2.9. DER DUALRAUM 115

Transkript

1 2.9. DER DUALRAUM 115 Abbildungsmatrizen und die duale Abbildung Seien nun V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume. Wir fixieren Basen b 1,..., b n von V und c 1,...,c m von W. Seien X 1,..., X n und Y 1,...,Y m die entsprechenden Koordinatensysteme. Nun gibt es zu beliebigen Vektoren x 1,...,x n W genau eine lineare Abbildung ϕ : V W mit ϕ(b j ) = x j für alle j. Ebenso gibt es für beliebige Linearformen α 1,...,α m auf V genau eine lineare Abbildung von W nach V, die Y i auf α i abbildet. Nach Aussage 2.48 bedeutet dies, dass es genau eine lineare Abbildung ϕ : V W mit ϕ (Y i ) = α i (d.h. mit Y i ϕ = α i ) für alle i gibt. Kurz: Anstatt anzugeben, wie eine Basis von V abgebildet wird, kann man auch angeben, wie ein Koordinatensystem von W abgebildet wird. Sei nun M = ((m i,j )) i,j := MC B (ϕ). Sei x V mit Koordinatenvektor x K n, und sei y der Koordinatenvektor von ϕ(x) W (bzgl. der angegebenen Basen). Dann ist y = Mx. Nun ist y i = Y i (ϕ(x)) und x i = X i (x) und somit Y i (ϕ(x)) = m i,j X j (x). j=1 Da x beliebig ist, gilt somit ϕ (Y i ) = Y i ϕ = m i,j X j. j=1 (Mit ϕ = id erhalten wir wieder (2.21).) Wir betrachten nun die Abbildungsmatrix von ϕ bzgl. Y 1,...,Y m und X 1,...,X n. Nach der obigen Formel ist die i-te Spalte dieser Matrix gleich der i-ten Zeile von M. Also ist M B C (ϕ)t = M C B (ϕ ). Diese Formel kann man sich auch wie folgt überlegen: Sei α eine Linearform auf W. Dann haben wir die Identität m B (ϕ (α)) = m B (α ϕ) = m C (α) M B C (ϕ) Kurz: MC B (ϕ) operiert auf Abbildungsmatrizen von Linearformen auf W von rechts (und auf Koordinatenvektoren von V von links). Durch transponieren erhält man: c B (ϕ (α)) = (MC B (ϕ)) t c C (α) Dies bedeutet gerade, dass M B C (ϕ)t = M C B (ϕ ) ist.

2 116 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA Mit dieser Formel und Aussage 2.51 kann man auch einen theoretischeren Beweis von Spaltenrang=Zeilenrang geben. Sei hierfür A K m n. Dann ist also A t gleich der Abbildungsmatrix von A bezüglich der Standarddualbasen. Nun ist per Definition der Spaltenrang von A gleich Dim(Bild(Λ A )). Ferner ist der Zeilenrang von A gleich Dim(Bild(Λ A t)) = Dim(Bild(Λ A )). Somit ist nach Aussage 2.51 der Spaltenrang von A gleich dem Zeilenrang von A Determinanten Zur Motivation der Definition der Determinante nehmen wir uns die folgende Aufgabe vor: Gegeben x 1,...,x n R n wollen wir definieren, was das Volumen des Spats {c 1 x c n x n 0 c j 1 für alle j = 1,..., n} ist. Hierzu suchen wir eine Abbildung Vol : (R n ) n R 0, so dass für alle x 1,...,x n R n Vol(x 1,...,x n ) R unserer intuitiven Vorstellung des Volumens des Spats entspricht. Wir stellen die folgenden naheliegenden Forderungen (wobei x 1,..., x n beliebige Vektoren aus R n sind, c R und i, j = 1,...,n mit i j ist). Vol1 Vol(x 1,...,x j 1, cx j, x j+1,...,x n ) = c Vol(x 1,...,x j, x j+1,...,x n ) Vol2 Vol(x 1,...,x j 1, x j + x i, x j+1,...,x n ) = Vol(x 1,...,x n ) Vol3 Vol(e 1,..., e n ) = 1 Eine andere Motivation der Determinante kann man über beliebigen Körpern formulieren: Wir suchen eine Abbildung, die jeder Matriz ein Skalar zuordnet, so dass die Matriz genau dann invertierbar ist, wenn dieses Skalar 0 ist. Außerdem soll die Abbildung noch einige weitere angenehme Eigenschaften bzgl. elementaren Spaltentransformationen haben. Sei also K ein Körper und n N. Wir suchen eine Abbildung Det : K n n K, die die folgenden Eigenschaften hat: Det1 Det2 Sei A K n n, und sei A eine Matrix, die aus A durch Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar c hervorgeht. Dann gilt Det(A ) = c Det(A). Sei A K n n, und sei A die Matrix, die aus A durch Addition von Spalte i zu Spalte j (mit i j) hervorgeht. Dann gilt Det(A) = Det(A ).

