2 Euklidische Vektorräume

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1 Sei V ein R Vektorraum. 2 Euklidische Vektorräume Definition: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung σ : V V R, (v, w) σ(v, w) mit folgenden Eigenschaften ( Axiome des Skalarprodukts) (SP1) σ ist bilinear, d.h. σ(λu + µv, w) = λσ(u, w) + µσ(v, w) und σ(u, λv + µw) = λσ(u, v) + µσ(u, w) für alle u, v, w V und alle λ, µ R. (SP2) σ ist symmetrisch, d.h. σ(v, w) = σ(w, v) für alle v, w V (SP3) σ ist positiv definit, d.h. σ(v, v) > für alle v V, v (Nach (SP1) ist σ(, v) = σ(, v) = σ(, v) =, also σ(, ) = ) Definition: Ist σ ein Skalarprodukt auf V, so heißt V zusammen mit σ ( das Paar (V, σ) ) ein euklidischer Vektorraum. Beispiele: a) Das kanonische Skalarprodukt σ(x, y) := x, y auf dem R n ist wegen (1.2) ein Skalarprodukt im obigen Sinn. Damit wird R n zu einem euklidischen Vektorraum. Im Fall n = 2 spricht man von der euklidischen Ebene. b) I = [a, b] R sei ein Intervall und V die Menge der stetigen Funktionen f : I R. Dann ist V ein R Vektorraum (!) und σ(f, g) := b a f(t)g(t)dt ist ein Skalarprodukt auf V. Dies ergibt sich auf den bekannten Integrationsregeln. c) Ist (V, σ) ein euklidischer Vektorraum, so ist auch jeder Untervektorraum W V zusammen mit der Einschränkung von σ auf W W ein euklidischer Vektorraum. 1

2 In Anlehnung an 1 definieren wir: Sei (V, σ) ein euklidischer Vektorraum und v V. Dann heißt die reelle Zahl v := σ(v, v) Betrag (oder Norm) von v (bzgl. σ) (2.1) Satz: Die Norm hat folgende Eigenschaften: (N1) λv = λ v für alle λ R, v V. (N2) v + w v + w für alle v, w V (Dreiecksungleichung). (N3) v > für alle v. Beweis: (N1) λ v = λ 2 σ(v, v) (N3) v (SP 1) = σ(λv, λv) = λv (SP 3) σ(v, v) > v = σ(v, v) > Zum Beweis von (N2) zeigen wir (2.2) Cauchy Schwarzsches Lemma σ(v, w) v w für alle v, w V Beweis: Für w = ist w = σ(w, w) = =. Ebenso ist σ(v, ) = σ(, v) = (siehe oben). Also sind beide Seiten gleich. Sei nun w. Dann ist σ(w, w) > nach (SP3), und σ(v σ(v,w) σ(v, σ(v,w) SP 1 = SP 2 σ(v,w) (SP 1) w, v w) = σ(v, v) w) σ( σ(v,w) σ(v,w) σ(v,w)2 σ(v, v) 2 σ(v, w) + w, v) + σ(v,w)2 2 σ(w, w) = σ(v,w)2 = σ(v, v) und somit σ(v, v) σ(v,w) 2. Beseitigung des Nenners ergibt σ(v, v)σ(w, w) σ(v, w)2. Wurzel ziehen ergibt die Behauptung. Beweis von (N2): v + w 2 = σ(v + w, v + w) = σ(v, v) + 2σ(v, w) + + σ(w, w) = v 2 + 2σ(v, w) + w 2 v v w + w 2 = = ( v + w ) 2 und wie eben folgt v + w v + w. Definition: Sei V ein euklidischer Vektorraum und v, w V. Dann nennt man die reelle Zahl d(v, w) := v w den Abstand zwischen v und w. 2

3 (2.3) Bemerkung: d ist eine Metrik i. S. der Analysis, d.h. es gilt (M1) d(v, w) = d(w, v) (Symmetrie) (M2) d(v, w) d(v, u) + d(u, w) (Dreiecksungleichung) (M3) d(v, w) > für v w (Separiertheit) Beweis: Wie man leicht sieht folgt (M i ) aus (N i ), i = 1, 2, 3 (Ü.A.) Orthogonalität und Winkel: Nach (2.2) gilt ( ) 1 σ(v, w) v w +1 für v, w aus V In der Analysis lernt man: cos : [, π] [ 1, +1] ist bijektiv und cos π 2 =. Also hat cos eine bijektive Umkehrfunktion arccos : [ 1, +1] [, π], d.h. cos(arccos x) = x. Wegen ( ) ist arccos σ(v,w) definiert, falls v, w und es gilt v w arccos() = π. 2 In Übereinstimmung mit 1 erklären wir: a) v und w sind orthogonal zueinander, wenn σ(v, w) =. Schreibe dafür v w. b) Seien v, w. Der (nicht orientierte) Winkel zwischen v und w ist die Zahl σ(v, w) (v, w) := arccos v w Ist also α = (v, w), so ist cos α = σ(v,w) v w. Insbesondere ist v w genau dann, wenn σ(v,w) v w (v, w) = arccos = π. 2 =, d.h. wenn (2.4) Eigenschaften des Winkels: Seien v, w aus V a) (v, w) = (w, v) (wg. SP2) b) (v, w) = π (v, w) (wg. arccos( x) = π arccos(x)) c) (v, w) = (v, λw) für λ > 3

