4 Kurven im R n. Sei I R ein beliebiges Intervall (offen, halboffen, abgeschlossen, beschränkt oder unbeschränkt), das mindestens einen Punkt enthält.

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1 4 Kurven im R n Sei I R ein beliebiges Intervall (offen, halboffen, abgeschlossen, beschränkt oder unbeschränkt), das mindestens einen Punkt enthält. Definition 4.1. (a) Unter einer Kurve im R n versteht man eine stetige Abbildung f : I R n, die als Definitionsbereich ein Intervall I wie oben besitzt. (b) Eine Kurve f = (f 1,..., f n ) : I R n heißt differenzierbar (stetig differenzierbar), falls alle Koordinatenfunktionen f ν : I R differenzierbar (stetig differenzierbar) sind. Beispiele 4.2. (a) Seien a R n und v R n \ {}. Die Kurve f : R R n, f(t) = a + tv beschreibt eine Gerade im R n durch den Punkt a in Richtung v. (b) Sei r >. Es gilt (Korollar in [EAI]) {(x, y) R 2 ; (x, y) = r} = {(r cos t, r sin t); t [, 2π]}. Dies ist die Bildmenge der Kurve f : [, 2π] R 2, f(t) = (r cos t, r sin t). (c) Seien r >, c R \ {}. Die Kurve f : R R 3, f(t) = (r cos t, r sin t, ct) beschreibt eine Schraubenlinie im R 3 um die x 3 -Achse. (d) Sei ϕ : I R stetig. Dann ist der Graph von ϕ die Bildmenge der Kurve f : I R 2, f(t) = (t, ϕ(t)). Definition 4.3. Sei f : I R n eine Kurve und sei x R n. (a) Man nennt x einen Doppelpunkt der Kurve f, wenn es t 1, t 2 I mit t 1 t 2 und f(t 1 ) = x = f(t 2 ) gibt. (b) Ist f differenzierbar und t I, so nennt man f (t) = (f 1(t),..., f n(t)) den Tangentialvektor von f zum Parameterwert t und f (t) f (t) ( falls f (t) ist) den Tangenten-Einheitsvektor von f zum Parameterwert t. 26

2 (c) Sei f stetig differenzierbar und t I. Dann heißt f regulär, wenn f (t) ist für alle t I. Man nennt t singulären Parameterwert, falls f (t ) = ist. Beispiele 4.4. (a) Ist f : I R n differenzierbar und ist f(t 1 ) = x = f(t 2 ) mit t 1 t 2, so kann natürlich f (t 1 ) f (t 2 ) gelten. So ist etwa f : R R 2, f(t) = (t 2 1, t 3 t) stetig differenzierbar mit f(1) = (, ) = f( 1) und wegen f (t) = (2t, 3t 2 1) ist f (1) = (2, 2) ( 2, 2) = f ( 1). (b) (Neilsche Parabel) Die stetig differenzierbare Kurve f : R R 2, f(t) = (t 2, t 3 ) hat t = als einzigen singulären Parameterwert, denn f (t) = (2t, 3t 2 ). Man prüft leicht nach, dass f(r) = {(x, y) R 2 ; x und y = ±x 3 2 }. Definition 4.5. Seien f : I 1 R n, g : I 2 R n reguläre Kurven und seien t 1 I 1, t 2 I 2 mit f(t 1 ) = g(t 2 ). Die eindeutige Zahl (Satz in [EAI]) θ [, π] mit cos θ = f (t 1 ), g (t 2 ) f (t 1 ) g (t 2 ) heißt der Schnittwinkel zwischen f und g bei den Parametern t 1 und t 2. In Definition 4.5 bezeichnet, : R n R n R, x, y = das kanonische Skalarprodukt auf R n. Nach Beispiel 1.5 (a) gilt n x i y i i=1 x, y x y (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) für alle x, y R n. Sei f : [a, b] R n eine Kurve (a, b R mit a < b). Für jede Teilung T = (t i ) k i= Punkte t i mit a = t < t 1 <... < t k = b, nennen wir von [a, b], das heißt k L(f, T ) = f(t i ) f(t i 1 ) i=1 die Länge des durch die Folge (f(t i )) k i= definierten Polygonzuges. Definition 4.6. Eine Kurve f : [a, b] R n heißt rektifizierbar, falls es eine Zahl L R gibt so, dass für jedes ɛ > ein δ > existiert mit L(f, T ) < ɛ für jede Teilung T von [a, b] mit Feinheit ω(t ) < δ. In diesem Fall heißt L die Länge oder Bogenlänge von f (geschrieben L(f)). Hierbei ist die Feinheit oder Spurweite einer Teilung T = (t i ) k i= von [a, b] definiert durch ω(t ) = max i=1,...,k(t i t i 1 ) (Definition 16.1 in [EAI]). 27