3 2.10. DETERMINANTEN 117 Det3 Det(I n ) = 1. (Beachten Sie, dass aber für c = 0 die Transformation in Det1 keine elementare Spaltentransformation ist.) So eine Abbildung K n n K heißt eine Determinantenabbildung. Wir werden sehen, dass es genau eine Determinantenabbildung K n n K gibt. Wir werden auch sehen, dass diese Determinantenabbildung die Eigenschaft hat, dass Det(A) = 0 genau dann wenn Rang(A) < n, was die ursprüngliche Motivation war. Ferner werden wir dann auch sehen, dass es genau eine Abbildung Vol : (R n ) n R mit den Eigenschaften Vol1, Vol2 und Vol3 gibt (Aussage 2.62). Notation Wenn eine Abbildung f : K m n K gegeben ist, erhält man mittels (x 1,...,x n ) f(x 1 x n ) eine Abbildung (K m ) n K. Wir bezeichnen diese Abbildung wieder mit f, d.h. wir setzen f(x 1,...,x n ) := f(x 1... x n ). Umgekehrt identifizieren wir Abbildungen (K m ) n K mit Abbildungen K m n K. Eindeutigkeit und Existenz einer Determinantenabbildung Wir fixieren nun eine Determinantenabbildung d : K n n K und leiten einige Eigenschaften her. Mittels dieser Eigenschaften werden wir dann insbesondere zeigen, dass es höchstens eine Determintenabbildung K n n K gibt. Danach werden wir eine dieser Eigenschaften als Ansatz für eine Definition benutzen und zeigen, dass die so definierte Abbildung wirklich eine Determinatenabbildung ist. Es ist leicht zu beschreiben, wie sich d(a) (mit A K n n ) unter elementaren Spaltentransformationen angewandt auf A ändert. Wir kennen schon das Transformationsverhalten unter Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar c 0. Außerdem haben wir: Lemma 2.52 Sei A K n n und sei A eine Matrix, die aus A durch Anwendung einer elementaren Spaltentransformation hervorgeht. Dann gilt: a) Wenn A aus A durch Vertauschen von zwei Spalten hervorgeht, gilt d(a ) = d(a). b) Wenn A aus A durch Addition des c-fachen einer Spalte zu einer anderen Spalte hervorgeht, gilt d(a ) = d(a).

4 118 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA Beweis. Wir zeigen zuerst die zweite Aussage. Sei A die Matrix, die man aus A durch Addition des c-fachen von Spalte i zu Spalte j erhält. Für c = 0 ist nichts zu zeigen, sei also c 0. Wir haben c d(a) Det1 = d(a 1,...,a i 1, ca i, a i+1,...,a j 1 ) Det2 = d(a 1,...,a i 1, ca i, a i+1,...,a j 1, a j + ca i, a j+1, a n ) Det1 = c d(a ), und hieraus folgt die Behauptung. (Wir haben hier implizit angenommen, dass i < j, aber das hat nur notationelle Gründe.) Die erste Behauptung folgt, da das Vertauschen von zwei Spalten durch wiederholte Addition und Subtraktion einer Spalte, gefolgt mit Multiplikation einer Spalte mit 1, dargestellt werden kann (Mit anderen Worten: Man braucht Umformung (II) im Gauß-Algorithmus eigentlich gar nicht.) In der Tat, die Vertauschung von Spalten i und j kann man so realisieren: - Man addiert Spalte i zu Spalte j. (Dann steht in Spalte j a i + a j.) - Man subtahiert Spalte j von Spalte i. (Dann steht in Spalte i a i (a i +a j ) = a j.) - Man addiert Spalte i zu Spalte j. (Dann steht in Spalte j a i.) - Man multipliziert Spalte i mit 1. Bemerkung Zusammen mit der Eigenschaft d(i n ) = 1 folgt aus dem obigen Lemma insbesondere, dass d(e) für eine Elementarmatrix E durch Axiome Det1, Det2, Det3 eindeutig festgelegt ist und dass immer d(e) 0 gilt. Wenn man beachtet, dass eine elementare Spaltentransformationen zur Multiplikation mit einer Elementarmatrix von rechts korrespondiert, erhält man aus dem obigen Lemma sofort: Lemma 2.53 Sei A K n n eine beliebige Matrix, und sei E K n n eine Elementarmatrix. Dann gilt d(ae) = d(a) d(e). Per Induktion nach k folgt: Lemma 2.54 Sei A K n n beliebig, und seien E 1,...,E k n n-elementarmatrizen. Dann gilt d(ae 1 E k ) = d(a) d(e 1 ) d(e k ). Aussage 2.55 Es gibt höchstens eine Determinantenabbildung d : K n n K, und diese erfüllt d(a) = 0 genau dann wenn Rang(A) < n. Beweis. Sei nach wie vor d : K n n K eine Determinantenabbildung, und sei A K n n.

