Tutorium: Analysis und Lineare Algebra

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1 Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am (Teil 1) 7 Mai 2018 Steven Köhler mathe@stevenkoehlerde mathestevenkoehlerde 2 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

2 Matrizen 3 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf Matrizen stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben 4 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

3 Matrizen Definition II Matrizen werden dargestellt durch eine tabellarische Auflistung der Werte, die durch ein großes Klammerpaar umgeben ist Die Form der Klammern ist dabei nicht fest vorgegeben, typisch sind aber runde oder eckige Klammern a 11 a 1m A = (a ij ) = a n1 a nm a 11 a 1m A = [a ij ] = a n1 a nm 5 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen Addition von Matrizen Matrizen werden komponentenweise addiert a 11 a 12 a 13 b 11 b 12 b 13 A + B = a 21 a 22 a 23 + b 21 b 22 b 23 a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 = a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 6 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

4 Matrizen Subtraktion von Matrizen Matrizen werden komponentenweise subtrahiert a 11 a 12 a 13 b 11 b 12 b 13 A B = a 21 a 22 a 23 b 21 b 22 b 23 a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 a 11 b 11 a 12 b 12 a 13 b 13 = a 21 b 21 a 22 b 22 a 23 b 23 a 31 b 31 a 32 b 32 a 33 b 33 7 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen Skalare Multiplikation Eine Matrix kann mit einem konstanten Faktor λ K multipliziert werden Den Wert λ nennt man ein Skalar a 11 a 12 a 13 λa 11 λa 12 λa 13 λa = λ a 21 a 22 a 23 = λa 21 λa 22 λa 23 a 31 a 32 a 33 λa 31 λa 32 λa 33 8 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

5 Matrizen Multiplikation von Matrizen I Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch eine weitere Multiplikation für Matrizen Dabei werden 2 Matrizen miteinander multipliziert Die folgende Formel zeigt dies exemplarisch für 3 3- Matrizen: A B = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 = a 11b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 32 b 23 + a 33 b 33 9 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen Multiplikation von Matrizen II Die Einträge der Ergebnismatrix sind die Skalarprodukte der Zeilenvektoren der Matrix A mit den Spaltenvektoren der Matrix B Hieraus lässt sich leicht eine Aussage über eine essentielle Voraussetzung der Matrizenmultiplikation treffen Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, müssen die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen 10 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

6 Matrizen Multiplikation von Matrizen III Gegeben seien zwei Matrizen A K m n und B K n p Das Produkt C der beiden Matrizen A und B ist eine m p - Matrix und lässt sich allgemein durch die folgende Formel darstellen: C = A B = [ a ij ] [ bij ] = [ c ij ] mit cij = n a ik b kj k=1 11 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen Falksches Schema I Das Falksche Schema (1951 von Sigurd Falk vorgeschlagen) ist eine einfache Methode, die Matrizenmultiplikation übersichtlicher darzustellen Dazu werden die Matrizen A und B sowie deren Produkt C in eine bestimmte tabellarische Form gebracht, die vor allem eine optische Hilfe bietet 12 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

7 Matrizen Falksches Schema II Exemplarisch seien zwei Matrizen A K 3 3 und B K 3 3 gegeben Darstellung der Matrizenmultiplikation mithilfe des Falkschen Schemas: b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 (B) b 31 b 32 b 33 a 11 a 12 a 13 (A) a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 (C) c 31 c 32 c 33 Die Werte für c ij berechnen sich wie zuvor durch c ij = 3 k=1 a ik b kj 13 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen Elementare Zeilenumformungen Man kann Matrizen durch elementare Zeilenumformungen in eine andere Matrix überführen Diese Umformungen sind: Vertauschen von zwei Zeilen; Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstanten; Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Diese Operationen können kombiniert und beliebig oft wiederholt werden 14 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

