Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 26/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 4. (Frühjahr 27, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterräume des R 3 übereinstimmen: U = 2, 2, V = 5, (Frühjahr 2, Thema 2, Aufgabe ) Gegeben seien die folgenden Unterräume des R 3 : U := span 2,, V := span 5, 3 6 Bestimmen Sie eine Basis von U V (Frühjahr 2, Thema 2, Aufgabe ) Gegeben seien die beiden Unterräume U := R 2 + R und V := R + R 3 2 im R 3. Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U V. 4.4 (Frühjahr 2, Thema 2, Aufgabe ) Es sei V R 4 der von den Vektoren 2 v = 2 3, v 2 = 3 4, v 3 = 3 5, v 4 = 4 3 erzeugte Unterraum. Zeigen Sie, dass V den Vektor 3 v = 5 7 enthält und bestimmen Sie die Dimension von V.

2 4.5 (Frühjahr 2, Thema 3, Aufgabe ) Gegeben seien die Vektoren u =, v =, w = 3 2 2, x = 2 R4. a) Zeigen Sie, dass u, v, w und x in einem Untervektorraum U R 4, U R 4, enthalten sind. b) Geben Sie eine lineare Gleichung an, deren Lösungsmenge der Untervektorraum U ist. 4.6 (Herbst 23, Thema, Aufgabe 5) Es sei a R gegeben. Weiter sei U a der von den folgenden Vektoren aufgespannte Untervektorraum von R 5 :,,, 2. a a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a eine Basis von U a. b) Ergänzen Sie jeweils die Basis von U a aus a) zu einer Basis von R (Herbst 22, Thema, Aufgabe 2) Gegeben seien die Vektoren u =, u 2 = 2, u 3 = 2 2 des R4. U sei der von u, u 2 und u 3 aufgespannte Unterraum des R 4. W R 4 sei die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems x 2 x x 4 = x 2 x 2 4 x 4 = a) Bestimmen Sie eine Basis B U von U und eine Basis B W von W. b) Bestimmen Sie die Dimension von U W und von U + W. c) Ergänzen Sie B U zu einer Basis von U + W. 4.8 (Frühjahr 2, Thema, Aufgabe 5) Im Vektorraum der reellen Polynome seien die folgenden Teilmengen gegeben: U = { P : P (x) = a x 2 + b x + c mit a, b, c R }, U 2 = { P : P (x) = a x 2 + b x mit a, b R }, U 3 = {P : P (x) oder Grad(P ) 2}, U 4 = { P : P (x) = a x 2 + b x + c mit a, b, c R und c }. Überprüfen Sie, welche dieser Teilmengen einen linearen Unterraum bilden.

3 4.9 (Herbst 29, Thema 2, Aufgabe 2) Es sei V der R Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad 2. Die Teilmenge ist ein linearer Unterraum von V. a) Bestimmen Sie eine Basis von U. U := {p V p(x) = p( x)} b) Ergänzen Sie die Basis von U aus a) zu einer Basis von V. 4. (Frühjahr 25, Thema, Aufgabe 2) Sei P 3 = {p = a + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 : a, a, a 2, a 3 R} der reelle Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad höchstens 3. a) Zeigen Sie: U = {p P 3 : p() = } ist ein Untervektorraum von P 3. b) Zeigen Sie: B = {X, X 2, X 3 } ist eine Basis von U. c) Geben Sie die Abbildungsvorschrift des durch die (angeordnete) Basis B aus Teil b) gegebenen Vektorraumisomorphismus ϕ B : R 3 U an. 4. (Herbst 25, Thema 2, Aufgabe ) Im R Vektorraum V aller reellen Polynome p mit Grad(p) 3 betrachte man den von p = X 3 X 2, p 2 = X 3 X, p 3 = X 2 X und p 4 = X 3 erzeugten Untervektorraum U von V. a) Man zeige: U ist die Menge aller Polynome p V, die eine Nullstelle bei besitzen. b) Man wähle aus p, p 2, p 3, p 4 eine Basis von U aus und ergänze diese zu einer Basis von V. 4.2 (Herbst 2, Thema, Aufgabe ) Im R Vektorraum V aller Polynome mit reellen Koeffizienten seien u = X 3 + X 2, u 2 = X 2 + X und u 3 = X + sowie w = X 3 X 2 + X und w 2 = X 2 X + gegeben; ferner seien U = u, u 2, u 3 und W = w, w 2 die von u, u 2, u 3 bzw. von w, w 2 erzeugten Unterräume von V. Man bestimme eine Basis des Unterraums U W. 4.3 (Herbst 25, Thema 2, Aufgabe 3) Im reellen Vektorraum R 3 3 sei U = { A R 3 3 A = A und Spur(A) = }. a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von R 3 3 ist. b) Bestimmen Sie die Dimension von U.