5 2.10. DETERMINANTEN 119 Sei zunächst Rang(A) = n, also A invertierbar. Dann gibt es Elementarmatrizen E 1,...,E k mit A = E 1 E k (siehe Satz 2.3). Dann gilt nach dem obigen Lemma d(a) = d(e 1 ) d(e k ). Nun ist die Determinante einer Elementarmatrix eindeutig festgelegt und 0 (s.o.). Damit ist auch die Determinante von A eindeutig festgelegt und 0. Sei nun Rang(A) < n. Dann gibt es also eine Matrix Ã, die eine Nullspalte enthält (z.b. eine Matrix in Spaltenstufenform) sowie Elementarmatrixen E 1,..., E k, so dass A = ÃE 1 E k. Nach Det1 ist d(ã) = 0 und somit d(a) = d(ã) d(e 1) d(e k ) = 0. Die Beweismethode hat einige recht einfache Konsequenzen: Aussage 2.56 Für A K n n gilt d(a) = d(a t ). Beweis. Offensichtlich ist für eine Elementarmatrix E d(e) = d(e t ). Wenn Rang(A) = n ist, gibt es Elementarmatrizen E 1,...,E k mit A = E 1 E k. Damit gilt d(a t ) = d(ek t Et 1 ) = d(et k ) d(et 1 ) = d(e 1) d(e k ) = d(a). Wenn Rang(A) < n, ist auch Rang(A t ) = Rang(A) < n. Damit gilt d(a t ) = 0 = d(a). Bemerkung Sei wiederum A K n n. Aufgrund der obigen Aussage hat die Determinantenfunktion d die folgenden Eigenschaften bezüglich Transformation von A mittels elementarer Zeilenoperationen: Sei A eine Matrix, die aus A durch Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar c hervorgeht. Dann gilt d(a ) = c d(a). Sei A eine Matrix, die aus A durch Vertauschen von zwei Zeilen hervorgeht. Dann gilt d(a ) = d(a). Sei A die Matrix, die aus A durch Addition des c-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile hervorgeht. Dann gilt d(a ) = d(a). Aussage 2.57 (Multiplikativität) Für A, B K n n gilt d(ab) = d(a) d(b). Beweis. Sei zunächst Rang(A) = Rang(B) = n. Dann gibt es Elementarmatrizen E 1,...,E k und E k+1,..., E l mit A = E 1 E k und B = E k+1 E l. Damit ist d(ab) = d(e 1 E l ) = d(e 1 ) d(e l ) = d(a) d(b). Sei nun der Rang (mindestes) einer der beiden Matrizen < n. Wie das folgende Lemma zeigt, ist dann auch Rang(AB) < n. Damit gilt d(ab) = 0 = d(a) d(b). Lemma 2.58 Sei A K m n und B K n r. Dann ist Rang(AB) min{rang(a), Rang(B)}.