8 Matrizen Elementare Spaltenumformungen I Ebenso wie durch elementare Zeilenumformungen kann man eine Matrix durch elementare Spaltenumformungen in eine andere Matrix überführen Diese Umformungen sind: Vertauschen von zwei Spalten; Multiplikation einer Spalte mit einer von Null verschiedenen Konstanten; Addition des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte Diese Operationen können ebenfalls kombiniert und beliebig oft wiederholt werden 15 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen Elementare Spaltenumformungen II Generell sollten elementare Zeilen- und Spaltenumformungen nicht vermischt werden, da dies meist mehr Chaos als Nutzen bringt Wir werden uns im Folgenden ausschließlich mit elementaren Zeilenumformungen beschäftigen Sollten einmal Umformungen der Spalten notwendig sein, werden wir die zugehörige Matrix zunächst transponieren und anschließend die Zeilen der transponierten Matrix umformen 16 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

9 Zeilenstufenform 17 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Zeilenstufenform Zeilenstufenform I Durch elementare Zeilenumformungen kann man jede Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform bringen Diese erfüllt die folgenden Eigenschaften: Alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, stehen in der Matrix ganz unten Wenn eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste von Null verschiedene Zahl eine Eins Sie wird als führende Eins bezeichnet In zwei aufeinanderfolgenden Zeilen, die von Null verschiedene Elemente besitzen, steht die führende Eins in der unteren Zeile stets weiter rechts als in der oberen Zeile 18 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

10 Zeilenstufenform Zeilenstufenform II Besitzt die Matrix Zeilenstufenform und gilt zusätzlich noch die folgende Eigenschaft, so liegt die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vor Eine Spalte, die eine führende Eins enthält, hat keine weiteren von Null verschiedenen Einträge 19 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Zeilenstufenform Zeilenstufenform III Beispiel: Überführe die nachfolgende Matrix A in Zeilenstufenform! [ ] 2 8 A = c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

11 Zeilenstufenform Zeilenstufenform IV Zunächst wird die 1 Zeile mit 1 2 multipliziert: [ ] Anschließend wird das ( 3)-fache der 1 Zeile zur 2 Zeile addiert: [ ] Abschließend wird die 2 Zeile mit 1 7 multipliziert: [ ] c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Zeilenstufenform Gauß-Jordan-Algorithmus I 1 Bestimme die am weitesten links stehende Spalte der Matrix, die von Null verschiedene Werte enthält 2 Ist der oberste Eintrag der gefundenen Spalte eine Null, so vertausche die oberste Zeile mit einer geeigneten Zeile, die in dieser Spalte keine Null enthält 3 In der betrachteten Spalte ist nun der oberste Eintrag ein von Null verschiedenes Körperelement a Multipliziere die erste Zeile der Matrix mit dem Inversen a 1 und erzeuge so eine führende Eins 22 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

12 Zeilenstufenform Gauß-Jordan-Algorithmus II 4 Addiere das jeweils passende Vielfache der aktuellen Zeile zu den anderen Zeilen, so dass alle Einträge unterhalb der führenden Eins der aktuellen Zeile zu Null werden 5 Wende die Schritte 1-4 auf die Matrix an, die man durch Streichen der aktuellen Zeile erhält und iteriere das Verfahren bis die Matrix Zeilenstufenform hat 6 Mit der letzten nicht verschwindenden Zeile beginnend, addiere geeignete Vielfache der unteren Zeilen zu den darüber liegenden Zeilen, um über den führenden Einsen Nullen zu erzeugen 23 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Zeilenstufenform Aufgabe 1 Überführe die folgende Matrix A R 4 4 in Zeilenstufenform sowie in reduzierte Zeilenstufenform! A = c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

13 Zeilenstufenform Aufgabe 2 Überführe die folgende Matrix B Z5 2 3 in Zeilenstufenform [ ] B = c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Zeilenstufenform Aufgabe 3 Überführe die folgende Matrix C R 7 10 in Zeilenstufenform C = c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

14 Lineare Gleichungssysteme 27 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Definition Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man in der linearen Algebra Gleichungssysteme der folgenden Art: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Das Gleichungssystem besteht dabei aus m Gleichungen mit n Unbekannten 28 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

15 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen I Es existieren verschiedene Darstellungsformen für lineare Gleichungssysteme: die explizite Form; die Matrixform; die Spaltenform (oder auch Vektorform) 29 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen II Die explizite Form: Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als eine Menge von m separaten Gleichungen mit n Unbekannten angegeben a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m 30 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

