Für die Matrikelnummer M = Dann sind durch A =

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1 Musterlösung zum. Blatt 9. Aufgabe: Gegeben seien m m m 3 m 2 m 4 + m 7 m 3 A := m m 2 m m 2 m 4 + m 5 und b := m 6 m 4 + a) Finden Sie eine Lösung x R 7 für die Gleichung Ax =. b) Finden Sie eine Lösung x R 7 für die Gleichung Ax = b. c) Ist in b) die Lösung eindeutig bestimmt, oder gibt es mehrere Lösungen? Für die Matrikelnummer M = Dann sind durch A = 6 und b = a) Natürlich ist der Nullvektor R 7 immer eine Lösung des homogenen Systems Ax =. b) Als Gleichungen geschrieben bedeutet Ax = b 4x + 6x 3 + 2x 5 + 2x 7 = 5x 2 + x 3 + x 4 + x 6 = x 3 + x 4 + 2x 5 + x 7 = 6x 4 + x 5 = x 5 + 2x 7 = 4x 6 + x 7 = 3 9x 7 = 5 Man berechnet dann sukzessive von unten nach oben x 7 = 5 9, x 6 = = 8, x 5 = 9, x 4 = = 9 54, und ebenso x 3 = 3 54, x 2 = 3 3 und x = c) Die Lösung aus b) ist eindeutig, da sich aus der Rechnung in b) die einzelnen x i der Reihe nach notwendig ergeben.

2 92. Aufgabe: Nehmen Sie aus der Menge X = {m, m 2,..., m 7 } die drei größten Zahlen a, b, c und so, dass a > b > c gilt, falls die Menge X mindestens drei Elemente enthält; falls X nur aus ein oder zwei Elementen besteht, nehmen Sie a := 7, b := 5 und c := 2. Dann sei A := a b c. a 2 b 2 c 2 a) Hat die Gleichung Ax = nur die triviale Lösung? b) Finden Sie ein x R 3 mit Ax =. c) Ist ein x wie in b) eindeutig bestimmt? Für M = Dann ist A = a) Wir subtrahieren das 8-fache bzw. 64-fache der ersten Zeile von der zweiten bzw. dritten: Subtrahiert man nun das 4-fache der zweiten Zeile zur dritten, so ergibt sich Wie in Aufgabe 9 sieht man jetzt der Rechnen von unten nach oben, dass aus Ax = folgt x 3 =, x 2 = und x =. Also hat die Gleichung Ax = nur die triviale Lösung. b) Zum Lösen von Ax = b, wobei b = e R 3, gehen wir so vor: Die in a) vorgenommen Manipulationen wenden wir nicht nur auf A an, sondern auch auf b, also insgesamt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix Dann erhalten wir wie oben erst [A b] = und dann

3 Schreibt man dies wieder als lineares Gleichungssystem so erhält man der Reihe nach x + x 2 + x 3 = 2x 2 + 5x 3 = 8 + 5x 3 = 2 x 3 = 48 5 = 6 5, x 2 = = 4, x = ( 4) 6 5 = 9 5. Alternativ kann man auch das homogene Gleichungssystem ( ) x ( ) x = x 3 lösen. Als Lösung hat man hier 9/6 λ 5/4, wobei λ alle reellen Zahlen durchläuft. Nun muss die Lösung des ursprünglichen Systems zusätzlich die Gleichung x +x 2 +x 3 = erfüllen, also muss gelten λ( 9/6+5/4 ) =, also λ = 6/5, und damit erhält man dann auch die oben berechnete Lösung. c) Aus den Argumenten in b) folgt sofort, dass die Lösung eindeutig ist., 93. Aufgabe: Sei α := π, seien m 5 +3 v := cos α sin α m m sin α, v 2 := cos α m a) Ergänzen Sie v, v 2 zu einer Basis von R 4. D. h. bestimmen Sie v 3, v 4 R 4, so dass v, v 2, v 3, v 4 eine Basis von R 4 bilden. b) Bestimmen Sie dim v, v 2 und dim( v v 2 ). Für M = Dann sind cos α sin α v := sin α, v 2 := cos α 4. 8 Behauptung: Mit (zum Beispiel!) v 3 :=, v 4 := bilden v, v 2, v 3, v 4 eine Basis von R 4.