6 120 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA Beweis. Wir benutzen die Definition des Rangs als Spaltenrang. Der Spaltenraum von AB ist gleich Bild(Λ AB ) = Λ AB (K r ) = Λ A (Λ B (K r )). Die Dimension dieses Raumes ist min{dim(λ A (K n )), Dim(Λ B (K r ))} = min{rang(a), Rang(B)} (siehe Aussage 2.20). Eine Folgerung von Aussage 2.57 ist wiederum: Aussage 2.59 Die Determinantenabbildung d ist ein Homomorphismus von Monoiden von (K n n, ) nach (K, ). Insbesondere ist d : (K n n ) K ein Homomorphismus von Gruppen. Beweis. Die erste Aussage ist eine Zusammenfassung der obigen Aussage und des Axioms Det3: d(i n ) = 1. Die zweite Aussage folgt sofort aus der ersten. Aussage 2.60 (Multilinearität) Es gilt für alle j = 1,...,n und alle x 1,..., x j 1, x j+1,...,x n K n : Die Abbildung ist linear. d : K n K, x d(x 1,..., x j 1, x, x j+1,...,x n ) Beweis. Wir müssen nur zeigen, dass stets d(x 1,...,x j 1, x+y, x j+1,...,x n ) = d(x 1,...,x j 1, x, x j+1,...,x n ) + d(x 1,...,x j 1, y, x j+1,..., x n ) gilt. Wir wissen, dass n + 1 Vektoren in K n immer linear abhängig sind. Wir haben also c, d K und c 1,..., c j 1, c j+1,...,c n K, nicht alle = 0, mit cx + dy + k j c k x k = 0. Wenn c = d = 0 ist, sind die Vektoren x k (k j) linear abhängig. Damit haben alle drei Matrizen, die hier betrachtet werden, Rang < n. Somit gilt die Behauptung. Sei also c 0 oder d 0. Wie können o.e. annehmen, dass d 0 und sogar d = 1. Dann ist also y = cx + k j c kx k, und wir haben nun d(x 1,...,x j 1, y, x j+1,...,x n ) = d(x 1,...,x j 1, cx + k j c kx k, x j+1,...,x n ) = d(x 1,...,x j 1, cx, x j+1,..., x n ) = c d(x 1,...,x j 1, x, x j+1,..., x n ). Nach demselben Argument ist d(x 1,...,x j 1, x + y, x j+1,..., x n ) = d(x 1,...,x j 1, (1 + c)x + k j c kx k, x j+1,..., x n ) = (1 + c) d(x 1,...,x j 1, x, x j+1,...,x n ). Aus der Verbindung dieser beiden Identitäten folgt die Behauptung. Sei nun n 2.

7 2.10. DETERMINANTEN 121 Notation Sei für A K n n und i, j = 1,...n A i,j diejenige n 1 n 1- Matrix, die entsteht, wenn man in A die i-te Zeile und die j-te Spalte ( streicht. ) 1 Betrachten wir die Abbildung K (n 1) (n 1) K, A d( ). A Man sieht leicht, dass dies eine Determinantenabbildung auf K (n 1) (n 1) ist. Wir bezeichnen diese Abbildung mit d n 1, und die wir setzen d n := d. Aussage 2.61 (Laplacescher Entwicklungssatz) Sei A K n n. Dann gilt für alle j = 1,..., n: d n (A) = ( 1) i+j a i,j d n 1 (A i,j ) (Entwicklung nach Spalte j) i=1 Analog gilt für alle i = 1,..., n: d n (A) = ( 1) i+j a i,j d n 1 (A i,j ) (Entwicklung nach Zeile i) j=1 Beweis. Die beiden Aussagen sind äquivalent da d n (A) = d n (A t ) und d n 1 (A) = d n 1 (A t ). Wir zeigen die Entwicklung nach Spalte j. Aufgrund der Multilinearität ist d(a) = d(a 1,...,a j 1, n i=1 a i,j e i, a j+1,...,a n ) = n i=1 a i,j (a 1,...,a j 1, e i, a j+1,...,a n ). Es reicht also zu zeigen, dass d n (a 1,...,a j 1, e i, a j+1,...,a n ) = ( 1) i+j d n (A i,j ). Sei zunächst 1 a 1,2 a 1,n 0 a 2,2 a 2,n A = (e 1 a 2 a n ) = a n,1 a n,n a 2,2 a 2,n Dann ist d n (A) = d n ( ) aufgrund von Spaltentransformationen, und letzteres ist per Definition gleich d n 1 (A 1,1 ). Somit ist die... 0 a n,1 a n,n Formel für solche Matrizen richtig.

