Abbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1

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1 Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U, V R n offene Gebiete, dann nennt man eine Funktion f : U V einen Diffeomorphismus, wenn f bijektiv und stetig differenzierbar ist, und auch f inv stetig differenzierbar ist. Beispiel. f :,, π { x, y ; x < und < y < x } mit ist ein Diffeomorphismus. f r, ϕ r cos ϕ, r sin ϕ Π Π 4 Abbildung.: Das Bild zu Beispiel. Beispiel. f :,, mit f x x 3 ist kein Diffeomorphismus. Man sieht sofort, dass f bijektiv und stetig differenzierbar ist. Jedoch ist f inv nicht differenzierbar in. Das letzte Beispiel zeigt, dass die Tatsache alleine, dass f bijektiv und stetig differenzierbar ist, nicht impliziert, dass auch f inv differenzierbar ist. Jedoch, wenn f und f inv stetig differenzierbar sind und f hat eine höhere Differenzierbarkeit, dann folgt dies auch für f inv. 83

2 84 6. Dezember Woche, Mannigfaltigkeiten I Lemma.3 Seien U, V R n offene Gebiete. Wenn f : U V ein Diffeomorphismus ist und f C k U mit k, dann gilt auch f inv C k V. Beweis. Wenn f und f inv stetig differenzierbar sind, gilt f inv y f f inv y. Sei < m k. Mit Hilfe der Kettenregel, kann man jede Ableitung m-ter Ordnung von f inv zurückführen auf Zusammenstellungen von f m mit m m, von Ableitungen höchstens m-ter Ordnung von f und Ableitungen höchstens m -ter Ordnung von f inv. Mit Induktion nach m folgt die Behauptung für m {,..., k}. Definition.4 Eine Teilmenge M R n heißt m-dimensionale Mannigfaltigheit in R n, wenn zu jedem x M eine offene Umgebung U x R n von x existiert, eine offene Menge V R n existiert und es einem C -Diffeomorphismus f : U x V gibt derart, dass f U x M V R m {,..., }.. Bemerkung.4. Kurzgefasst kann man sagen: Zu jedem x M gibt es lokal auf U x einen Diffeomorphismus f von U x auf V mit.. Bemerkung.4. Wenn man für jedes x so einen Diffeomorphismus f finden kann, für den sogar f C k gilt, nennt man M eine C k -Mannigfaltigkeit. Beispiel.5 Die Sphäre S {x R 3 ; x } ist eine Mannigfaltigkeit. Die Abbildung f : R 3 R 3 definiert durch f x, x, x 3 x, x, x x x 3 ist für x mit x 3 lokal ein Diffeomorphismus und f S R {} Die Differenzierbarkeit von f ist hoffentlich klar. Dann braucht man bloß noch die Invertierbarkeit zu kontrollieren. Nach dem Satz über inverse Funktionen reicht es zu f zeigen, dass i x j : ij fi 3. x j ij 3 Für x mit x 3 und x nimmt man stattdessen: f x, x, x 3 x, x 3, x x x