3 Lemma 4.7. Sei f : [a, b] R n eine Kurve. Seien S = (s i ) k i= und T = (t j) m j= Teilungen von [a, b]. Ist S feiner als T (das heißt t j = s ij für geeignete = i < i 1 <... < i m = k), so ist L(f, T ) L(f, S). Beweis. Die Behauptung folgt als Anwendung der Dreiecksungleichung m m i j L(f, T ) = f(t j ) f(t j 1 ) = f(s ν ) f(s ν 1 ) j=1 m i j j=1 ν=i j 1+1 j=1 ν=i j 1+1 f(s ν ) f(s ν 1 ) = L(f, S). Satz 4.8. Sei f : [a, b] R n eine Kurve (a, b R mit a < b). Dann ist f rektifizierbar genau dann, wenn das Supremum s = sup{l(f, T ); T Teilung von [a, b]} endlich ist. In diesem Fall ist L(f) = s. Beweis. Sei f rektifizierbar. Sei ɛ > und T eine Teilung von [a, b]. Zu ɛ wähle man ein δ > wie in Definition 4.6. Dann gibt es eine Teilung S, die feiner ist als T, mit ω(s) < δ. Mit Lemma 4.7 folgt, dass L(f, T ) L(f, S) ]L(f) ɛ, L(f) + ɛ[. Da T eine beliebige Teilung von [a, b] ist, können wir schließen, dass L(f) + ɛ s L(f, S) > L(f) ɛ. Da ɛ > beliebig ist, folgt hieraus, dass s = L(f) ist. Sei umgekehrt das Supremum s < und sei ɛ > beliebig. Dann gibt es eine Teilung S = (s j ) m j= mit L(f, S) > s ɛ 2. Da f nach Satz 3.13 gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > mit δ < min j=1,...,m(s j s j 1 ) so, dass f(t) f(s) < ɛ/4m ist für alle s, t [a, b] mit s t < δ. Sei T = (t i ) k i= eine beliebige Teilung von [a, b] mit ω(t ) < δ und sei I = {i {1,..., k}; ]t i 1, t i [ {s,..., s m } }. Dann gibt es zu jedem i I genau einen Index j i {,..., m} mit s ji ]t i 1, t i [. Mit Lemma 4.7 erhalten wir L(f, S) i=1,...,k i/ I f(t i ) f(t i 1 ) + i I ( f(t i ) f(s ji ) + f(s ji ) f(t i 1 ) ). 28

