Lie Gruppen, SS 2010 Montag $Id: intro.tex,v /04/13 16:06:37 hk Exp hk $ Es wird etwas dauern bis wir in der Lage sind zu sagen was

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1 $Id: intro.tex,v /04/13 16:06:37 hk Exp hk $ 1 Einleitung Es wird etwas dauern bis wir in der Lage sind zu sagen was Lie Gruppen eigentlich sind. Dagegen ist es sehr wohl möglich bereits einige konkrete Beispiele zu diskutieren, die sich dann später als Liegruppen herausstellen werden. Bevor wir dies tun, soll hier aber noch ein erster vager Eindruck vermittelt werden was Liegruppen sind, wo sie herkommen und warum sie überhaupt von Interesse sind. Es gibt mindestens zwei verschiedene zur Definition einer Liegruppe: 1. Als spezielle topologische Gruppen. Auch was eine topologische Gruppe eigentlich ist wollen wir hier noch nicht genau definieren, es handelt sich um eine Gruppe G bei der man sinnvoll von stetigen Abbildungen reden kann und bei der die Gruppenmultiplikation : G G G und die Inversenbilden 1 : G G stetige Abbildungen sind. Etwa haben wir im R n den Stetigkeitsbegriff der Grundvorlesungen und in der additiven Gruppe (R n, +) sind die Addition und die Inversenbildung x x sicherlich stetige Abbildungen. Ein etwas komplizierteres Beispiel ist die Gruppe GL n R der invertierbaren, reellen n n Matrizen. Wir können uns die Menge der n n Matrizen als R n2 denken, und können damit von Stetigkeit reden. Die Matrixmultiplikation n (ab) ij = a ik b kj (a, b GL n R, 1 i, j n) k=1 ist dann ein quadratisches Polynom in den 2n 2 Einträgen von a und b, also sicherlich stetig. Dass auch die Matrixinversion eine stetige Abbildung, werden wir etwas weiter unten einsehen. 2. Der zweite Zugang besteht darin Liegruppen als eine Verallgemeinerung der verschiedenen Matrixgruppen über R und C einzuführen. Liegruppen wurden im wesentlichen bereits im neunzehnten Jahrhundert eingeführt, und wie bei den meisten derartig alten Begriffen wirken die ursprünglichen Motivationen dieser Begriffe inzwischen etwas obskur. Es gibt drei verschiedene Fragestellungen die letztlich zum Begriff einer Liegruppe geführt haben. 1. Die Grundlagen der Geometrie im Stil des sogenannten Erlanger Programs. Hier werden geometrische Strukturen ausgehend von ihren Automorphismengruppen untersucht. Für geometrische Strukturen mit Stetigkeitseigenschaften sind diese Gruppen dabei Liegruppen. Ähnliche Fragestellungen werden durchaus noch immer untersucht, sind aber keine treibende Kraft für die Lietheorie mehr. 1-1

2 2. Der Versuch eine Galois Theorie für Differentialgleichungungen zu entwickeln. Hier wird eine gewöhnliche oder auch partielle Differentialgleichung mit Hilfe ihrer Automorphismengruppe untersucht. Betrachte etwa die (eindimensionale) Wärmeleitungsgleichung 2 u x = u 2 t. Automorphismen sind Transformationen die Lösungen dieser Gleichung wieder in Lösungen überführen. Eine Lösung der Gleichung ist eine geeignet differenzierbare Funktion u : U R definiert auf einer offenen Menge U R 2, die die Gleichung erfüllt. Identifizieren wir diese mit ihren Graphen, so sind Lösungen gewisse Teilmengen u R 3. Ein Automorphismus ist dann im wesentlichen ein Diffeomorphismus des R 3, der Lösungen in Lösungen überführt. Auch solche Fragen werden durchaus noch betrachtet, sind aber auch kein Hauptgebiet mehr. Während die Wärmeleitungsgleichung eine recht große Automorphismengruppe hat, haben die meisten Differentialgleichungen wenn überhaupt nur sehr wenige Automorphismen. 3. Außerdem wurde die Lietheorie zur Untersuchung der sogenannten klassischen Gruppen verwendet, dies sind die üblichen Matrixgruppen über R und C, also etwa GL n C, SL n C, SO(n) und so weiter. Die sogenannte Lie-Theorie ist seit ihrer Einführung zu einem sehr umfangreichen Gebiet angewachsen, das auch vielfältige Anwendungen in der Mathematik, und sogar einige außerhalb der Mathematik hat. Eine vollständige Übersicht zu geben ist an dieser Stelle natürlich nicht möglich, aber wir wollen jetzt einige ausgewählte Punkte einfach auflisten. 1. Liegruppen treten oft als Automorphismengruppen gutartiger Strukturen auf. Zum Beispiel ist die Gruppe der biholomorphen Transformationen eines Gebiets U C n eine Liegruppe, die Bewegungsgruppe eines symmetrischen Raums ist eine Liegruppe und so weiter. 2. Liegruppe spielen eine wichtige Rolle in der Theorie allgemeiner lokalkompakter Gruppen, diese lassen sich durch Liegruppen approximieren. 3. Liegruppen treten als Gruppen von Symmetrien gewisser physikalischer Theorien auf. 4. Liegruppen dienen oft auch als ein Hilfsmittel zur Konstruktion diverser geometrischer Objekte, wie homogene Räume, symmetrische Räume und so weiter. 5. Die Darstellungstheorie von Matrixgruppen. 6. Außerdem dient die klassische Lie Theorie als Ausgangspunkt von Verallgemeinerungen in viele Richtungen, man kann algebraische Gruppen studieren, unendlichdimensionale Liegruppen, Liegruppen über allgemeineren Körpern, und vieles andere. 1-2