3 . Heuristik und Mathematik 85 Für x mit x 3 x kann man nehmen. f x, x, x 3 x, x 3, x x x 3 Beispiel.6 Der Kegel K {x R 3 ; x + x x 3} ist keine Mannigfaltigkeit. In einer Ungebung von,, gibt es keinen C -Diffeomorphismus, der K auf nette Art plattschlägt. Wenn man,, aus dem Kegel entfernt, hat man eine Mannigfaltigkeit. Lemma.7 Sei X eine offene Menge in R m und g : X R m R k eine C -Funktion. Dann ist der Graph G {x, gx ; x X} eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R m+k. Beweis. Man nehme f : X R k R m+k R m mit f x, y x, y gx für x X, y R k. Dann gilt fg X {,..., } und j f i ij Im g x i I k.. Heuristik und Mathematik Eindimensionales. Den einfachsten Mannigfaltigkeiten sind wir schon begegnet: den stetig differenzierbaren Kurven. Wenn man eine Kurve beschrieben hat, ist eine der ersten Fragen, die aufkommt, wie lang sie ist. Und wenn die Kurve einen Weg beschreibt, entlang welchen man einer Kraft ausgesetzt ist, möchte man die Arbeit berechnen können. Wir haben uns eine Formel für die Länge einer Kurve gebastelt, die für glatte Bögen das Ergebnis brachte, das man im alltäglichen Leben haben möchte. Definition.8 Für eine stetig differenzierbare Funktion x : [, T ] R n definiert man die Länge als lx : T x t dt. Man möchte, dass diese Länge für eine Gerade [a, b] {x; x ta + t b mit t [, ]} übereinstimmt mit der üblichen eindimensionalen Länge: I [a, b] a b. Approximieren wir eine Kurve mit Geraden dann kommt man bei einer stetig differenzierbaren Kurve tatsächlich im Limes zu einer vernünftigen Antwort. Setze l m x : m k I [x t k+ x t k ], mit t k k T und Schrittweite t T. Wenn x differenzierbar ist, dann gilt für jede m m Komponente von x: x i t k+ x i t k x i t k + θ i,k t + O t

4 86 6. Dezember Woche, Mannigfaltigkeiten I O ist das kleine Größenordnungssymbol von Landau und l m x m k m I [x t k+ x t k ] m k x t k + θ i,k t + O t k m x t k + θ i,k t + O. k x t k+ x t k Weil x und also auch die Komponenten stetig differenzierbar sind, gilt m lim l mx lim x t k + θ i,k t + O m m k T x t dt lx. Beispiel.9 Die Länge der Normalparabel y x zwischen, und, fin man dann wie folgt: Die Kurve kann man beschreiben durch k : [, ] R mit kx x, x. Man hat lx k x dx + dx 4 ln ln Zweidimensionales. Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten in R 3 sind zum Beispiel die Sphäre oder das Paraboloid. Beide lassen sich noch relativ einfach beschreiben. Man kann sich aber auch fragen, wie gross der Oberflächeninhalt eines Teils ist. Auch hier möchten wir zu einer Definition kommen, die zu unserer Vorstellung passt. Dazu werden wir eine Formel ableiten für die Oberfläche des zweidimensionalen Parallellogramms in drei Dimensionen, aufgespannt durch zwei Vektoren. Das kleine Größenordnungssymbol von Landau: Man schreibt fx O x n bei x, wenn lim x x n fx. Es gibt auch das große Größenordnungssymbol von Landau. Man schreibt fx O x n bei x, wenn es M R gibt mit x n fx M in einer Umgebung von x. Beide Symbole werden ähnlich auch für x benutzt. Mit der Substitution sinh t et e t folgt + dx ln 5+ [ 6 et + 4 t 6 e t ln 5 cosh t dt 8 ] ln 5+ ln 5 ln 5+ ln 5 ln 5+ ln 5 + sinh t cosh t dt e t + + e t dt ln ln

5 . Heuristik und Mathematik 87 Α Β Α Β Definition. Seien α, β R n. Dann definieren wir den Flächeninhalt von P {x R n ; x tα + sβ mit s, t [, ]} durch I P α α β β α β.. Wenn das Zweibein einen senkrechten Winkel bilden würde, dann würde man I P α β erwarten. Für nicht rechtwinkelige Zweibeine, kann man β ersetzen durch β β α β α α α. Man erinnere sich, dass α, α β ein rechtwinkeliges α α { } Zweibein, und P x R n ; x tα + s β mit s, t [, ] hat den gleichen Flächeninhalt. Es gilt I P I P α β α β α β α α α α β β α β α β α β + α α α α α α α α β β α β..3 Wenn wir explizite Koordinaten in R 3 verwenden, folgt I 3 P α + α + α 3 β + β + β3 α β + α β + α 3 β 3 α β 3 + α 3β + β α 3 + α β 3 + α β + α β α α 3 β β 3 α β α 3 β 3 α α β β α β 3 α 3 β + α 3 β α β + α β α β. Das letzte kann man auch wie folgt schreiben: α β e I 3 P α β e α β. α 3 β 3 e 3