4 Die Summanden in der zweiten Summe schätzen wir ab nach oben gegen f(t i ) f(t i 1 ) + 2 f(s ji ) f(t i 1 ) und erhalten Insgesamt folgt, dass L(f, S) L(f, T ) + 2(m 1)(ɛ/4m) < L(f, T ) + ɛ 2. s L(f, T ) L(f, S) ɛ 2 > s ɛ. Damit ist gezeigt, dass f rektifizierbar ist und dass L(f) = s ist. Das in Satz 4.8 gebildete Supremum s nennt man auch die totale Variation der Funktion f. Für stetig differenzierbare Kurven lässt sich die Länge als Riemann-Integral der Funktion f berechnen. Satz 4.9. Jede stetig differenzierbare Kurve f : [a, b] R n ist rektifizierbar mit L(f) = b a f (t) dt. Beweis. Sei f : [a, b] R n stetig differenzierbar und sei ɛ >. Da die Funktionen f 1,..., f n gleichmäßig stetig sind, gibt es ein δ > mit f ν(t) f ν(s) < ɛ/( n(b a)) für s, t [a, b] mit s t < δ und ν = 1,..., n. Sei T = (t i ) k i= eine Teilung von [a, b] mit ω(t ) < δ und sei i {1,..., k}. Es genügt zu zeigen, dass die Zahl i = f(t i) f(t i 1 ) f (t) dt t i 1 kleiner als (ɛ/b a) (t i t i 1 ) ist. Nach dem 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Korollar 15.4 in [EAI]) angewendet auf die Funktionen f ν [ti 1,t i] gibt es Zahlen τ 1,..., τ n ]t i 1, t i [ mit ti f(t i ) f(t i 1 ) = (t i t i 1 ) (f ν(τ ν )) n ν=1. Da die Funktion f stetig ist (Beispiel 2.13 (b)), erlaubt es der 1. Mittelwertsatz der Integralrechnung (Satz in [EAI]), eine Zahl τ [t i 1, t i ] zu wählen mit ti t i 1 f (t) dt = f (τ) (t i t i 1 ). Mit Bemerkung 1.6 und der Dreiecksungleichung nach unten folgt die gewünschte Abschätzung i = (f ν(τ ν )) n ν=1 f (τ) (t i t i 1 ) (f ν(τ ν ) f ν(τ)) n ν=1 (t i t i 1 ) n max ν=1,...,n f ν(τ ν ) f ν(τ) (t i t i 1 ) < (ɛ/(b a))(t i t i 1 ). 29

5 Summieren über i = 1,..., k liefert, dass L(f, T ) b a f dt < ɛ ist. Da T eine beliebige Teilung mit ω(t ) < δ ist, folgt die Behauptung. Beispiele 4.1. (a) Seien T >, c R und r >. Die Länge der Schraubenlinie f : [, T ] R 3, f(t) = (r cos t, r sin t, ct) ist gegeben durch L(f) = = T T f (t) dt = T r2 + c 2 dt = T r 2 + c 2. ( r sin t)2 + (r cos t) 2 + c 2 dt (b) (Zykloide) Wir beschreiben die Kurve im R 2 = {(x, y); x, y R}, die ein fester Punkt P auf einem Rad mit Radius r = 1 beim Abrollen auf der x-achse beschreibt. Sei dazu M = (, 1) der Mittelpunkt des Rades zu Beginn und P der Punkt auf dem Rad, der zu Beginn die x-achse berührt. Nachdem das Rad sich um den Winkel t gedreht hat, habe der Punkt P die Koordinaten P (t) = (x(t), y(t)). Dann gilt ( 13 in [EAI]) x(t) = t cos(t π 2 ) = t sin t y(t) = 1 + sin(t π 2 ) = 1 cos t. Die Kurve P : R R 2, P (t) = (t sin t, 1 cos t) ist stetig differenzierbar mit L(P [,2π] ) = P (t) dt = (1 cos t) 2 + sin 2 t dt = Wegen 2 2 cos t = 2 ( 1 cos ( ( 2 2)) t = 2 1 cos 2 t 2 + ) sin2 t 2 = 4 sin 2 ( t 2) folgt L(P [,2π] ) = Definition (Parametertransformationen) 2 sin t 2 dt = 4 cos t 2 2π = 4 ( 4) = 8. Seien [a, b] und [α, β] abgeschlossene Intervalle endlicher positiver Länge in R. 2 2 cos t dt. (a) Eine stetige bijektive Abbildung ϕ : [α, β] [a, b] nennt man auch Parametertransformation. (b) Eine Abbildung wie in (a) heißt C 1 -Parametertransformation, falls ϕ und ϕ 1 stetig differenzierbar sind. Bemerkung (a) Ist ϕ : [α, β] [a, b] eine Parametertransformation, so ist ϕ 1 stetig (Sätze 11.2 und 11.4 in [EAI]). 3