3 Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir jetzt allmähnlich konkreter werden. In diesem einleitenden Paragraphen wollen wir wie schon gesagt noch keine geschlossene Theorie anstreben, sondern einige spezielle Beispiele diskutieren. Die allerersten Gruppen, die einem im Grundstudium begegnen sind neben den symmetrischen und alternierenden Gruppen die Matrixgruppen GL n K und SL n K über einem Körper K. Dabei war GL n K die Gruppe der invertierbaren n n-matrizen über K, und SL n K die Gruppe der n n- Matrizen über K mit Determinante 1. In unserem Kontext interessieren wir uns nur für die beiden speziellen Körper K = R und K = C. Wir wollen diesen Paragraphen daher mit der Untersuchung der Gruppe GL n K, K {R, C} eröffnen. Definitionsgemäß ist GL n K K n n eine Teilmenge der Menge K n n aller n n- Matrizen über K. Letztere Menge können wir uns genausogut als K n2 vorstellen, indem wir die n 2 Einträge einer n n-matrix in irgendeiner festen Reihenfolge hinschreiben. Damit wird K n n zum R n2 im Fall K = R und zum R 2n2 im Fall K = C. In beiden Fällen steht uns somit der ganze in Analysis I und II behandelte Apperat zur Verfügung. Differenzierbarkeit wird meist nur für auf offenen Teilmengen des R n definierte Funktionen eingeführt, und wir machen uns zunächst klar, dass GL n K eine solche offene Menge ist. Satz 1.1: Seien K {R, C} und n 1. Dann ist die Menge GL n K K n n offen. Beweis: Wir betrachten die Abbildung det : K n n K. Aufgrund der sogenannten Leibnitzformel der linearen Algebra, können wir die Determinante explizit als det a = π S n ( 1) π a 1π(1)... a nπ(n) (a K n n ) schreiben, d.h. det ist einfach ein Polynom vom Grad n über K in den n 2 Variablen aus a. Insbesondere ist die Determinante eine stetige Abbildung, und damit ist GL n K = det 1 (K\{0}) als Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Abbildung selbst offen. Unsere Gruppe GL n K ist also eine offene Teilmenge des K n n, wir können also beginnen nach der Differenzierbarkeit von auf GL n K definierten Funktionen zu fragen. Die beiden für uns wichtigsten dieser Funktionen sind die Multiplikation und die Inversenbildung. Satz 1.2: Seien K {R, C}, n 1. Dann gelten: (a) Die Matrixmultiplikation : K n n K n n K n n ist C (d.h. unendlich oft differenzierbar). 1-3