4 c) Zeigen Sie, dass A = und A 2 = in U liegen und linear unabhängig sind. Ergänzen Sie {A, A 2 } zu einer Basis von U. 4.4 (Herbst 28, Thema, Aufgabe 2) a) Es seien W und W 2 Untervektorräume eines reellen Vektorraums V. Wie lautet die Dimensionsformel für Summe W +W 2 und Durchschnitt W W 2? b) Welche Dimension kann W W 2 haben, wenn dim W = dim W 2 = 3 und V = R 5 ist? Belegen Sie jeden möglichen Wert von dim (W W 2 ) durch ein Beispiel. 4.5 (Frühjahr 23, Thema, Aufgabe ) Welche Dimension kann der Durchschnitt eines dreidimensionalen und eines vierdimensionalen Untervektorraums in einem sechsdimensionalen Vektorraum haben? 4.6 (Herbst 29, Thema 3, Aufgabe 2) Es seien v und w linear unabhängige Vektoren in einem R Vektorraum V, sowie α und β zwei reelle Zahlen. Zeigen Sie: Die Vektoren x = αv +βw und y = βv +αw sind genau dann linear abhängig, wenn α = β oder α = β. 4.7 (Frühjahr 999, Thema, Aufgabe ) Es sei {b, b 2, b 3, b 4 } eine Basis des Vektorraums V über dem Körper R. Weiter seien Vektoren a i V gegeben durch a = b + β b 3, a 2 = b 2 + β 2 b 4, a 3 = β 3 b + b 3, a 4 = β 4 b 2 + b 4, wobei β, β 2, β 3 und β 4 feste reelle Zahlen sind. Zeigen Sie, dass {a, a 2, a 3, a 4 } genau dann eine Basis von V ist, wenn 4.8 (Frühjahr 29, Thema 2, Aufgabe ) ( β β 3 ) ( β 2 β 4 ). Es sei B = {b, b 2, b 3, b 4 } eine Basis des R Vektorraums V. Ferner seien a = 2 b b 2, a 2 = b 2 + b 3 + b 4, a 3 = b 3 b 4 und U = span {a, a 2, a 3 } der von a, a 2, a 3 aufgespannte Unterraum. a) Zeigen Sie, dass A = {a, a 2, a 3 } eine Basis von U ist. b) Zeigen Sie, dass x = 6 b 5 b 2 4 b 4 in U liegt und bestimmen Sie die Koordinaten von x bezüglich A. c) Ergänzen Sie A zu einer Basis von V.

5 4.9 (Frühjahr 26, Thema 3, Aufgabe 2) Es seien v, v 2, v 3, v 4 vier linear unabhängige Vektoren in einem R Vektorraum. Weiter sei U der von u := v + v 2, u 2 := v 2 + v 3, u 3 := v 3 + v 4 aufgespannte Untervektorraum und W der von w := v v 2, w 2 := v 2 v 3 aufgespannte Untervektorraum. Bestimmen Sie die Dimensionen der Untervektorräume U, W, U W und geben Sie eine Basis von U W an. 4.2 (Frühjahr 22, Thema 3, Aufgabe ) Es seien a, b, c und d linear unabhängige Vektoren in einem reellen Vektorraum. Man bestimme die Dimension des von den Vektoren v = a + b + c + d, v 2 = b + c, v 3 = c + d, v 4 = a + b aufgespannten Unterraums. 4.2 (Herbst 2, Thema, Aufgabe ) V sei ein reeller Vektorraum und B = (v, v 2, v 3, v 4 ) eine Basis von V. Der Unterraum U V werde von den Vektoren u, u 2 und u 3 aufgespannt, der Unterraum W V von w und w 2, wobei u = v + v 2 v 3 v 4, u 2 = 2v 2 + 3v 3, u 3 = v + v 2 + 4v 4, w = 2v 2 + v 3 + v 4, w 2 = 2v + 3v 3 + 2v 4. a) Untersuchen Sie, ob x = v + v 2 + v 3 + v 4 in U liegt. b) Bestimmen Sie eine Basis von U W (Frühjahr 2, Thema, Aufgabe ) Seien a, b und c Vektoren eines R Vektorraums V. Zeigen Sie: a) Die Vektoren v = a + b + c, v 2 = a + 2 b + 3 c, v 3 = 2 a + 3 b + c und v 4 = 3 a + b + 2 c sind linear abhängig. b) Sind {a, b, c} eine Basis von V, so sind die Vektoren v, v 2, v 3 linear unabhängig (Herbst 27, Thema, Aufgabe 5) Es sei M eine reelle n n Matrix mit M 2 = M. Weiter sei U R n der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems M x = und S R n der von den Spalten der Matrix M erzeugte Untervektorraum. Zeigen Sie: a) Für alle v R n ist v M v U, b) R n = U S (direkte Summe).

6 4.24 (Frühjahr 23, Thema 3, Aufgabe ) a) Für n N mit n 3 sei die Matrix A = (a ij ) ij R n n mit, für i = j,, für i = j +, a ij = a, für i = und j = n,, sonst. mit einem Parameter a R gegeben; zu betrachten ist also... a.... A = R n n Man zeige det(a) = + ( ) n+ a etwa unter Verwendung des Laplaceschen Determinantenentwicklungssatzes. b) Sei V ein R Vektorraum mit dim(v ) = n 3 sowie b,..., b n eine Basis von V ; ferner werden die Vektoren v j = b j + b j+ für j {,..., n }, also v = b + b 2,..., v n = b n + b n, sowie v n = b n + b betrachtet. Man zeige etwa mit Hilfe von a), dass die Vektoren v,..., v n linear unabhängig sind, die Vektoren v,..., v n, v n genau dann eine Basis von V sind, wenn n ungerade ist (Herbst 24, Thema 2, Aufgabe ) Für n N mit n 2 seien die n Vektoren fest gewählt; es bezeichne s,..., s n R n U = s,..., s n R n den von s,..., s n erzeugten Untervektorraum von R n. Ferner betrachte man die lineare Abbildung f : R n R, f(x) = det (s,..., s n, x) ; die Linearität von f ergibt sich direkt aus den Eigenschaften der Determinante und muss hier nicht nachgeprüft werden. a) Man zeige U Kern(f). b) Man bestimme dim Kern(f) in Abhängigkeit von dim(u).