16 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen III Die Matrixform: Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Produkt einer Koeffizientenmatrix A, einem Spaltenvektor x mit den Unbekannten sowie einem Lösungsvektor b angegeben a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b 2 a m1 a m2 a mn x n = b m Die Gleichung lässt sich auch in der folgenden kompakten Form schreiben: Ax = b 31 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen IV Die Spaltenform: Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Summe der Produkte der Unbekannten mit den Spaltenvektoren der Matrix A sowie einem Lösungsvektor b angegeben: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 x 1 + x a x a 2n n = b 2 a m1 a m2 a mn b m Verwendet man für die Spalten die Schreibweise a i, so ergibt sich die folgende kompakte Schreibweise: x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b 32 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

17 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren I Das Gauß-Verfahren bietet eine einfache Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen Es basiert auf der Matrixform des Gleichungssystems x 1 a 11 a 1n a m1 a mn x n = b 1 b m 33 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren II Für die Lösung des Gleichungssystems Ax = b sind nur die Koeffizientenmatrix A sowie der Lösungsvektor b von Interesse Diese fasst man in der sogenannten erweiterten Koeffizientenmatrix zusammen: [ A ] a 11 a 1n b 1 b = a m1 a mn b m 34 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

18 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren III Das Gauß-Verfahren basiert auf der Grundidee, zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform zu überführen und anschließend durch Rückwärtseinsetzen schrittweise die Lösung zu bestimmen Wichtig: Durch elementare Spaltenumformungen kann sehr leicht die Lösungsmenge des Gleichungssystems verändert werden Aus diesem Grund sind diese beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem Gauß-(Jordan-)Verfahren verboten! 35 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren VI Aufgabe: Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren! Lösung: 2x 1 + 4x 2 = 22 3x 1 2x 2 = 7 Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix erstellt und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht [ A ] [ ] b = c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

19 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren V Multiplikation der ersten Zeile mit 1 2 ergibt [ Anschließend wird durch Addition des ( 3)-fachen der ersten Zeile zur zweiten die erste Spalte in die richtige Form gebracht: [ ] Multiplikation der zweiten Zeile mit 1 8 stellt die gewünschte Zeilenstufenform her: [ ] ] 37 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren VI Zur Erinnerung: Die Darstellung durch die erweiterte Koeffizientenmatrix ist lediglich eine andere Schreibweise für das Gleichungssystem, das nach den Umformungen wie folgt lautet: x 1 + 2x 2 = 11 x 2 = 5 Nun löst man die Gleichungen von unten nach oben auf x 2 = 5 liegt bereits in der gewünschten Form vor Setzt man x 2 nun in die obere Gleichung ein, so ergibt sich woraus sofort x 1 = 1 folgt x = 11, 38 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

20 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren VII Die einzige Lösung des Gleichungssystems lautet also x 1 = 1 und x 2 = 5 Man kann dies leicht durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen überprüfen 39 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Verfahren I Beim Gauß-Jordan-Verfahren wird die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform gebracht, dh, außer den führenden Einsen enthält die Matrix A in der erweiterten Koeffizientenmatrix [ A b ] nur Nullen Wir hatten beim Gauß-Verfahren die erweiterte Koeffizientenmatrix bereits in Zeilenstufenform gebracht [ ] c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

21 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Verfahren II Man muss also nur noch durch Addition des ( 2)-fachen der zweiten Zeile zur ersten die zweite Spalte in die richtige Form bringen: [ ] Hier kann man nun die Lösungen für x 1 und x 2 ohne weiteres Rechnen direkt ablesen Es folgt wie erwartet x 1 = 1 und x 2 = 5 41 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen I Ein Gleichungssystem kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen 42 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

22 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen II Eine Lösung: Den Fall genau einer Lösung haben wir bereits bei unserem Beispiel gesehen Dieser Fall liegt immer genau dann vor, wenn in der erweiterten Koeffizientenmatrix [ A b ] die Matrix A nach dem Überführen in Zeilenstufenform genauso viele vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt wie das Gleichungssystem Variablen hat 43 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen III Keine Lösung: Es ist möglich, dass ein Gleichungssystem keine Lösung besitzt Dies ist genau dann der Fall, wenn in der erweiterten Koeffizientenmatrix [ A b ] (nach dem Überführen in Zeilenstufenform) eine Zeile der folgenden Art auftritt: [ 0 0 ] b (mit b 0) 44 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