4 Beweis: Es genügt, die lineare Unabhängigkeit nachzuweisen. Seien x, x 2, x 3, x 4 R mit 4 x i v i =. Wir betrachten die Matrix cos α sin α A = [v, v 2, v 3, v 4 ] = sin α cos α 4 8 i= und prüfen, ob das homogene System Ax = nur die triviale Lösung hat. Aus den ersten beiden Gleichungen erhält man cos(α)x + sin(α)x 2 = sin(α)x + cos(α)x 2 =. Multiplizieren wir die erste Gleichung mit cos α, die zweite mit sin α, und addieren die beiden Gleichungen, so erhalten wir (cos 2 α + sin 2 α)x + (cos α sin α sin α cos α)x 2 =, und wegen cos 2 α + sin 2 α =, folgt x + x 2 =, also x =. Da nicht sin α und cos α gleichzeitig = sein können, folgt aus den obigen beiden Gleichungen auch x 2 =. Damit erhält man x 3 v 3 + x 4 + v 4. Da aber die beiden Vektoren v 3, v 4 linear unabhängig sind, folgt auch x 3 = = x 4. b) Aus a) folgt sofort, dass v, v 2 linear unabhängig sind, und damit bildet v, v 2 eine Basis von v, v 2, also dim v, v 2 = 2. Es folgt (direkt, oder mit der Dimensionsformel für Unterräume), dass v v 2 = {}, gilt, womit die Dimension = ist. 94. Aufgabe: Sei die Matrix m m m 2 m 3 m 4 m 3 m 4 A = m 6 m 5 m 7 gegeben. a) Berechnen Sie die Potenzen A 2, A 3, A 4 und A 5. b) Sei f : R 5 R 5 die zu der Matrix A gehörige lineare Abbildung. Gibt es eine lineare Abbildung g : R 5 R 5 mit g f = R 5? Für M = Dann ist A =

5 Man rechnet dann dann und schliesslich A 5 = A A 4 = A 2 = A A = 5, A 3 = A A 2 =, 8 A 4 = A A 3 = b) Nein, ein solche Abbildung gibt es nicht. Denn angenommen, es gäbe eine Abbildung g : R 5 R 5 mit g f = R 5. Sei B = M(g) die Darstellungsmatrix zu g. Es gilt A = M(f). Es folgt E 5 = M( R 5) = M(g f) = M(g) M(f) = B A. Multiplizieren wir diese Gleichung mit der Matrix A 4, so erhalten wir mit a) einen Widerspruch. A 4 = E 5 A 4 = (B A) A 4 = B (A A 4 ) = B A 5 = B =, 95. Aufgabe: Seien die linearen Abbildungen f : R 5 R 3 und g : R 3 R 4 gegeben durch die Matrizen m m m 3 m m m m m m m 4 + m 3 m m 6 + bzw. m m 6 + m m m m m 4 + m m 5 + m m 3 +. m m m 4 Bestimmen Sie die Matrix, die zu der linearen Abbildung g f gehört. Für M = Dann Sind A = M(f) und B = M(g) gegeben durch A = und B = Die Matrix, die zu g f gehört, die Darstellungsmatrix von g f, ist M(g f) = M(g) M(f) = B A =