4 (b) Die Matrixinversion 1 : GL n K GL n K ist C. Beweis: (a) Wie schon eingangs festgehalten ist für alle a, b K n n, 1 i, j n die (i, j)-komponente des Produkts ab gerade (ab) ij = n k=1 a ikb kj, also ein quadratisches Polynom in den 2n 2 Variablen aus a und b. Insbesondere ist die Multiplikation damit unendlich oft differenzierbar. (b) Wir verwenden die sogenannte Cramersche Formel der linearen Algebra, die die Inverse einer n n-matrix explizit angibt. Für a GL n K, 1 i, j n gilt (a 1 i+j det aji ) ij = ( 1) det a, wobei a ji aus a durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entsteht. Da die Determinante ein Polynom ist, ist dies eine rationale Funktion, also erst recht C. Wir wollen zunächst versuchen ein paar geometrische Grundtatsachen über GL n K einzusehen. Leider kann man sich diese Gruppe nicht so direkt vorstellen, schon GL 2 R ist ja etwas vierdimensionales. Trotzdem kann man noch so einiges sagen. Ein wichtiger Begriff der Analysisvorlesungen war das Konzept einer zusammenhängenden Menge, und wir wollen uns die Frage stellen ob GL n K eine zusammenhängende Menge ist? Die Antwort wird sich etwas unterscheiden je nachdem ob K = R oder K = C ist. Eine Menge A R n hieß zusammenhängend wenn man sie nicht als disjunkte Vereinigung zweier nicht leerer, in A offener Mengen schreiben kann. Es gibt auch noch einen etwas anderen Zusammenhangsbegriff der manchmal, aber nicht immer, in Analysis II/III eingeführt wird, der sogenannte Wegzusammenhang. Definition 1.1: Eine Menge A R n heißt wegzusammenhängend, wenn es für je zwei Punkte x, y A stets eine stetige Abbildung γ : [0, 1] A mit γ(0) = x und γ(1) = y gibt. Man nennt die Abbildung γ dann oft auch einen Weg von x nach y. Genauso kann man den Begriff auch in metrischen Räumen anstelle von Teilmengen des R n einführen, was wir hier aber noch nicht tun wollen. Wie schon angekündigt, kommen wir nun zur Frage des Zusammenhangs von GL n C und GL n R, und beginnen mit dem einfacheren Fall. Satz 1.3: Für jedes n 1 ist GL n C wegzusammenhängend. Beweis: Als einen ersten Schritt wollen jede Matrix a GL n C durch einen stetigen Weg in GL n C mit der n n Einheitsmatrix 1 verbinden. Dies ist am leichtesten wenn wir uns an die Jordannormalform aus der linearen Algebra erinnern. Sei a GL n C 1-4

5 gegeben. Dann gibt es eine Basis des C n so, dass a in dieser Basis die Form λ 1 ɛ 1 λ 2 ɛ 2 J = λ n 1 ɛ n 1 λ n mit λ 1,..., λ n C\{0}, ɛ 1,..., ɛ n 1 {0, 1} hat. Anders gesagt gibt es eine Matrix T GL n C mit a = T 1 JT. Die Zahlen λ 1,..., λ n C sind dabei die Eigenwerte von a, und da a invertierbar ist sind diese alle von Null verschieden. Die Menge C\{0} ist wegzusammenhängend, und damit gibt es für jedes 1 i n eine stetige Abbildung λ i : [0, 1] C\{0} mit λ i (0) = λ i und λ i (1) = 1. Damit ist für jedes 0 t 1 auch J(t) := λ 1 (t) (1 t)ɛ 1 λ 2 (t) (1 t)ɛ λ n 1 (t) (1 t)ɛ n 1 λ n (t) GL n C, und die hierdurch definierte Abbildung von [0, 1] nach GL n C ist stetig. Da wir die Stetigkeit der Matrixmultiplikation schon eingesehen haben, erhalten wir den stetigen Weg γ : [0, 1] GL n C; t T 1 J(t)T von a = T 1 JT nach T 1 J(1)T = T 1 T = 1. Dies zeigt das wir jede Matrix aus GL n C stetig mit der Einheitsmatrix verbinden können. Dass sich überhaupt je zwei a, b GL n C miteinander verbinden lassen, ist eine einfache Folgerung. Seien nämlich a, b GL n C gegeben. Wie bereits gezeigt gibt es dann eine stetige Abbildung γ : [0, 1] GL n C mit γ(0) = ab 1 und γ(1) = 1. Erneut da die Matrixmultiplikation stetig ist, ist auch δ : [0, 1] GL n C; t γ(t) b stetig mit δ(0) = (ab 1 )b = a und δ(1) = 1 b = b. Hier haben wir an zwei Stellen K = C verwendet. Zum einen um eine Jordannormalform zu haben, und zum anderen für den Wegzusammenhang von K\{0}. Für K = R ist die Lage etwas komplizierter, zum Beispiel ist ja schon GL 1 R = R\{0} nicht zusammenhängend. Tatsächlich ist GL n R für kein n 1 zusammenhängend, wir können nämlich ganz direkt eine Zerlegung von GL n R in zwei disjunkte offene Mengen hinschreiben. Eine Matrix a GL n R hat entweder positive oder negative Determinante, und daher betrachten wir die beiden Mengen GL + n R := {a GL n R det a > 0}, GL n R := {a GL n R det a < 0}. 1-5