23 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen IV Dies würde bedeuten, dass 0x x n = b ( 0) gilt, was einen Widerspruch darstellt Das Gleichungssystem kann folglich keine Lösung besitzen 45 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen V Unendlich viele Lösungen: Es ist zudem möglich, dass ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt Dieser Fall liegt immer genau dann vor, wenn in der erweiterten Koeffizientenmatrix [ A b ] (nach dem Überführen in Zeilenstufenform) die Matrix A weniger vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt als das Gleichungssystem Variablen hat Mit anderen Worten: Es gibt mehr Variablen als Gleichungen 46 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

24 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VI Aufgabe: Löse das folgende lineare Gleichungssystem Lösung: 2x 1 + 4x 2 + x 3 = 22 3x 1 2x 2 x 3 = 7 Auch in diesem Fall wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix erstellt und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht [ A ] [ ] b = c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VII Multiplikation der ersten Zeile mit 1 2 ergibt [ Anschließend wird durch Addition des ( 3)-fachen der ersten zur zweiten Zeile die erste Spalte in die richtige Form gebracht: [ ] ] 48 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

25 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VIII Multiplikation der zweiten Zeile mit 1 8 stellt die gewünschte Zeilenstufenform her: [ ] Die Spalten mit den führenden Einsen repräsentieren die führenden Variablen, die restlichen Spalten stellen die freien Variablen dar 49 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen IX Um die Lösung zu erhalten, weist man den freien Variablen Parameter zu In unserem Beispiel ist die einzige freie Variable x 3 = t (t R) Die führenden Variablen rechnet man wie gewohnt durch Rückwärtseinsetzen aus Für die zweite Zeile der Matrix ergibt sich somit x x 3 = 5 x 2 = t (t R) 50 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

26 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen X Um x 1 zu berechnen, setzt man nun x 2 und x 3 in die erste Zeile ein Es folgt x 1 + 2x x 3 = 11 Umstellen nach x 1 ergibt x 1 = 11 2 (5 5 ) 16 t 1 2 t = t (t R) 51 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen XI Als Gesamtlösung haben wir also Folgendes erhalten (t R): x 1 = t x 2 = t x 3 = t 52 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

27 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen XII Wir können die Lösung auch wie folgt darstellen: x x = x 2 t = t x 3 t = 5 t t = 5 + t t 0 1 (t R) Man nennt dies die Parameterform der Lösung 53 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 4 Bestimme die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems mit dem Gauß- und mit dem Gauß-Jordan-Verfahren x 1 + 2x 2 8x 3 = 1 3x 1 + 7x 2 27x 3 = 5 2x 1 + 4x 2 15x 3 = 1 54 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

28 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 5 Bestimme die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems x 1 3x 2 + 3x 3 4x 5 = 5 2x 1 6x 2 + 6x 3 + x 4 12x 5 = 9 2x 1 6x 2 + 6x 3 2x 4 = 12 3x 1 9x 2 + 9x 3 x 4 8x 5 = 16 Gib die gefundene Lösung in Parameterform an! 55 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume 56 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

29 Vektorräume Definition I Gegeben seien eine Menge V, ein Körper (K, +, ), eine innere zweistellige Verknüpfung : V V V (die Vektoraddition) sowie eine äußere zweistellige Verknüpfung : K V V (die skalare Multiplikation) Man nennt (V,, ) einen Vektorraum über dem Körper K (kurz: K-Vektorraum), wenn es sich bei (V, ) um eine abelsche Gruppe handelt und wenn für die skalare Multiplikation sowohl ein neutrales Element existiert als auch die Assoziativ- und Distributivgesetze gelten 57 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Definition II Die Vektoraddition ist assoziativ Für alle u, v, w V gilt: ( ) ( ) u v w = u v w = u v w Es existiert ein neutrales Element 0 V V, so dass für alle v V gilt: v 0 V = 0 V v = v Das Element 0 V wird als Nullvektor bezeichnet Zu jedem Element v V existiert ein Element v, für das gilt: v ( v ) = ( v ) v = 0 V Die Vektoraddition ist kommutativ Für alle u, v V gilt: u v = v u 58 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

