HÖHERE MATHEMATIK I FÜR MW UND CIW Übungsblatt 5

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1 PROF DR-ING RAINER CALLIES DR THOMAS STOLTE DIPL-TECH MATH KATHRIN RUF DIPL-TECH MATH KARIN TICHMANN WS / HÖHERE MATHEMATIK I FÜR MW UND CIW Übungsblatt Zentralübung Z Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems seien die (Orts-)Vektoren und b := im Raum gegeben a := (a) Berechnen Sie das Skalarprodukt on a und b deren Länge und den Winkel zwischen a und b (b) Berechnen Sie außerdem die Länge der orthogonalen Projektion on a auf die Gerade mit Richtungsektor b also den Anteil on a in Richtung b a α }{{} b Lösungsorschlag Z: (a) Skalarprodukt: a b = = + + () () = Länge: a = + + () = b = + + () = 9 = Winkel: a b cos < ( a b) = cos α = = a b = ( ) α = arccos (b) a b a b = a cos α = a = a b = ( a b) = a b b b Merke: Der Anteil eines Vektors a in Richtung eines Vektors b ist das Skalarprodukt on a mit dem Einheitsektor in Richtung b also a b b Z Es seien U und W Unterektorräume des reellen Vektorraums R n Sind dann U W und U W auch Unterektorräume on V? Begründen Sie Ihre Antwort Lösungsorschlag Z: U W ist ein Unterektorraum denn: (i) Es ist D := U W nicht leer: U und W also gilt auch D (ii) Es seien x y D Dann sind x y in U und W Weil U und W Unterektorräume sind ist auch x + y in U und W Folglich ist auch x + y D (iii) Es seien x D und λ R Dann ist x in U und W Weil U und W Unterektorräume sind ist auch λ x in U und W Folglich ist auch λ x D

2 U W ist im Allgemeinen kein Unterektorraum denn: N := ( ) ( ) ist kein Unterektorraum on R da ( ) + ( ) = ( ) N Z Folgt aus der linearen Unabhängigkeit on Elementen u und des Vektorraums R n auch jene on u und u +? Lösungsorschlag Z: Aus λ ( u ) + µ ( u + ) = für Elemente λ µ R folgt (λ + µ) u + (µ λ) = Und weil und u linear unabhängig sind ist eine solche Gleichheit nur im Fall λ + µ = = µ λ möglich Hieraus folgt λ = = µ Somit folgt nun die lineare Unabhängigkeit on u und u + Z4 Bestimmen Sie eine Basis des on der Menge X = erzeugten Unterektorraums U := span(x) des R 4 Lösungsorschlag Z4: X R 4 also ist U R 4 Es muss also gelten dim U dim R 4 = 4 also besitzt eine Basis on U höchstens ier linear unabhängige Vektoren die U aufspannen Anstelle on span(x) schreiben wir X Wir benennen die Vektoren der Reihe nach mit 6 Es gilt 6 = = 4 = 4 Dabei haben wir beim letzten Gleichheitszeichen zum dritten Vektor das -fache des zweiten Vektors addiert und den ierten Vektor mit multipliziert Man sieht nun dass die ersten ier Vektoren linear unabhängig sind Diese ier Vektoren erzeugen damit bereits den R 4 Die letzten beiden Vektoren sind somit überflüssig Gezeigt ist: 6 = 4 = R 4 = e e 4 Damit sind { 4 } oder { e e 4 } Beispiele für die gesuchte Basis Hausaufgaben -8 H Geben Sie zu folgenden Teilmengen des Vektorraums R an ob sie Unterektorräume sind und begründen Sie dies: (a) U := R + = (b) U := (c) U := R + = R = Lösungsorschlag H: Unterektorraum sein (a) Der Nullektor ist nicht Element on U somit kann U kein