6 88 6. Dezember Woche, Mannigfaltigkeiten I Definition. Für eine stetig differenzierbare zweidimensionale Kurve auch Fläche genannt x : D R R n definiert man den Oberflächeninhalt durch Vol n x D Bemerkung.. Für n gilt x x x x x x x x x x x x und wir erhalten die bekannte Jacobi-Determinante. d t, s. Beispiel. Das Paraboloid z x + y abgeschnitten bei z. Man beschreibt es zum Beispiel durch k : B R 3 mit k x, y x, y, x + y Weil k x und k y, hat man Vol 3 k B d x, y

7 .3 Integral über eine Mannigfaltigkeit 89 π B B [ + 4x 4xy 4xy + 4y 4x + 4y + d x, y d x, y r π ϕ 4r + 3/] 5 6 π 5. 4r + r dϕdr Beispiel.3 Die Sphäre S {x R 3 ; x } kann man parametrisieren durch s ϕ, ψ cos ϕ sin ψ, sin ϕ sin ψ, cos ψ mit ϕ [, π und ψ [, π. Man fin mit ϕ ψ sin ϕ sin ψ, cos ϕ sin ψ,, cos ϕ cos ψ, sin ϕ cos ψ, sin ψ, dass Vol s [,π [,π [,π [,π π π ϕ ϕ ψ ϕ sin ψ ϕ ψ ψ ψ d ϕ, ψ d ϕ, ψ sin ψdψdϕ π [cos ψ] π 4π. Dieses Ergebnis hat man erwartet..3 Integral über eine Mannigfaltigkeit Wie man bei einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit die Länge und allgemeinere Größen auf dieser Mannigfaltigkeit durch kleine Geraden approximiert, werden auf zwei-und mehr-dimensionale Mannigfaltigkeiten definiert durch eine Riemann-Summe, die mit Hilfe von kleinen ebenen Flächen Parallelepipede und mit stückweise stetigen Funktionen gebil werden: M lim n,l fx dv m lim n pn i q n j D p n i fx i,j n f k y D q n j x k fx i,j n x i+,j n x i,j n x i,j+ n x i,j n x i,j n x k x i,j n t n,i s n,j + O t n,i + O s n,j i,j i k j k ij y dy + f k y lim O + O t n,i s n,j i k j k ij y dy.

8 9 6. Dezember Woche, Mannigfaltigkeiten I Definition.4 Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n, die man mit der C -Funktion k : D R m R n eindeutig beschreiben kann: M k D : {x k y R n ; y D R m }. Dann setzt man M fx dv m D f k y i k j k ij y dy. Die Funktion k ist eine Parametrisierung von M. Die Matrix i k y j k y ij nennt man die erste Fundamentalmatrix zu der Parametrisierung k an der Stelle p ky. Bemerkung.4. Eine Mannigfaltigkeit, die man nicht mit einer Funktion k beschreiben kann, teilt man auf in Teilmannigfaltigkeiten, die mit einer Funktion zu beschreiben sind und addiert diese Integrale für M fx dv m. Bemerkung.4. Man soll noch zeigen, dass diese Definition nicht von der Parametrisierung abhängt. Wenn man zwei verschiedene Parametrisierungen k und h hat, für die es ein Diffeomorphismus Φ gibt derart, dass h k Φ, so folgt das gewünschte Ergebnis aus den Transformationssatz. Denn an der Stelle y gilt: i h j h ij h T h y y T k Φ k Φ Weil y wegen des Kettenregels T k Φ Φ k Φ Φ y denn für Matrizen gilt AB T B T A T und AB C A BC T Φ T k Φ k Φ Φ y für quadratische Matrizen gilt AB A B T Φ T k Φ k Φ Φ y y y Φ y i k j k ij. Φy i k j k ij y Φ y i k j k ij Φy folgt der Term Φ y, welcher nach dem Transformationssatz die beiden Integrale übereinstimmen lässt. Für beliebige C -Parametrisierungen h und k von M ist die Funktion Φ wohldefiniert durch Φ k inv h aber nicht unbedingt ein Diffeomorphismus.