30 Vektorräume Definition III Für alle λ, μ K, v V gilt (Assoziativgesetz): ( λ μ ) v = λ ( μ v ) Es existiert ein neutrales Element 1 K K, so dass für alle v V gilt: 1 K v = v Zusammen mit der Vektoraddition gilt für alle λ K, u, v V das Distributivgesetz: λ ( u v ) = ( λ u ) ( λ v ) Zusammen mit der Addition + im Körper K gilt für alle λ, μ K, v V das Distributivgesetz: ( λ + μ ) v = ( λ v ) ( μ v ) 59 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Definition IV In der Mathematik ist es üblich, sowohl die Addition im Körper K als auch die Addition im Vektorraum V mit demselben Operator + zu bezeichnen, obgleich es sich um verschiedene Operationen handelt Analog werden die Multiplikation im Körper K und die skalare Multiplikation im Vektorraum V mit bezeichnet In der Praxis besteht im Allgemeinen keine Gefahr, die Additionen bzw Multiplikationen zu verwechseln 60 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

31 Vektorräume Untervektorraum Gegeben sei ein Vektorraum (V, +, ) über einem Körper K Man nennt eine Teilmenge U V genau dann einen Untervektorraum bzw Unterraum von V, wenn U nichtleer und bezüglich der Vektoraddition + und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist, dh, falls die folgenden Eigenschaften gelten: U ; u, v U u + v U; u U,λ K λ u U 61 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Aufgabe 6 Entscheide für die folgenden Mengen U 1,,U 5, ob es sich um einen Unterraum { des R 4 handelt: (x1 ) } a) U 1 =, x 2, x 3, x 4 x 1 + x 2 3x 3 0 ; { (x1 ) } b) U 2 =, x 2, x 3, x 4 x 1 + 2x 2 x 4 = 2 ; { (x1 ) } c) U 3 =, x 2, x 3, x 4 2x1 + x 2 5x 4 x 3 ; { (x1 ) } d) U 4 =, x 2, x 3, x 4 x 4 = x 1 + x 2 2x 3 ; { (x1 ) } e) U 5 =, x 2, x 3, x 4 x 1 = x c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

32 Vektorräume Aufgabe 7 a) Es sei V = R 3 Gib eine Menge U V an, die bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen ist, bezüglich der skalaren Multiplikation jedoch nicht abgeschlossen ist b) Es sei V = R 3 Gib eine Menge U V an, die bezüglich der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist, bezüglich der Vektoraddition jedoch nicht abgeschlossen ist 63 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Aufgabe 8 Gegeben seien ein Vektorraum V über einem Körper K sowie zwei Untervektorräume U 1 V und U 2 V Zeige, dass es sich bei der Schnittmenge U 1 U 2 ebenfalls um einen Untervektorraum von V handelt 64 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

33 Vektorräume Linearkombination Gegeben seien ein Vektorraum V über einem Körper K, Vektoren v 1,,v n V sowie Skalare λ 1,,λ n K Einen Vektor v, der sich durch v = λ 1 v λ n v n = n λ i v i i=1 darstellen lässt, nennt man Linearkombination von v 1,,v n Die Skalare λ 1,,λ n werden Koeffizienten der Linearkombination genannt 65 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Lineare Hülle Gegeben seien ein Vektorraum V über einem Körper K sowie Vektoren v 1,,v n V Man nennt die Menge Lin ( ) } v 1,,v n = {λ 1 v λ n v n λ 1,,λ n K die lineare Hülle von v 1,,v n Die lineare Hülle ist folglich die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren v i Die lineare Hülle der Vektoren v 1,,v n wird häufig auch als span(v 1,,v n ) geschrieben 66 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

