a a a a a a a a a a a a a a a

Transkript

1 7 Lineare lgebra 7.1 Matrizen a a a k a a a a a a a a a a a a a n k 2n i1 i2 in m1 m2 mk mn i-te Zeile m Zeilen n Spalten k-te Spalte a : Matrixelement i 1,2,...,m k 1,2,...,n i: Zeilenindex k: Spaltenindex m: nzahl der Zeilen n: nzahl der Spalten

2 nmerkungen 1. Eine Matrix ist ein geordnetes Zahlenschema und besitzt daher keinen Wert 2. Schreibweisen für eine Matrix:, (m,n), (a ), (a ) (m,n) 3. er Platz, den ein Matrixelement a innerhalb der Matrix einnimmt, ist durch die beiden Indizes i und k eindeutig festgelegt. 4. Sonderfall m n ie Matrix wird als n - reihige, quadratische Matrix bezeichnet. Beispiel: Zeilen a 11 3 a 12 2 a 13 7 a Spalten a 21-2 a 22 6 a 23 0 a 24 5 Spezielle Matrizen Nullmatrix 0 Spaltenmatrix Spaltenvektor a1 a 2 ( m, 1) : a m Zeilenmatrix ( ) ( 1, n) a1, a2,..., a n

3 7.1.1 Transponierte einer Matrix Man erhält die Transponierte T der Matrix, wenn in einer Matrix Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden. 1. a T a ki für alle i und k 2. Ist vom Typ (m,n) so ist T vom Typ (n,m) maliges Transponieren führt zur usgangsmatrix ( T ) T T Quadratische Matrizen a11 a12 a1 a21 a22 a2 a a a n1 n2 nn n n Nebendiagonale Hauptdiagonale Hauptdiagonale: Nebendiagonale: von links oben nach rechts unten von rechts oben nach links unten

4 iagonalmatrix: a a a nn Einheitsmatrix: Sonderfall der iagonalmatrix reiecksmatrix: E lle Elemente liegen unter - oder oberhalb der Hauptdiagonalen untere reiecksmatrix obere a a21 a22 0 a a a n1 n2 nn oder a11 a12 a1 0 a22 a2 0 0 a n n nn

5 Symmetrische Matrix: a a ki spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen Gleichheit von Matrizen B a b

6 7.1.4 Rechenoperationen von Matrizen ddition / Subtraktion ( ) und B ( ) a b C + B ( c ) c a + b Summe B ( d ) d a b ifferenz Multiplation einer Matrix mit einem Skalar λ λ ( a ) ( λ a )

7 Multiplation von Matrizen C B C Zeilenzahl ( 2, 3) ( 3, 4) ( 2, 4) Spaltenzahl B C ( m, n) ( n, p) ( m, p) C B ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl von mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt ( ) ( 1 ( 1) ( 1)) ( ) ( ) ( ( 1) ) ( 0 ( 1) + ( 1) ( 1)) ( ( 1) ) ( ( 1) ) C

8 as Matrizenelement c des Matrizenproduktes B ist das Produkt aus dem i - ten Zeilenvektor von und k - ten Spaltenvektor von B C Zeilenvektor von ( 1 5 6) 3. Spaltenvektor von B C Rechengesetze ssoziativgesetz: (BC) (B)C istributivgesetze: (B+C) B+BC (+B)C C+BC Weitere Gesetze: (B) T B T T E E

9 7.2 eterminanten 2-reihige, quadratische Matrix ef.: Eine eterminante einer 2-reihigen, quadratischen Matrix ( a ) ist die Zahl a a a a a a a a det,, a Hauptdiagonale Nebendiagonale , B , C det 3 4 ( 2) det B 5 ( 6) ( 10) det C

10 reireihige eterminante Z.B. ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen (also 3 Unbekannten) a x + a x + a x c a x + a x + a x c a x + a x + a x c muß auf seine Lösbarkeit hin untersucht werden. azu ist die Berechnung der eterminanten notwendig. ef.: eterminante einer 3-reihigen, quadratischen Matrix ( ) ist die Zahl a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Sarrus - Regel (-) (-) (-) a a a a a a a a a a a a a a a Nur für 3-reihige eterminanten

