Wir verallgemeinern jetzt den Begriff bilinear zu multilinear. Unser Ziel ist dabei insbesondere die Einführung der sogenannten Determinante.

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1 Determinanten Wir verallgemeinern jetzt den Begriff bilinear zu multilinear Unser Ziel ist dabei insbesondere die Einführung der sogenannten Determinante 361 Definition (alternierend, symmetrisch, schiefsymmetrisch) Seien V und V K Vektorräume, n N, f: V n V, dann heißt f multilinear : f(v,, v i 1,, v i+1,, v ) Hom K (V, V ), alternierend : [ i k: v i = v k f(v,, v ) = ], symmetrisch : π S n : f(v,, v ) = f(v π(),, v π() ), schiefsymmetrisch : f(v,, v ) = sgn(π)f(v π(),, v π() ) 362 Beispiele i) Für n = 2 ist zb f: K 2 K 2 K, (( x x 1 ), ( y y 1 )) x y 1 x 1 y bilinear, alternierend und schiefsymmetrisch Falls char(k) 2 ist, ist f nicht symmetrisch ii) Bei char(k) = 2 fallen die Begriffe symmetrisch und schiefsymmetrisch zusammen iii) Ein für die Anwendungen in der euklidischen Geometrie und Physik sehr wichtiges Beispiel ist (für n = 2) das sogenannte Kreuzprodukt im R 3 : : R 3 R 3 R 3, x x 1, y y 1 x 1y 2 x 2 y 1 x 2 y x y 2 =: x y, x 2 y 2 x y 1 x 1 y es ist bilinear und schiefsymmetrisch 363 Hilfssatz i) Jede alternierende multilineare Abbildung ist schiefsymmetrisch ii) Bei char(k) 2 sind die multilinearen schiefsymmetrischen Abbildungen alternierend Beweis:

2 36 DETERMINANTEN 119 i) f: V n V sei alternierend und multilinear, i n, dann gilt: = f(, v i 1, v i + v i+1, v i + v i+1, v i+2, ) = f(v,, v ) + f(, v i 1, v i+1, v i, v i+2, ) Für die Transposition τ := (i, i + 1) gilt also f(v,, v ) = sgn(τ)f(v τ(),, v τ() ) Da diese Transpositionen aber S n erzeugen, und sgn ein Homormophismus ist, folgt daraus die Behauptung ii) ist klar Von besonderer Bedeutung sind für uns nun gewisse Multilinearformen, also der Fall V = K, und dabei wiederum der Fall n := dim K (V ) 364 Definition (Determinantenformen) Ist n := dim K V N, dann heißt : V n K Determinantenform auf V, kurz: DF (V ), wenn multilinear und alternierend ist Nach 363 sind Determinantenformen also auch schiefsymmetrisch 365 Beispiele : V n K, (v,, v ) K heißt die triviale Determinantenform auf V 362 i) ist eine nicht triviale Determinantenform, 362 iii) ist multilinear, alternierend und schiefsymmetrisch, aber keine Determinantenform, da weder n = 3 noch der Bildraum gleich K ist 366 Hilfssatz Ist DF (V ) und V = K b,, b, dann gilt für v i = ν= v ν,ib ν V : (v,, v ) = (b,, b ) sgn(π)v π(), v π(), = (b,, b ) sgn(π)v,π() v,π() Beweis: Wegen der Multilinearität von folgt zunächst: (v,, v ) = v ϕ(), v ϕ(), (b ϕ(),, b ϕ() ) ϕ:n n Da alternierend ist, ergibt das einmal (v,, v ) = v π(), v π(), (b π(),, b π() ), und weil alternierende Multilinearformen schiefsymmetrisch sind auch noch = (b,, b ) sgn(π)v π(), v π(),,