6 (b) Ist ϕ : [α, β] [a, b] eine stetig differenzierbare Parametertransformation, so ist ϕ eine C 1 - Parametertransformation genau dann, wenn ϕ (t) ist für alle t [α, β]. Die Notwendigkeit dieser Bedingung folgt aus der Kettenregel 1 = (ϕ ϕ 1 ) (t) = ϕ (ϕ 1 (t)) (ϕ 1 ) (t) (t [a, b]). Die umgekehrte Implikation folgt aus dem Satz über die Differenzierbarkeit von Umkehrfunktionen (Satz in [EAI]). (c) Ist ϕ : [α, β] [a, b] eine Parametertransformation, so ist (Satz 11.2 in [EAI]) ϕ entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. Im ersten Fall nennt man ϕ orientierungstreu, im zweiten Fall orientierungsumkehrend. Ist ϕ : [α, β] [a, b] eine C 1 -Parametertransformation, so ist (Satz 15.6 in [EAI]) ϕ orientierungstreu genau dann, wenn ϕ (t) > für alle t [a, b] ist, orientierungsumkehrend genau dann, wenn ϕ (t) < für alle t [a, b] ist. Wir definieren das Vorzeichen der Parametertransformation ϕ durch ɛ(ϕ) = 1, falls ϕ orientierungstreu ist, ɛ(ϕ) = 1, falls ϕ orientierungsumkehrend ist. (d) Sei f : [a, b] R n eine stetig differenzierbare Kurve, ϕ : [α, β] [a, b] eine C 1 -Parametertransformation und g : [α, β] R n, g(τ) = f(ϕ(τ)). (i) Die Tangentialvektoren g (τ) = ϕ (τ)f (ϕ(τ)) von g in τ und f in ϕ(τ) unterscheiden sich um die Zahl ϕ (τ) R \ {}. Im Falle g (τ) (äquivalent f (ϕ(τ)) ) gilt g (τ) g (τ) = ϕ (τ) ϕ (τ) f (ϕ(τ)) f (ϕ(τ)) = ɛ(ϕ) f (ϕ(τ)) f (ϕ(τ)). (ii) Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve ändert sich durch Umparamerisieren mit einer C 1 -Parametertransformation nicht L(g) = β α = ɛ(ϕ) g (τ) dt = ϕ(β) ϕ(α) β α f (t) dt = f (ϕ(τ)) ɛ(ϕ)ϕ (τ)dτ b a f (t) dt = L(f). Dabei haben wir Teil (c) benutzt und die Substitutionsregel (Satz 17.1 in [EAI]). (iii) Seien f i : [a i, b i ] R n (i = 1, 2) reguläre Kurven, t i [a i, b i ] Parameter mit f 1 (t 1 ) = f 2 (t 2 ) und ϕ i : [α i, β i ] [a i, b i ] (i = 1, 2) C 1 -Parametertransformationen. Setze τ i = ϕ 1 i (t i ) und g i = f i ϕ i : [α i, β i ] R n 31

7 für i = 1, 2. Dann ist g 1 (τ 1 ) = g 2 (τ 2 ) und für die Schnittwinkel θ von f 1, f 2 in t 1, t 2 und θ von g 1, g 2 in τ 1, τ 2 gilt nach (i) cos θ = g (τ 1 ), g (τ 2 ) g (τ 1 ) g (τ 2 ) = ɛ(ϕ 1)ɛ(ϕ 2 ) f (t 1 ), f (t 2 ) f (t 1 ) f (t 2 ) = ɛ(ϕ 1)ɛ(ϕ 2 ) cos θ. Also ist θ = θ, falls ϕ 1 und ϕ 2 beide orientierungstreu oder orientierungsumkehrend sind, und θ = θ π sonst. Literatur [EAI] Eschmeier, J., Analysis I, Vorlesungsskript, Universität des Saarlandes,