11 7.2.1 Entwicklung einer eterminante nach Unterdeterminanten (LPLCEscher Entwicklungssatz) Unterdeterminante ( 2) algebraisches Komplement: i+ k ( 1) ( 1) ( 1) ( 17) Unterdeterminante algebraisches Komplement ( 1) ( 1)

12 Eine 3-reihige eterminante hat insgesamt neun zweireihige Unterdeterminanten: 11, 12, 13 21, 22, 23 31, 32, 33 ie 3-reihige eterminante läßt sich in Form: darstellen. abei bedeuten: a a a a11 a12 a13 a22 a23 a21 a22 a23 a a a a a32 a33 a a a a11 a12 a13 a21 a23 a21 a22 a23 a a a a a31 a33 a a a a11 a12 a13 a21 a22 a21 a22 a23 a a a a a31 a32 a a a

13 Oder unterverwendung der algebraischen Komplemente i k ( 1) a + a + a a k 1 k k 1 Eine 3-reihige eterminante läßt sich aber genauso nach den Elementen der 2. oder 3. Zeile entwickeln. ie Entwicklungsformel lautet: a + a + a a k 2 k k 1 uch die Entwicklung nach den Elementen der 1., 2. oder 3. Spalte ist möglich. 3 3 a + a + a a i 1 i 1 i 1 3 LPLCEscher Entwicklungssatz: Entwicklung nach der i-ten Zeile: a i 3 k 1 Entwicklung nach der k-ten Spalte: a k 3 i 1 1, 2, 3 1, 2, 3 i k ( 1) +

14 7.2.2 eterminanten höherer Ordnung det a a a n a a a n a a a n1 n2 nn as Ziel heißt: die eterminante zu berechnen. Lösung: urch Entwicklung nach den Elementen einer Zeile oder Spalte läßt sich die Ordnung einer eterminante reduzieren a a a a a21 a22 a23 a24 det a a a a a a a a a + a + a + a k 1 a 1 k 1 k

15 Beispiel: ( 3) ( 6) + ( 3) ( 4) ie Berechnung der 3-reihigen Unterdeterminanten erfolgte dabei nach der Regel von Sarrus.!! Nachrechnen!!

16 Beispiel: det ( 5) llgemein legen wir für eine eterminante n-ter Ordnung die folgende Entwicklungsvorschrift fest: n det a a + a a k 1 1k 1k n 1n nach den Elementen der ersten Zeile. abei ist 1k 1 k ( 1) + 1 k (n-1)-reihige Unterdeterminante 1k

17 7.2.3 LPLCEscher Entwicklungssatz Eine n-reihige eterminante läßt sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln: Entwicklung nach der i-ten Zeile: n a ( i 1, 2,..., n) k 1 Entwicklung nach der k-ten Spalte: n a ( k 1, 2,..., n) i 1 i k ( 1) + : (n-1)-reihige Unterdeterminante

18 7.2.4 eterminantengesetze Rechenregeln für n-reihige eterminanten Regel 1: Regel 2: Regel 3: Regel 4: Regel 5: Regel 6: er Wert einer eterminante ändert sich nicht, wenn Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden. Beim Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten) ändert eine eterminante ihr Vorzeichen. Werden die Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte) mit einem reellen Skalar λ multipliziert, so multipliziert sich die eterminante mit λ. Eine eterminante wird mit einem reellen Skalar λ multipliziert, indem man die Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte) mit λ multipliziert. Besitzen die Elemente einer Zeile (oder Spalte) einen gemeinsamen Faktor λ, so darf dieser vor die eterminante gezogen werden. Eine eterminante besitzt den Wert Null, wenn sie mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt: 1. lle Elemente einer Zeile (oder Spalte) sind Null. 2. Zwei Zeilen (oder Spalten) sind gleich. 3. Zwei Zeilen (oder Spalten) sind zueinander proportional. 4. Eine Zeile (oder Spalte) ist als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar.

19 Regel 7: Regel 8: er Wert einer eterminante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein beliebiges vielfaches einer anderen Zeile (bzw. Spalte) addiert. Multiplationstheorem für eterminanten Für zwei n-reihige Matrizen und B gilt stets det( B) (det ) (det B) d.h. die eterminante eines Matrizenproduktes B ist gleich dem Produkt der eterminanten der beiden Faktoren und B. Regel 9: ie eterminante einer n-reihigen reiecksmatrix besitzt den Wert det a 11 a a nn d.h. die eterminante einer reiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente.