3 12 insgesamt also die erste der behaupteten Gleichungen Schließlich gilt, wegen der Kommutativität von K, v π(), v π(), = v,π 1 () v,π 1 (), so daß mit sgn(π) = sgn(π 1 ) auch die zweite der behaupteten Gleichungen folgt, denn π π 1 ist eine Bijektion auf jeder Gruppe, insbesondere also auch auf S n 367 Folgerungen i) Jede Determinantenform DF (V ) ist durch den Wert (b,, b ) auf irgendeiner Basisfolge B von V vollständig bestimmt ii) Nichttriviale Determinantenformen sind Vielfache voneinander iii) Zu jeder Basisfolge B von V (b,, b ) = 1 gibt es höchstens ein DF (V ) mit Daß es zu jeder Basisfolge B := (b,, b ) von V genau eine Determinantenform mit (b,, b ) = 1 gibt, folgt damit aus 368 Hilfssatz Die Gleichung B (, v ν,i b ν, ) := sgn(π)v π(), v π(), ν= definiert eine nicht triviale Determinantenform B auf V Für diese gilt B (b,, b ) = 1 Beweis: Die Abbildung B ist offensichtlich multilinear, sie ist auch alternierend: Sei i k und v i = v k Für die Transposition τ := (ik) S n gilt dann zunächst einmal die folgende Zerlegung von S n in Rechtsnebenklassen der alternierenden Gruppe A n = {π S n sgn(π) = 1} : Damit ergibt sich, wegen v i = v k, = S n = A n A n τ B (v,, v ) = B (v τ(),, v τ() ) = sgn(π)v π(),τ() v π(),τ() ρ A n (sgn(ρ)v ρ(),τ() v ρ(),τ() + sgn(ρτ)v ρτ(),τ() v ρτ(),τ() )

4 36 DETERMINANTEN 121 = ρ A n (sgn(ρ)v ρ(), v ρ(), sgn(ρ)v ρ(), v ρ(), ) Jeder dieser Summanden ist aber, ganz unabhängig von char(k), gleich Null Die Gleichung B (b,, b ) = 1 folgt unmittelbar aus der Definition von B Insgesamt ist damit folgendes bewiesen: 369 Folgerung Ist B = (b,, b ) Basisfolge für V, dann gilt i) Die eindeutig bestimmte Determinantenform B mit B (b,, b ) = 1 wird definiert durch B (, v ν,i b ν, ) := sgn(π)v π(), v π(), = ν= sgn(π)v,π() v,π() ii) Jede andere Determinantenform DF (V ) ist Vielfache von B : (v,, v ) = (b,, b ) B (v,, v ) Es soll nun gezeigt werden, wie mit Hilfe einer Determinantenform DF (V ) einem Endomorphismus f End K (V ) ein Skalar, die sogenannte Determinante det(f) von f zugeordnet werden kann, die sehr nützliche Eigenschaften hat 361 Hilfssatz DF (V ) sei nicht trivial, f End K (V ), dann gilt: i) f (v,, v ) := (f(v ),, f(v )) definiert eine Determinantenform f ii) Der Faktor κ f aus f = κ f ist unabhängig von der Wahl der (nicht trivialen) Determinantenform Beweis: i) ist klar ii) Sei = λ, λ, dann folgt aus (b,, b ) = λ (b,, b ) die linke Seite der folgenden Sequenz von Gleichungen: f (b,, b ) = λ f (b,, b ) = λ κ f (b,, b ) = κ f (b,, b ), also gilt auch für : f = κ f

5 Definition (die Determinante eines Endomorphismus) Der Faktor det(f) := f (b,, b ) (b,, b ), B irgendeine Basisfolge von V, irgendeine nicht triviale Determinantenfolge auf V, f End K (V ), heißt die Determinante von f End K (V ) Für diese Zahl gilt also die Gleichung: 3612 det(f) = f 3613 Satz Für f, g End K (V ), n := dim K (V ), κ K gilt: i) f = κ id V = det(f) = κ n, ii) f Aut K (V ) det(f), iii) det(g f) = det(g) det(f) = det(f g), iv) f Aut K (V ) = det(f 1 ) = det(f) 1, v) V = V V 1, f i := f V i, f i (V i ) V i, i =, 1 = det(f) = det(f ) det(f 1 ) Beweis: Sei DF (V ) nicht trivial, B = (b,, b ) eine Basisfolge i) Wegen f = f = κ id V gilt (f(b ),, f(b )) = (κb,, κb ) = κ n (b,, b ) ii) Es ist f Aut K (V ) (f(b, ),, f(b )) Basisfolge iii) Wir haben (f(b ),, f(b )) = det(f) (b,, b ) det(f) det(g f) (b,, b ) = (g(f(b )),, g(f(b )) = det(g) (f(b ),, f(b )) = det(g) det(f) (b,, b ) iv) f Aut K (V ) impliziert f 1 Aut K (V ), die Determinanten dieser beiden Abbildungen sind also, nach ii), von Null verschieden, und wir können wie folgt schließen: 1 = i) det(f f 1 ) = iii) det(f) det(f 1 ) Hieraus folgt det(f) = det(f 1 ) 1