6 96. Aufgabe: Seien V und W R-Vektorräume der Dimension n bzw. m. Durch die Regeln (v, w ) + (v 2, w 2 ) := (v + v 2, w + w 2 ), α.(v, w) := (α.v, α.w) für alle v, v 2, v V, w, w 2, w W und alle α R wird das kartesische Produkt V W zu einem R-Vektorraum. a) Seien v,..., v n und w,..., w m Basen von V bzw. W. Konstruieren Sie daraus eine Basis von V W. Weisen Sie für Ihre Konstruktion die Basiseigenschaft nach. b) Bestimmen Sie die Dimension von V W. a) Behauptung: (v, ),..., (v n, ), (, w ),..., (, w m ) ist eine Basis von V W. Beweis: Lineare Unabhängigkeit: Seien α,..., α n, β..., β m R mit Dann gilt also α i (v i, ) + i= β j (, w j ) = (= V, W ). j= ( α i v i, i= α i v i = V i= ) β j w j = (, ), j= und β j w j = W. Weil nach Voraussetzung v,..., v n linear unabhängig sind, folgt α = = α n =. Ebenso folgt aus der linearen Unabhängigkeit der Elemente w,..., w m, dass β = = β m = gilt. Erzeugendensystem: Sei (v, w) V W. Da v V und w W, folgt, da v,..., v n ein Erzeugendensystem von V und w,..., w m ein Erzeugendensystem von W ist, dass reelle Zahlen α,..., α n und β..., β m existieren, so dass j= v = α i v i und w = i= β j w j. j= Es folgt dann ( ) (v, w) = α i v i, β j w j = i= j= α i (v i, ) + β j (, w j ). i= j= b) Aus a) folgt direkt, dass n + m die Dimension von V W ist.

7 97. Aufgabe: Seien V und W R-Vektorräume der Dimension n bzw. m. Sei f : V W eine lineare Abbildung. Zeige Sie: f ist surjektiv genau dann, wenn rg(f) = dim W gilt. Sei f : V W surjektiv. Dann gilt Bild(f) = W, und dann ist offenbar rg(f) = dim(bild(f)) = dim W. Es gelte nun umgekehrt rg(f) = dim W. Dann folgt dim(bild(f)) = rg(f) = dim W, und weil Bild(f) W ein Unterraum ist, folgt Bild(f) = W (Folgerung aus dem Basisergänzungssatz). 98. Aufgabe: Sei V = M mn (R) der R-Vektorraum der m n-matrizen mit reellen Koeffizienten. Sei A M km (R) eine fest gewählte k m-matrix. Zeigen Sie: a) U := {X V A X = } ist ein Unterraum von V. b) Sei W := M kn (R). Zeigen Sie, dass durch f : V W, X A X eine lineare Abbildung definiert wird. c) Sei jetzt speziell k = m = 2. Bestimmen Sie rg(f). a) Es ist offenbar die m n-nullmatrix in U. Also ist U eine nicht-leere Menge. Seien X, X 2 U. Dann gilt nach den Eigenschaften der Matrizenmultiplikation A (X + X 2 ) = A X + A X 2 = + =. Also ist X + X 2 U. Sei α R und X U. Dann gilt nach den Eigenschaften der Matrizenmultiplikation A (αx) = α(a X) = α =. b) Nach den in a) benutzten Eigenschaften der Matrizenmultiplikation gilt für X, X, X 2 V und α R und f(x + X 2 ) = A (X + X 2 ) = A X + A X 2 = f(x ) + f(x 2 ) c) Behauptung: Es gilt rg(f) = n rg(a). f(αx) = A (αx) = α(a X) = αf(x). Beweis: Das Bild von f wird erzeugt von den Bildern einer Basis von V ; hier haben wir z. B. die Basis E ij ( i 2, j n). (Die Matrix E ij hat an der ( Position ) i, j a b eine, und an allen anderen Stellen den Eintrag.) Sei A gegeben als A =. Für c d den Fall A = (äquivalent rg(a)) ist die Behauptung offensichtlich( richtig, ) so ( dass ) wir a b rg(a) annehmen können. Im Falle rg(a) = 2 sind die Spalten und linear c d unabhängig, und dann offenbar auch die Matrizen A E ij ( i 2, j n) in V. (Es ist ist nämlich die j-te Spalte von A E ij gerade die i-te Spalte von A; die restlichen Spalten in A E ij sind die Nullspalten.) Die Anzahl ist 2n. Also stimmt die Behauptung auch in diesem Fall. Bleibt der Fall rg(a) =. Dann ist etwa die erste Spalte das λ-fache der zweiten Spalte für ein λ R (ohne Einschränkung sei die zweite Spalte ; sonst ist die zweite Spalte ein Vielfaches der ersten, und das Argument geht analog). Dann bildet offenbar A E 2j ( j n) eine Basis des Bildes von f. Die Elementanzahl ist n, also stimmt die Formel auch im Fall rg(a) =.