6 Dass diese beiden Mengen offen sind, folgt aus der Stetigkeit der Determinante, es sind ja GL + n R = det(r 1 >0 ), GL n R = det(r 1 <0 ) jeweils das Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Abbildung. Weiter ist GL n R die disjunkte Vereinigung von GL + n R und GL n R und diese beiden Mengen sind auch nicht leer. Damit ist GL n R nicht zusammenhängend. Allerdings ist GL n R fast zusammenhängend, die beiden Mengen GL ± n R werden sich gleich als wegzusammenhängend heraustellen. Satz 1.4: Sei n 1. Dann sind GL + n R und GL n R wegzusammenhängend. Beweis: Wir gehen genau wie im Beweis des Satz 3 vor, nur sind die Details diesmal etwas komplizierter. Wir starten wieder mit einer Matrix a GL + n R, und wollen a durch einen stetigen Weg mit 1 verbinden. Diesen Weg werden wir diesmal allerdings nicht auf einen Schlag angeben, sondern ihn stückweise konstruieren. Im R n können wir a durch eine Basistransformation auf die Form J = A 1 ɛ 1 A 2 ɛ ɛt 2 A t 1 ɛ t 1 A t bringen, wobei ɛ 1,..., ɛ t 1 {0, 1} sind, und für jedes 1 i t entweder A i = (a i ) mit a i R\{0} oder ( ) 1 A i = mit a i, b i R, a i 0 ist. Analog zum Beweis des Satz 3 reicht es J in GL + n R mit 1 zu verbinden. Wie im Beweis von Satz 3 können wir die ɛ i durch einen stetigen Weg auf 0 bringen. Für jedes 1 i t für das A i eine 2 2-Matrix ist, können wir ebenso b i = 0 erreichen. Dann verbleibt ( ) A 1 i = a i a i 1-6 b i

7 und der stetige Weg ( a sin t cos t A i(t) = a cos t sin t ), 0 t π 2 verbindet dies mit ( a A i = Dies ist natürlich so gemeint, dass wir Wege der obigen Form in jedes unserer Kästchen einsetzen, und diese dann wieder zu ein großen Matrix zusammensetzen. Damit können wir annehmen, dass J Diagonalform hat. Jedes Element in R\{0} läßt sich durch einen stetigen Weg in R\{0} entweder mit 1 oder mit 1 verbinden, d.h. wir können weiter annehmen, dass auf der Diagonale von J nur Einträge 1 oder 1 stehen. Der bisher konstruierte Weg verläuft ganz in GL n R und beginnt mit einer Matrix mit positiver Determinante. Da die Determinante auf dem Weg niemals Null werden kann, hat nach dem Zwischenwertsatz auch das Ende des Weges, also die Matrix J eine positive Determinante. Wegen det J > 0 ist die Anzahl der 1 Einträge in J gerade, und wir können diese Einträge daher zu Paaren zusammenfassen. Schließlich verbindet man für jedes dieser Paare durch ( ) cos t sin t B(t) :=, 0 t π sin t cos t die Matrix B(0) = 1 mit B(π) = 1. Zusammensetzen derartiger Wege ergibt letztlich einen Weg in GL + n R von der Matrix a zur Einheitsmatrix 1. Der allgemeine Fall läßt sich jetzt wie in der komplexen Situation behandeln. Seien a, b GL + n R oder a, b GL n R. In beiden Fällen ist ab 1 GL + n R und damit existiert eine stetige Abbildung γ : [0, 1] GL + n R mit γ(0) = ab 1 und γ(1) = 1. Durch δ(t) := γ(t) b ergibt sich dann eine stetige Abbildung [0, 1] nach GL + n R oder GL n R mit δ(0) = a und δ(1) = b. 1 ). 1-7