20 Beispiel: Bestimme die eterminanten von folgenden Matrizen: B C det 0 lle Elemente der 2. Zeile sind 0 Regel 6.1 det B 0 Zeile 1 und Zeile 2 sind zueinander proportional det C 0 Spalte 1 und Spalte 3 sind gleich Regel 6.2

21 Beispiel: B Berechne die eterminante des Matrizenproduktes B Regel 8 det( B) (det ) (det B) Beispiel: Nach Regel 9 ist (für eine reiecksmatrix) det ( 3) 144

22 7.2.5 Praktische Berechnung einer n-reihigen eterminante Entwickelt man eine 5-reihige eterminante nach LPLCE, so erhält man zunächst fünf 4-reihige Unterdeterminanten und aus jeder dieser 4-reihigen eterminanten durch abermalige Entwicklung vier 3-reihige Unterdeterminanten. x x x x x x o o o o x o o o o x o o o o x o o o o n 5 n 4 n 4 n 4 n 4 n 4 (fünf 4-reihige Unterdeterminanten) Entwickelt man eine 6-reihige eterminante nach dem gleichen Schema, so erhält man nach drei Entwicklungsschritten bereits reihige eterminanten.

23 Elementare Umformungen einer eterminante ie folgenden elementaren Umformungen verändern den Wert einer eterminante nicht: 1. Ein den Elementen einer Zeile (oder Spalte) gemeinsamer Faktor darf vor die eterminante gezogen werden. 2. Zu einer Zeile (oder Spalte) darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. anderen Spalte) addiert werden. 3. Zwei Zeilen (oder Spalten) dürfen vertauscht werden, wenn gleichzeitg das Vorzeichen der eterminante geändert wird. Praktische Berechnung einer n-reihigen eterminante (n>3) ie Berechnung einer n-reihigen eterminante (n>3) erfolgt zweckmäßigerweise nach folgendem Schema: 1. Mit Hilfe elementarer Umformungen werden zunächst die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf eines zu Null gemacht. 2. ann wird die n-reihige eterminante nach den Elementen dieser Zeile (oder Spalte) entwickelt. Man erhält genau eine (n-1)-reihige Unterdeterminante. 3. as unter 1. und 2. beschriebene Verfahren wird auf die (n-1)-reihige Unterdeterminante angewandt und führt zu einer einzigen (n-2)-reihigen Unterdeterminante. urch wiederholte Reduzierung gelangt man schließlich zu einer einzigen 3-reihigen eterminante, deren Wert nach der Regel von Sarrus zu berechnen ist.

24 Beispiel: as Ziel ist es die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf eines zu Null zu machen. 1. Zunächst wird die 4. Zeile mit 2 multipliziert 2. ie Zeile wird zur 1. Zeile addiert

25 Beispiel: Wir versuchen die erste Zeile zu Null zu bringen Spalte multipliziert mit und 2. addiert zur 4. Spalte ergibt

26 3. Zur 2. Spalte wird die erste addiert: Von der 4. Zeile wird die erste subtrahiert: ( 1)

27 7.2.6 Ergänzungen Reguläre / Singuläre Matrix ist Reguläre Matrix det 0 Gilt nur für quadratische ist Singuläre Matrix det 0 Matrix Beispiel: Ist regulär? det 21 0 regulär B det B ( 4) ( 3) singulär

28 Inverse Matrix n-reihige quadratische Matrix X E X inverse Matrix E Einheitsmatrix 1. Eine quadratische Matrix besitzt genau eine Inverse 2. Besitzt eine Matrix eine inverse Matrix 1, so heißt invertierbar (umkehrbar) 1 - Kehrmatrix, Umkehrmatrix, Inverse E 4. Eine Matrix ist invertierbar, wenn - eine quadratische Matrix ist - det 0 ; eine reguläre Matrix ist adj - adjungierte Matrix 1 1 det mit n n2 1n 2n nn i k ( 1 ) + ; (n-1)-reihige Unterdeterminante