34 Vektorräume Lineare Unabhängigkeit I Gegeben sei ein Vektorraum V über einem Körper K Die Vektoren v 1,,v n V heißen linear abhängig, wenn neben der trivialen Lösung λ 1 = = λ n = 0 K noch mindestens eine weitere Lösung für die Gleichung λ 1 v λ n v n = 0 V existiert In diesem Fall besitzen nicht alle Skalare λ i den Wert 0 K Gilt beispielsweise λ k 0 K, so kann durch Umstellen der Gleichung eine Linearkombination für den Vektor v k gefunden werden: v k = λ 1 v 1 λ k 1 v k 1 λ k+1 v k+1 λ n v n λ k λ k λ k λ k 67 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Lineare Unabhängigkeit II Gegeben sei ein Vektorraum V über einem Körper K Die Vektoren v 1,,v n V heißen linear unabhängig, wenn neben der trivialen Lösung λ 1 = = λ n = 0 K keine weiteren Lösungen für die Gleichung λ 1 v λ n v n = 0 V existieren In diesem Fall ist es nicht möglich, einen der Vektoren v 1,,v n als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen 68 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

35 Vektorräume Aufgabe 9 Entscheide für die folgenden Vektoren, ob sie linear abhängig oder linear unabhängig sind Gib jeweils eine Begründung a) v 1 =(1, 3, 5), v 2 =(2, 1, 1) und v 3 =( 2, 15, 23) b) v 1 =(1, 0, 1, 2), v 2 =(0, 2, 3, 1), v 3 =(4, 3, 2, 0) und v 4 =(2, 1, 2, 3) c) v 1 =(1, 5, 7, 6), v 2 =( 9, 1, 0, 3), v 3 =(8, 4, 4, 2), v 4 =(1, 3, 3, 7) und v 5 =(42, 23, 0, 1) 69 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Aufgabe 10 Wir betrachten den Vektorraum R[x] der Polynome mit Koeffizienten aus den reellen Zahlen R Die Operationen seien die Polynomaddition sowie die Multiplikation mit reellen Zahlen Entscheide, ob die die folgenden Polynome linear abhängig oder linear unabhängig sind p 1 (x) =x 2 + x p 2 (x) =x 2 + 3x 1 p 3 (x) =4x 2 70 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

36 Vektorräume Basis I Gegeben seien ein Vektorraum V über einem Körper K sowie die Vektoren b 1,,b n V Man nennt eine Teilmenge B = { } b 1,,b n V eine Basis des Vektorraums V, falls die folgenden Eigenschaften gelten: Die Vektoren b 1,,b n sind linear unabhängig Die Vektoren b 1,,b n erzeugen den Vektorraum V Für alle Elemente v V existieren (eindeutig bestimmte) Koeffizienten λ 1,,λ n, so dass gilt: v = λ 1 b λ n b n 71 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Basis II Zum Bestimmen einer Basis eines durch Vektoren v 1,,v n V erzeugten Unterraums kann der Gauß-(Jordan-)Algorithmus verwendet werden Zunächst werden die Vektoren v 1,,v n als Zeilen einer Matrix geschrieben: v 1 v n Wird diese anschließend in Zeilenstufenform überführt, so bilden die Nichtnullzeilen v 1,,v r der entstandenen Matrix eine Basis des durch die ursprünglichen Vektoren v 1,,v n aufgespannten Unterraums 72 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

37 Vektorräume Basisergänzungssatz Sei V ein K-Vektorraum, M V eine linear unabhängige Teilmenge und E ein Erzeugendensystem von V Dann lässt sich M durch Elemente aus E zu einer Basis von V ergänzen 73 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Aufgabe 11 Gegeben seien die folgenden Vektoren des R 3 : v 1 =(1, 2, 3) v 2 =( 1, 4, 2) v 3 =( 1, 10, 1) v 4 =( 4, 22, 7) a) Bestimme eine Basis von Lin (v 1, v 2, v 3, v 4 ) b) Gib die Dimension von Lin (v 1, v 2, v 3, v 4 ) an c) Um welchen Raum handelt es sich bei Lin (v 1, v 2, v 3, v 4 )? 74 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018

38 Vektorräume Aufgabe 12 { (x1 Es sei U =, x 2, 0 ) } x 1, x 2 R ein Unterraum des R 3 Zeige, dass es sich bei den Vektoren b 1 =(1, 1, 0) und b 2 =(2, 1, 0) um eine Basis des Unterraums U handelt 75 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Vektorräume Aufgabe 13 Bestimme eine Basis des folgenden Untervektorraums U R 3 : { } U = (x 1, x 2, x 3 ) 2x 1 + x 2 = 0 x 1 x 3 = 0 76 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018