Nullstellen besitzt. 6.8 (Herbst 2007, Thema, Aufgabe 4) Gegeben seien eine stetig differenzierbare Funktion g : R R mit g(0) = 0 und g (0) =, und eine Funktion f : D R, (x,y) g(x)+g(y), x + y wobei D = {(x,y) R 2 (x,y) (0,0)}. a) Untersuchen Sie f auf Stetigkeit. b) Zeigen Sie, dass ein δ > 0 existiert, so dass g(x) < 0 für alle x ] δ,0[ und g(x) > 0 für alle x ]0,δ[ gilt. c) Untersuchen Sie, ob f in (0,0) stetig fortsetzbar ist.

5 6.9 (Frühjahr 20, Thema 2, Aufgabe 3) Seien a, b 0. a) Man zeige, dass für a+b > 2 b) Man zeige, dass für a+b 2 x a y b lim (x,y) (0,0) x 2 +y = 0. 2 nicht existiert. x a y b lim (x,y) (0,0) x 2 +y (Herbst 995, Thema, Aufgabe 5) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(0,0) = 0 und f(x,y) = x2 y x 4 +y 2 für jedes (x,y) R 2 mit (x,y) (0,0). Zeigen Sie: a) Für jedes (a,b) R 2 mit (a,b) (0,0) ist die Funktion g : R R, t f(ta,tb) differenzierbar an der Stelle 0. b) f ist nicht stetig an der Stelle (0,0). 6.2 (Herbst 2003, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion nicht partiell differenzierbar ist (Frühjahr 2006, Thema 3, Aufgabe 4) f : R 2 R, (x,y) x y y Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(0,0) = 0 und ( ( )) f(x,y) = sin(x) arctan ln x2 +y 2 für jedes (x,y) R 2 mit (x,y) (0,0). Zeigen Sie, dass die partielle Ableitung von f nach der. Variablen im Punkt (0,0) existiert, und bestimmen Sie diese (Frühjahr 200, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist die Funktion f : R 2 R, { sin(x 3 +y 3 ), falls (x,y) (0,0), f(x,y) = x 2 +y 2 0, falls (x,y) = (0,0). a) Man zeige, dass f im Punkt (0,0) stetig ist. (Es darf ohne Beweis sin(t) t für alle t R benutzt werden.) b) Man zeige, dass f im Punkt (0,0) partiell differenzierbar ist mit gradf(0,0) = (,).

6 6.24 (Frühjahr 2005, Thema, Aufgabe 5) Eine Funktion f : R 2 R sei definiert durch { xy, falls (x,y) (0,0) x + y f(x,y) := 0, sonst. a) Zeigen Sie, dass f stetig in (0,0) ist. b) Zeigen Sie, dass f partiell differenzierbar ist und bestimmen Sie gradf(x,y) in jedem Punkt (x,y) R 2. c) Untersuchen Sie, ob f stetig partiell differenzierbar in (0, 0) ist (Herbst 200, Thema, Aufgabe 2) Gegeben ist die Funktion f : R 2 R, { xy, falls (x,y) (0,0), x f(x,y) := 2 +y 2 0, falls (x,y) = (0,0). Untersuchen Sie f auf Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit im Punkt (0, 0) (Frühjahr 2005, Thema 3, Aufgabe 3) Man zeige durch Beispiele und begründe für reellwertige Funktionen: a) f : R R stetig im Punkt a R f differenzierbar in a R. b) f : R 2 R partiell differenzierbar an der Stelle (a,b) R 2 f stetig in (a,b) (Herbst 2009, Thema 2, Aufgabe 6) Die stetig differenzierbare Funktion besitze die Eigenschaft Zeigen Sie: a) gradf(x,y), f : (x,y) R 2 f(x,y) R f(λx,λy) = λ 2 f(x,y) für alle λ > 0. ( ) x = 2f(x,y). y b) gradf(λx,λy) = λ gradf(x,y) für alle λ > 0. Hinweis: BetrachtenSiedieFunktion(x,y,λ) g(x,y,λ) = f(λx,λy) λ 2 f(x,y) und ihre partiellen Ableitungen!