29 Man beachte die Reihenfolge der Indizes. In der i-ten Zeile und k-ten Spalte von 1 befindet sich das algebraische Komplement ki und nicht etwa (Vertauschung der beiden Indizes) adj T ( ) n n n1 n2 nn T n n2 1n 2n nn adj det 1 1

30 Beispiel: Bilde die Inverse zu sie ist quadratisch 2. det 1 0 sie ist regulär Mit 1. und 2. ist invertierbar (umkehrbar) adj. det ( 1) ( 1) 1+ 1 ( 1) 2+ 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1+ 3 ( 1) 2+ 3 ( 1) Unterdeterminanten

31 ie Inverse Matrix zu lautet: Zur Probe E FLK-Schema zur Multiplation der Matrizen

32 Rang einer Matrix - Es sei eine Matrix ( m, n) vorgegeben. - Man bilde alle möglichen Unterdeterminanten dieser Matrix, betrachte aber nur diejenigen unter ihnen, die einen von Null verschiedenen Wert besitzen. - Unter ihnen gibt es dann mindestens eine Unterdeterminante von, die im Vergleich zu allen übrigen die höchste Ordnung besitzt. - ie Ordnung r dieser Unterdeterminante von heißt dann der Rang r der Matrix. Wir definieren daher: Unter dem Rang einer Matrix vom Typ (m,n) wird die höchste Ordnung r aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von verstanden. Rg( ) r

33 nmerkungen: 1. r ist höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m und n: r m m n für n n < m Rangbestimmung einer Matrix unter Verwendung von Unterdeterminanten er Rang r einer (m,n)-matrix kann wie folgt bestimmt werden (für m n): 1. Zunächst werden die m-reihigen Unterdeterminanten von berechnet. Es ist r m, wenn es unter ihnen wenigstens eine von Null verschiedene eterminante gibt. 2. Verschwinden aber sämtliche m-reihigen Unterdeterminanten von, so ist r höchstens gleich m - 1. Es ist daher zu prüfen, ob es wenigstens eine von Null verschiedene (m-1)-reihige Unterdeterminante von gibt. Ist dies der Fall, so ist r m - 1. ndernfalls ist r höchstens gleich m - 2. as beschriebene Verfahren wird dann solange fortgesetzt, bis man auf eine von Null verschiedene Unterdeterminante von stößt. ie Ordnung r dieser eterminante ist dann der gesuchte Rang der Matrix. 2. Für eine n-reihige quadratische Matrix ist stets r n. Insbesondere gilt für eine reguläre bzw. singuläre Matrix: Reguläre Matrix : det 0 r n Singuläre Matrix : det 0 r < n

34 Beispiel: Rang der Matrix (, ) er Rang r kann höchstens 3 sein: m 3 < n 4 r m 3 Wir prüfen zuerst, ob es wenigstens eine von Null verschiedene 3-reihige Unterdeterminante von gibt. Neuer Begriff: Bildung der Unterdeterminante von nichtquadratischen Matrizen urch streichen einer der 4 Spalten läßt sich eine 3-reihige Matrize gewinnen, deren eterminanten wiederum als 3-reihige Unterdeterminanten von bezeichnet werden. Es gibt vier 3-reihige Matrizen:

35 avon die eterminanten berechnet, ergibt Es gibt also keine von Null verschiedene 3-reihige Unterdeterminante von. aher ist r < 3. er Matrizenrang kann höchstens gleich 2 sein, d.h. r 2 Wir prüfen jetzt, ob es wenigstens eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante von gibt. urch streichen der ersten Zeile und der 3. und 4. Spalte in erhalten wir die folgende nichtverschwindende 2-reihige Unterdeterminante: ( 2 ) 1 ( 1 ) ie Matrix besitzt somit den Rang r 2

36 7.3 Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten vom allgemeinen Typ a x + a x a x c n n 1 a x + a x a x c n n 2 a x + a x a x c m1 1 m2 2 mn n m läßt sich unter Verwendung von Matrizen in einer besonders übersichtlichen Form darstellen. ie Koeffizienten a werden zu einer Koeffizientenmatrix ; die Unbekannten x 1, x 2,..., x n zu einem Spaltenfaktor x und die absoluten Glieder c 1, c 2,..., c n zu einem Spaltenvektor zusammengefaßt.