8 122 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA Sei nun A = (e i a 2 a n ) eine Matrix wie oben, nur das die Eins in in der i-ten Zeile steht. Wieder räumen wir zunächst die Einträge rechts der 1 aus (Addition von Vielfachen der ersten Spalte zu anderen Spalten). Wir führen hintereinander die Zeilentransformationen Vertauschen der Zeile i mit Zeile i 1, Vertauschen der Zeile i 1 mit Zeile i 2,..., Vertauschen der Zeile 2 mit Zeile 1 durch und nennen das Ergebnis A. Dann ist A 1,1 = A i,1 und ( ) 1 0 A =. Damit ist d 0 A n (A) = ( 1) i 1 d n (A ) = ( 1) i+1 d n 1 (A i,1 ). i,1 Die Formel ist also wiederum richtig. Sei nun A = (a 1 a j 1 e i a j+1 a n ). Wir gehen analog vor und räumen zuerst die Einträge rechts und links vom Eintrag mit Index (i, j) aus. Dann vertauschen wir der Reihe nach die Spalte j mit der Spalte j 1,..., die Spalte 2 mit der Spalte 1. ( Dann vertauschen ) wir noch die Zeilen 1 0 wie oben. Wir erhalten die Matrix. Wir haben nun d 0 A n (A) = i,j ( 1) i 1+j 1 d n 1 (A i,j ) = ( 1) i+j d n 1 (A i,j ), abermals die richtige Formel. Wir kommen nun zum Hauptresultat über Determinantenabbildungen. Satz 2.7 Sei K ein Körper und n N. Dann gibt es genau eine Determinantenabbildung K n n K. Beweis. Die Eindeutigkeit haben wir schon gezeigt. Motiviert durch die obige Entwicklung nach Zeilen (die ja für jede Determinantenabbildung gelten muss) definieren wir induktiv für jeden Körper K: Det 1 (a) := a für a K, Det n (A) := ( 1) 1+j a 1,j Det n 1 (A 1,j ) j=1 für n N und A K n n. Ich behaupte, dass für alle n N Det n eine Determinantenabbildung ist. Wir zeigen dies nach Induktion über n. Der Induktionsanfang n = 1 ist trivial. Wir setzen also voraus, dass die Behauptung für n richtig ist und zeigen die Behauptung für n + 1. Beachten Sie, dass wir dann insbesondere alle oben bewiesenen Eigenschaften für Determinantenabildungen für Det n benutzen dürfen. Offensichtlich ist Det n+1 (I n+1 ) = 1 Det(I n ) = 1. Sei A K (n+1) (n+1), j = 1,..., n + 1 und A diejenige Matrix, die aus A durch Multiplikation der j-ten Spalte mit c K hervorgeht. Dann ist Det n (A 1,k ) = c Det n(a 1,k ) für alle k j. Damit gilt Det n+1 (A ) = n+1 j=1 ( 1)1+j c a 1,j Det n (A 1,j ) = c Det n+1 (A).

9 2.10. DETERMINANTEN 123 Sei nun A K (n+1) (n+1), und seien i, j = 1,...,n + 1 mit i j. Sei A diejenige Matrix, die aus A durch Addition der i-ten Spalte zur j-ten Spalte hervorgeht. Für k i, j entsteht dann A 1,k auch aus A 1,k, indem eine Spalte zu einer anderen addiert wird. Wenn wir nun anwenden, dass Det n eine Determinantenabbildung ist, erhalten wir, dass Det n (A 1,k ) = Det n(a 1,k ) für alle k i, j. Außerdem ist dies offensichtlich auch für k = j richtig, denn diese Spalte wird ja gerade gestrichen. Wir untersuchen nun Det n (A 1,i ). Es ist Det n(a 1,i ) = Det n(a 1,i )+Det n (B), wobei B aus A hervorgeht, indem man zuerst die Spalten i und j vertauscht und dann die Spalte i streicht. Also hat B bis auf Reihenfolge dieselben Spalten wie die Matrix A 1,j. Genauer geht B aus A 1,j durch j i 1 Spaltenvertauschungen hervor. Damit ist also Det n (A 1,i ) = Det n(a 1,i ) + ( 1) j i 1 Det n (A 1,j ) = Det n (A 1,i ) + ( 1) j i+1 Det n (A 1,j ). Es folgt: Det n+1 (A ) Det n+1 (A) = ( 1) 1+i a 1,i Det n (A 1,i) + ( 1) 1+j a 1,j Det n (A 1,j ) ( 1) 1+i a 1,i Det n (A 1,i ) ( 1) 1+j a 1,j Det n (A 1,j ) = ( 1) 1+i a 1,i Det n (A 1,i ) + ( 1) 1+i ( 1) j i+1 a 1,i Det n (A 1,j ) = 0 +( 1) 1+j a 1,j Det n (A 1,j ) + ( 1) 1+j a 1,i Det n (A 1,j ) ( 1) 1+i a 1,i Det n (A 1,i ) ( 1) 1+j a 1,j Det n (A 1,j ) Notation Im Folgenden schreiben wir Det statt Det n. Eine andere übliche a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n Schreibweise für Det(.. ) ist... a n,1 a n,n a n,1 a n,n Hier noch die zu Beginn dieses Abschnitts versprochene Aussage: Aussage 2.62 Es gibt genau eine Abbildung Vol : (R n ) n R, die Vol1, Vol2 und Vol3 erfüllt. Beweis. Die Existenz ist klar: Die Funktion (R n ) n R, (x 1,...,x n ) Det(x 1,...,x n ) erfüllt die Eigenschaften.