6 36 DETERMINANTEN 123 v) Für g := f id V1 : v = v +v 1 f (v )+v 1 und die entsprechend definierte Abbildung g 1 := id V f 1 gilt f = g g 1, also, nach iii): det(f) = det(g ) det(g 1 ), so daß det(f i ) = det(g i ) zu zeigen bleibt Wir wählen hierzu eine an die direkte Zerlegung V = V V 1 angepaßte Basisfolge B : V = K b,, b r 1, V 1 = K b r,, b, V = K b,, b r, falls V 1, andernfalls ist nichts zu zeigen Hiermit definieren wir (v,, v r 1 ) := B (v,, v r 1, b r,, b ), eine offenbar nicht triviale Determinantenform auf V Für sie gilt det(f ) (b,, b r 1 ) = (f(b ),, f(b r 1 )) = B (f(b ),, f(b r 1 ), b r,, b ) = B (g (b ),, g (b )) = det(g ) B (b,, b ) = det(g ) (b,, b r 1 ), also det(f ) = det(g ) Analog folgt det(f 1 ) = det(g 1 ) Mit Hilfe der Determinante eines Endomorphismus kann nun eine Determinante für jede quadratische Matrix definiert werden Dies geschieht so, daß für jede Basisfolge B von V gilt: det(a) = det(f), falls A = M(B, f, B) Sei deshalb A = (a ik ) = M(B, f, B) K n n Dann gilt det(f) B (b,, b ) = B (f(b ),, f(b )) = B (, a ik b i, ) = sgn(π)a π(), a π(), i= Wir sehen, daß dieser Ausdruck nicht von B und der hierzu passend zu wählenden Abbildung f abhängt, definieren deshalb wie folgt: 3614 Definition (die Determinante einer Matrix) Ist A = (a ik ) K n n, dann sei det(a) := sgn(π) i= a π(i),i = sgn(π) i= a i,π(i) die Determinante der Matrix A 3615 Beispiele

7 124 i) det(a ) = a, ( ) a a ii) det 1 = a a 1 a a 11 a 1 a 1, 11 iii) det a a 1 a 2 a 1 a 11 a 12 = a a 11 a 22 a 1 a 1 a 22 + a 2 a 11 a 2 a 2 a 21 a 22 a a 21 a 12 + a 1 a 21 a 2 + a 2 a 1 a Folgerungen Sind A, B K n n, κ K, dann gilt: i) Ist B Basisfolge, f End K (V ), A = M(B, f, B), so ist ii) det(κ E n ) = κ n, det(f) = det(a) iii) A ist genau dann invertierbar, wenn det(a), iv) Die Abbildung einer Matrix auf ihre Determinante ist ein Homomorphismus (ein Monoidhomomorphismus auf dem Ring K n n der n-reihigen Matrizen, ein Gruppenhomomorphismus auf der Gruppe GL n (K) der invertierbaren n-reihigen Matrizen): v) Ist B invertierbar, dann gilt det(a B) = det(a) det(b) = det(b A), det(bab 1 ) = det(a), dh die Determinante ist invariant unter der Transformation A BAB 1 vi) A ist invertierbar = det(a 1 ) = det(a) 1, vii) det(a) = det( t A) (Die Punkte i) bis v) folgen umnittelbar aus 3613, der sechste Punkt ergibt sich aus ν a π(ν),ν = ν a ν,π 1 (ν)) Für die konkrete Berechnung der Determinante einer Matrix A verwendet man zweckmäßigerweise nicht die oben angegebene explizite Formel, da diese aus n! Summanden besteht Vielmehr geht man in der Regel zu einer Matrix A über, die dieselbe Determinante besitzt, bei der aber sichtlich weniger Summanden zu berechnen sind, da die anderen verschwinden Die möglichen Umformungen ergeben sich aus 3616 mit der Tatsache, daß Determinantenformen multilinear und alternierend sind:

8 36 DETERMINANTEN Satz Die Determinante det(a) ist multilinear, alternierend und schiefsymmetrisch in den Zeilen und in den Spalten von A Es gilt also insbesondere: i) Das Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten ändert am Wert der Determinante nur das Vorzeichen ii) Entsteht A aus A durch Multiplizieren einer Zeile oder einer Spalte mit κ, dann gilt det(a ) = κ det(a) iii) Addition eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen (!) Zeile (Spalte) ändert den Wert der Determinante nicht iv) Ist der Rang von A kleiner als die Zeilenzahl, dann gilt det(a) = 3618 Beispiele i) det a a, a = det a, = a a, folgt unmittelbar aus der (wichtigen) Bemerkung, daß jeder Summand i a π(i),i aus jeder Zeile und Spalte von A genau ein Element enthält, bei oberen oder unteren Dreiecksmatrizen ist also maximal ein einziger Summand (der zu π = id) von Null verschieden ii) Die Vandermondesche Determinante: Für paarweise verschiedene κ i K gilt κ κ 1 κ κ 1 κ κ κ κ det 2 κ 2 1 κ 2 = det κ 2 1 κ κ 1 κ 2 κ κ, κ κ 1 κ κ 1 κ κ n 2 1 κ κ κ n 2 da man von der (i + 1) ten Zeile das κ fache der i ten Zeile abziehen kann, ohne daß sich die Determinante ändert Benutzt man jetzt die explizite Formel, so sieht man, daß (wegen der Nullen in der ersten Spalte) gilt = det κ 1 κ κ 2 κ κ κ κ 2 1 κ κ 1 κ 2 2 κ κ 2 κ 2 n κ κ κ 1 κ κ n 2 1 κ 2 κ κ n 2 2 κ κ κ n κ 1 κ 2 κ = (κ 1 κ )(κ 2 κ ) (κ κ ) det, κ n 2 1 κ n 2 2 κ n 2