3 (b) Weil der Nullektor offenbar in U liegt gilt U = Sind + = und + = und U so gelten also auch ( + ) + ( + ) = ( + ) + Damit ist aber + = + + U Und für jedes λ R gilt λ + λ = λ λ so daß also auch λ = λ U gilt λ Diese drei Eigenschaften besagen daß U ein Unterektorraum des R ist (c) Der Vektor ist offenbar ein Element aus U Aber das -fache () = liegt nicht in U so daß U kein Unterektorraum des R ist H Begründen Sie dass für jedes n N die Menge u U := u = R n u + + = einen Vektorraum bildet Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension on U Lösungsorschlag H: je zwei Elementen u Der Nullektor liegt in U so daß U nicht leer ist Und mit u u + u U ist auch deren Summe in U da u n + u n (u + u ) + + ( + ) = gilt Analog folgt auch dass jedes skalare Vielfache eines Elementes aus U wieder in U liegt Damit ist begründet daß U ein Unterektorraum des R n ist Als solcher ist U ein Vektorraum Die folgenden n Vektoren liegen in U: Wir bezeichnen diese Elemente der Reihe nach u bis und begründen dass sie eine Basis bilden Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit der Menge B = { u } Der Ansatz λ u + + λ n = für λ λ n R liefert ein Gleichungssystem das wir unmittelbar lösen können es gilt λ = = λ n = Folglich ist B linear unabhängig Nun begründen wir daß B ein Erzeugendensystem für U ist

4 Ist u = u u U ein beliebiger Vektor so gilt die Gleichheit u u = u + u + + u n denn = u Damit gilt U = { u } Also ist B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem on U und somit eine Basis on U Die Dimension ist somit n H Gegeben sei eine Orthonormalbasis B = ( b bn ) des Vektorraums R n Begründen Sie: Für die Komponenten λ λ n des Vektors R n gilt: λ i = bi R für i = n = λ b + + λ n bn = Bestimmen Sie die Komponentendarstellung für = bezüglich der Orthonormalbasis ( B = b := ( ) λ λ n B b := ( )) ( ) E sei die kanonische Basis E des R Lösungsorschlag H: Dass eine Darstellung der Art = λ b + + λ n bn mit λ λ n R existiert folgt aus der Tatsache dass B eine Basis ist Damit besitzt jeder Vektor eine eindeutige Darstellung als Linearkombination ( = λ b + + λ n bn ) mit den Koeffizienten λ λ n Da die Basisektoren in einer Orthonormalbasis per Definition paarweise senkrecht aufeinander stehen und normiert sind also Länge haben gilt weiter für alle i = n: bi = (λ b + + λ n bn ) bi = λ ( b bi ) + + λ i ( bi bi ) + + λ n ( bn bi ) = λ i bi = λ i sind die Komponenten des Vektors bezüglich der Basis ( B ( ) ( )) Bezüglich der geordneten Orthonormalbasis B = b := b := des R ( ) erhält man als Darstellung für = bezüglich B: E = ( b ) b + ( b ) b = b + b Damit erhalten wir: H4 Gegeben seien = 4 4 = ( ) B = 6 = 4 R Begründen Sie daß die Vektoren linear unabhängig sind

5 Ergänzen Sie die Menge { } mit Vektoren aus der kanonischen Basis E = { e e e e 4 e } zu einer Basis des R Lösungsorschlag H4: Wir werden für die Lösung dieser Aufgabe demnächst ein sehr einfaches Verfahren kennenlernen hier machen wir es mal etwas komplizierter Anstelle on span{ a b} schreibt man auch a b Wir tun das nun weil es leichter zu tippen und übersichtlicher ist Zu zeigen ist: Aus λ + λ + λ = folgt λ = λ = λ = d h λ λ + 6 λ = λ = λ = λ = 4 Der Trick: Offenbar gilt (beachte die erste dieser fünf Gleichungen d h die erste Zeile) und = sind linear unabhängig sind linear unabhängig Wir prüfen die Vektoren := := auf lineare Unabhängigkeit: λ λ + λ 6 6 = λ = λ + λ 6 6 = Es bleibt also nur noch die lineare Unabhängigkeit on und zu zeigen Das kann man unmittelbar sehen da kein Vielfaches on ist um die Systematik aber klar zu machen machen wir es wie orher Offenbar gilt (beachte die zweite der letzten fünf Gleichungen d h die zweite Zeile) und Wir prüfen die Vektoren sind linear unabhängig = 6 6 sind linear unabhängig und := 6 auf lineare Unabhängigkeit: Aus λ + λ = folgt sofort λ = = λ Und nun ist es auch nicht schwer weitere linear unabhängige Vektoren zu ergänzen man wähle e und e 4 7