10 124 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA Sei anderseits Vol eine Funktion mit den angegebenen Eigenschaften. Sei { 1, falls ǫ : (R n ) n Det(x1,...,x R, (x 1,...,x n ) n ) 0 1, falls Det(x 1,...,x n ) < 0 Dann ist die Funktion (R n ) n R, (x 1,..., x n ) ǫ(x 1,...,x n ) Vol(x 1,...,x n ) eine Determinantenfunktion. Also ist ǫ Vol = Det bzw. Vol = ǫ Det. Die Formel von Leibniz Man kann die Spalten- / Zeilnentwicklungen der Determinante verwenden, um eine nicht-rekursive Formel herzuleiten. Es ergibt sich: n = 2. Es ist Det(A) = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,2. a n = 3. Es ist Det(A) = a 2,2 a 2,3 1,1 a 3,2 a 3,3 a 2,1 a 1,2 a 1,3 a 3,2 a 3,3 +a 3,1 a 1,2 a 1,2 a 2,2 a 2,3 = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 3,1 a 2,2 a 1,3 a 1,1 a 3,2 a 2,3 a 2,1 a 1,2 a 3,3. Dies ist die so genannte Regel von Sarrus. Für beliebiges n benötigen wir zunächst eine Definition: Definition / Bemerkung Wir ordnen jeder Permutation π S n die entsprechende Permutationsmatrix M π := (e π(1),...,e π(n) ) K n n zu. Man sieht leicht, dass diese Matrix immer invertierbar ist, und dass die Abbildung S n (K n n ) ein Gruppenhomomorphismus ist. Wir betrachten nun Permutationsmatrizen über Q und definieren nun das Signum von π S n wie folgt: sign(π) := Det(M π ) Q. Da auch Det : (Q n n ) Q ein Gruppenhomomorphismus ist, ist also sign : S n Q ein Gruppenhomomorphismus. Eine Transposition ist per Definition eine Permutation, die genau zwei Elemente vertauscht und die anderen Elemente fest lässt. Man sieht leicht, dass jede Permutation ein Produkt von Transpositionen ist (= aus Transpositionen durch Verknüpfung hervorgeht). (Beweisen Sie dies per Induktion!) Wenn π eine Transposition ist, ist Det(π) = 1 per Definition. Damit gilt: Sei π = π 1 π k, wobei die π i Transpositionen sind. Dann ist sign(π) = ( 1) k. Insbesondere ist also sign(π) = ±1. Man sieht auch: Wenn π 1 π k = σ 1 σ l mit Transpositionen π i und σ i, dann sind entweder k und l beide gerade oder beide sind ungerade. Wir haben nun:

11 2.10. DETERMINANTEN 125 Aussage 2.63 (Formel von Leibniz) Sei A K n n. Dann ist Det(A) = σ S n sign(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n). Beweis. Es ist aufgrund der Multilinearität der Determinantenfunktion Det(A) = Det( i 1 =1 i 2 =1 a i,1 e i,..., i=1 a i,n e i ) = i=1 a i1,1 a in,n Det(e i1,..., e in ) = i n=1 a i1,1 a in,n Det(e i1,...,e in ), i wobei i alle Tupel in {1,...,n} n, d.h. alle Abbildungen von {1,..., n} nach {1,..., n} durchläuft. (Man nennt i dann einen Multiindex auf der Indexmenge {1,..., n} mit Werten in {1,..., n}.) Wenn nun i keine Bijektion ist, ist Det(e i1,...,e in ) = 0. Wir haben also Det(A) = σ S n a σ(1),1 a σ(n),n Det(e σ(1),...,e σ(n) ) = σ S n sign(σ) a σ(1),1 a σ(n),n. Wenn man nun beachtet, dass Det(A) = Det(A t ), erhält man die gewünschte Formel. Bemerkung Diese Formel hat ihren Wert in theoretischen Betrachtungen. Für die algorithmische Berechnung der Determinante ist sie aber katastrophal: Mittels dieser Formel benötigt man (n 1) n! Mltiplikationen in K und n! 1 Additionen in K. Wenn man mit elementaren Spalten- und Zeilenumformungen rechnet, benötigt man nur C n 3 Körperoperationen für eine Konstante C > 0, genau wie beim Gauß-Algorithmus. Die adjunkte Matrix und die Cramersche Regel Definition Für A K n n definieren wir die adjunkte Matrix als (Beachten Sie die Rolle der Indices!) A # := (( 1) i+j (Det(A j,i ))) i,j=1,...n.

12 126 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA Sei nun A K n n und b K n, und sei c := A # b. Dann ist c i = ( 1) i+j Det(A j,i ) b j = Det(a 1,...,a i 1, b, a i+1,, a n ). (2.23) j=1 aufgrund der Formel für die Entwicklung nach Spalten. Also: Man erhält c i, indem man die i-te Spalte von A durch b ersetzt und die Determinante dieser Matrix bildet. (Beachten Sie wieder die unkonventionelle Rolle des Index i!) Somit ist insbesondere A # a j = Det(A) e j. (Wenn man die i-te Spalte von A durch a j ersetzt und dann die Determinante bildet, erhält man Det(A) δ i,j.) Damit gilt A # A = Det(A) I n. (2.24) Da A beliebig war, gilt auch (A t ) # A t = Det(A t ) I n = Det(A) I n. Nun ist (A t ) # = (( 1) i+j (Det(A i,j ))) i,j=1,...n = (A # ) t. Damit folgt: (A A # ) t = (A # ) t A t = (A t ) # A t = Det(A) I n Wenn man nochmal transponiert, erhält man A A # = Det(A) I n. Wenn A invertierbar ist, kann man dies natürlich auch durch A 1 = 1 Det(A) A# ausdrücken. Wir geben uns nun eine invertierbare Matrix A K n n und einen Vektor b K n vor. Dann wissen wir, dass das LGS A X 1. X n = b genau eine Lösung hat; sei diese x. Wenn wir beide Seiten von (2.24) von rechts mit x multiplizieren erhalten wir A # b = Det(A) x, also x = Wenn wir (2.23) beachten, erhalten wir: 1 Det(A) A# b. x i = Det(a i,, a i 1, b, a i+1,, a n ) Det(A) (2.25) Dies ist die so genannte Cramersche Regel. Algorithmisch ist diese Formel aber kein Fortschritt gegenüber dem Gauß- Algorithmus.

13 2.10. DETERMINANTEN 127 Die Determinante eines Endomorphismus Wir geben uns jetzt einen endlichen erzeugten K-Vektorraum V und einen Endomorphismus ϕ : V V vor. Wir wollen die Determinante von ϕ definieren. Hierzu wählen wir uns (irgendwie) eine Basis b 1,...,b n von V und betrachten die Determinante der Abbildungsmatrix M B (ϕ) von ϕ bzgl. B. Ich behaupte, dass diese Determinante nicht von der Wahl der Basis abhängt. Sei hierzu B eine andere Basis von V, und sei S die Koordinatenmatrix von B bezüglich B. Dann gilt nach (2.20) und Aussage 2.59: Det(M B (ϕ)) = Det(S 1 M B (ϕ) S) = Damit können wir definieren: Det(S 1 ) Det(M B (ϕ)) Det(S) = Det(M B (ϕ)) Definition Die Determinante von ϕ ist die Determinante der Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich irgendeiner Basis von V. Bezeichnung: Det(ϕ).