9 126 so daß per Induktion nach n folgt: κ κ 1 κ det = κ κ 1 κ denn det ( 1 ) = 1 i<j (κ j κ i ), Zur Vorbereitung eines Satzes über die rekursive Berechnung von Determinanten definieren wir 3619 Definition (Cofaktoren) Sei A = (a ik ) K n n und a i der i-te Zeilenvektor, a k der k-te Spaltenvektor dieser Matrix Wir definieren mit Hilfe der Basisfolge E = (e,, e ) aus den Einheitsvektoren den Cofaktor von a ik durch Cof(a ik ) := det(a ik ), wobei A ik aus A durch Ersetzen der i ten Zeile durch den Einheitsvektor e k und der k-ten Spalte durch den Einheitsvektor e i entsteht: A ik = 1 Es ist leicht einzusehen, daß diese Zahl auch mit Hilfe der Basisfolge E aus den Einheitsvektoren beschrieben werden kann, dh daß gilt 362 Bemerkung Die Cofaktoren lassen sich wie folgt auch mit Hilfe der Determinantenform E ausdrücken: Cof(a ik ) = det(a ik ) = E (a,, a i 1, e k, a i+1,, a ) = E (a,, a k 1, e i, a k+1,, a ) Weiterhin sei die adjungierte Matrix zu A definiert durch Ad(A) := t (Cof(a ik ))

10 36 DETERMINANTEN Satz A Ad(A) = det(a) E n Beweis: (A Ad(A)) ik = a iν Cof(a kν ) ν = E (a,, a k 1, ν a iν e ν, a k+1,, a )) = E (a,, a k 1, a i, a k+1,, a )) = δ ik det(a) 3622 Folgerung Ist A invertierbar, dann gilt A 1 = Ad(A) det(a) 3623 Beispiel ( ) ( ) ( ) det det A := Ad(A) = t (Cof(a 3 4 ik )) = t 4 3 ( ) ( ) 2 1 det det 1 1 ( ) ( ) = t = A 1 = 1 ( ) ( ) = /2 1/2 Als Anwendung auf lineare Gleichungssysteme mit regulärer, dh invertierbarer Koeffizientenmatrix A ergibt sich 3624 Die Cramersche Regel Ist A K n n invertierbar, dann gilt für die Komponenten x i der eindeutig bestimmten Lösung von Ax = b : a a,i 1 b 1 a,i+1 a, 1 x i = det(a) det a, a,i 1 b n a,i+1 a, Beweis: Aus x = A 1 b = 1 det(a) Ad(A) b ergibt sich x i = also die Behauptung 1 det(a) ( ν Cof(a νi b ν )) = E(a,, a i 1, b, a i+1,, a ), det(a) Weiter erhalten wir jetzt die angekündigte Rekursionsformel

11 Der Laplacesche Entwicklungssatz Ist A K n n, dann gilt, für jedes i, k n : det(a) = ν ( 1) i+ν a iν det(a iν) = ν ( 1) ν+k a νk det(a νk), dh man kann det(a) sowohl nach der i ten Zeile als auch nach der k ten Spalte entwickeln A ik bezeichnet dabei die (n 1) (n 1)-Matrix, die man aus A durch Streichen von i-ter Zeile und k-ter Spalte erhält Beweis: Es gilt offenbar det(a) = E (a,, a ) = a νk E (a,, a k 1, e ν, a k+1,, a ) ν a νk Cof(a kν ) = a νk det(a νk ) ν ν Entsprechendes gilt für die Entwicklung nach der i ten Zeile Schließlich gilt noch, wegen der Schiefsymmetrie der Determinante, det(a ik ) = ( 1) i+k det(a ik)