37 a a a a a a a a a n n m m mn x x x x n 1 2 Lösungsvektor bezeichnet c c c c n 1 2 x c

38 Unter Verwendung des FLK-Schemas zur Multiplation von Matrizen läßt sich nämlich leicht zeigen, daß das Matrizenprodukt x zu einem Spaltenvektor C führt. x x1 x2 x n a a a a a a a a a n n m1 m2 mn x a11x1 + a12x a1 nxn a21x1 + a22x a2nxn a x + a x a x m1 1 m2 2 mn n

39 7.3.1 Lineares quadratisches Gleichungssystem Für m n erhalten wir den in den nwendungen besonders häufigen und wichtigen Sonderfall eines quadratischen linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und n Unbekannten. a x + a x a nxn c a x + a x a nxn c a x + a x a x c n1 1 n2 2 nn n n oder x C ie Koeffizientenmatrix ist dabei quadratisch, die erweiterte Koeffizientenmatrix ( c ) vom Typ (n, n + 1). ( c ) a11 a12 a1 a21 a22 a2 a 1 a 2 a n n c1 c2 c n n nn n Inhomogenes lineares (n,n)-system x c Homogenes lineares (n,n)-system x 0

40 Kriterien für die Lösbarkeit eines inhomogenen linearen (n,n)-systems x c Inhomogenes (n,n)-system x c det 0 det 0 ( ist regulär) ( ist singulär) Genau eine Rg() Rg( c) r < n Rg() Rg( c) Lösung Unendlich viele Lösungen Keine Lösung Kriterien für die Lösbarkeit eines homogenen linearen (n,n)-systems x 0 Homogenes (n,n)-system x 0 det 0 det 0 ( ist regulär) ( ist singulär) Genau eine Lösung: Unendlich viele Lösungen x 0 (triviale Lösung) (darunter die triviale Lösung)

41 7.3.2 CRMERsche Regel Zur Lösung eines inhomogenen linearen (n,n)-systems x c Nach dem Kapitel besitzt ein inhomogenes Gleichungssystem x c genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix regulär ist. x c Multiplizieren x c von links mit 1 (inverse) 1 1 x c ie linke Seite: 1 x E x x as ergibt: 1 x c er Lösungsvektor x ist somit das Matrizenprodukt aus der zu inversen Matrix -1 und dem Spaltenvektor c. Multiplation c nn n1 n1 1 x c 1 det n n2 c1 c2 c 1n 2n nn n x c + c cn c c cn det c + c c n n2 1 1n 2 2n n nn

42 oder in komponentenweiser arstellung x x x 1 2 n c + c cn det n1 c + c cn det n2 c1 1 + c c det n n n nn Im Nenner steht die Koeffizientendeterminante det uch der jeweilige Zähler bei x 1, x 2,..., x n läßt sich durch eine eterminante darstellen. Ersetzen wir in der Koeffizientendeterminante die 1. Spalte durch die bsolutglieder c 1, c 2,..., c n des Systems, so erhalten wir die n-reihige eterminante 1. 1 c1 a12 a13 a1 c2 a22 a23 a2 c a a a n n2 n3 nn n n Um 1 zu berechnen, führt man die Entwicklung von 1 nach Elementen der 1. Spalte durch: amit ist x 1 gleich c + c + c c n n1 x 1 1

43 Für x 2 wird die 2. Spalte der Koeffizientendeterminante durch die bsolutglieder c 1, c 2,..., c n des Systems ersetzt. 2 a11 c1 a13 a1 a21 c2 a23 a2 a c a a n1 n n3 nn n n 2 entsteht durch die Entwicklung von 2 nach den Elementen der 2. Spalte: c + c + c c n n2 x 2 2 Entsprechend erhalten wir die übrigen Unbekannten x 3, x 4,..., x n x x x 3 4 n 3 4 n REGEL: 1. Nur, wenn regulär ist det 0

44 Beispiel: Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem 2x1 + x2 + 3x3 8 x1 4x2 + x3 3 x + 2x 4x det ist regulär, daher besitzt das System genau eine Lösung c x x c x x c x x