4 d) v w genau dann, wenn (v, w) = (v, w) e) v w genau dann, wenn v + w 2 = v 2 + w 2 Skizze zu b), c) und d): v π α α w λw w Beweis: c) σ(v,w) v w SP 1 = σ(v,λw) v λ w d) v w (v, w) = π 2 (N1) = σ(v,λw) v λw, wenn λ > (s.o) b) (v, w) = π (v, w) = (v, w) e) v + w 2 = σ(v + w, v + w) = v 2 + 2σ(v, w) + w 2. Also ist v + w 2 = v 2 + w 2 genau dann wenn σ(v, w) =, d.h. v w. Sei (e 1,..., e n ) die kanonische Basis von R n. Offenbar gilt { 1, falls i = j e i, e j =, falls i j, d.h. e i e j für i j und e i = e i, e i = 1 für i = 1,..., n. Allgemein definiert man: Sei (V, σ) ein euklidischer Vektorraum der Dimension n <. Ein n tupel (v 1,..., v n ) von Vektoren aus V heißt Orthonormalbasis ( ONB ) von V, wenn gilt: (i) (v 1,..., v n ) ist eine Basis von V (ii) v i v j für i j und i, j {1,..., n} 4

5 (iii) v i = 1 für i = 1,..., n. Wir wollen nun zeigen, dass jeder endliche euklidische Vektorraum eine Orthonormalbasis besitzt. (2.) Bemerkung: Stehen Vektoren v 1,..., v m V \{} paarweise aufeinander senkrecht, so ist (v 1,..., v m ) linear unabhängig. (Somit ist Bedingung (i) in der Definition einer ONB überflüssig.) Beweis: ( Aus λ 1 v ). + λ m v m = folgt m = σ λ i v i, m λ j v j = m λ i λ j σ(v i, v j ) Vor. = i=1 j=1 i,j=1 = m λ 2 i σ(v i, v i ), also λ 1 = λ 2 =... = λ m =. i=1 (2.6) Orthonormalisierungssatz von E. Schmidt Jeder endliche euklidische Vektorraum V besitzt eine Orthonormalbasis. Allgemeiner gilt: Ist W V ein Untervektorraum, so läßt sich jede Orthonormalbasis von W zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen. Wir beweisen nur den ersten Teil. Sei dim V = n. Ist V = {}, d.h. n =, so ist eine ONB von V. Sei n 1 und (v 1,..., v n ) eine beliebige Basis von V. Wir wollen aus (v 1,..., v n ) eine ONB (w 1,..., w n ) konstruieren: Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren: 1) Setze w 1 = 1 v 1 v 1. Dann ist (w 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V mit w 1 = 1. Im Fall n = 1 ist man fertig. Sei nun n 2. 2) Setze u 2 = v 2 σ(w 1, v 2 ) w 1. Dann ist auch (w 1, u 2, v 3,..., v n ) eine Basis von V und σ(w 1, u 2 ) = σ(w 1, v 2 ) σ(w 1, v 2 ) σ(w 1, w 1 ) = Also ist w 1 u 2. Setze w 2 := 1 u 2 u 2. Dann ist w 1 w 2 und w 1 = w 2 = 1. Fazit: (w 1, w 2, v 3,..., v n ) Basis von V und w 1 w 2, w 1 = w 2 = 1. Fahre so fort, bis alle v j durch w j ersetzt sind, genauer: Rekursionsschritt: (n 3) Seien w 1,..., w k mit 2 k < n schon konstruiert, so dass (w 1,..., w k, v k+1,..., v n ) Basis von V und w i w j, w i = 1 für alle i j, i, j {1,..., k}. Setze u k+1 := v k+1 (σ(w 1, v k+1 ) w σ(w k, v k+1 ) w k ). Dann ist (w 1,..., w k, u k+1, v k+2,..., v n ) eine Basis von V.

6 Wegen w 1 w j, w i = 1 für alle i j aus {1,..., n} folgt σ(w i, u k+1 ) = σ(w i, v k+1 ) σ(w i, v k+1 )σ(w i, w i ) =, d.h. u k+1 w i, i = 1,..., k. Setze noch w k+1 := 1 u u k+1 k+1, also w k+1 = 1. Insgesamt ergibt sich: (w 1,..., w k+1, v k+2,..., v n ) ist eine Basis von V, wobei w i w j, w i = 1 für alle i, j = 1,..., k + 1, i j. Nach n Schritten sind keine v j mehr übrig und die ONB (w 1,..., w n ) ist konstruiert. 3 Beispiel: Aus der Basis (v 1, v 2, v 3 ) mit v 1 = 4, v 2 =, v 3 = 2 aus R 3 soll eine ONB konstruiert werden. v 1 = = und w 1 = v 1 = 1 v 1 4 w 1, v 2 = 1( ) = 2 = u 2 = = 9 mit u 2 = 22 = w 2 = u 2 = u 2 ; w 1, v 3 = 3 und w 2, v 3 = u 3 = = mit u 3 = w 3 = u 3 = u 3 1 Die gesuchte ONB ist also (w 1, w 2, w 3 ) = 3 4, 4 3, 1 Orthogonale Untervektorräume: Sei (V, σ) ein euklidischer Vektorraum, U und W Untervektorräume von V. Definition: 6

7 a) U und W stehen aufeinander senkrecht, wenn u w für alle u U, w W. Schreibe dann U W. b) Das orthogonale Komplement von W in V ist die Menge W := {v V v w für alle w W } (2.7) Bemerkung: W ist ein Untervektorraum von V und W W. Beweis: Offenbar ist W. Seien u, v W und λ R: σ(u + v, w) = σ(u, w) + σ(v, w) = für w W, also u + v W. σ(λu, w) = λσ(u, w) = für w W, also λu W. Die zweite Aussage ist klar. (2.8) Satz: Sei V endlich und W V ein Untervektorraum. Dann ist V = W W Insbesondere gilt dim W + dim W = dim V. Beweis: Wähle eine ONB (w 1,..., w m ) von W und ergänze gemäß (2.6) zu einer ONB (w 1,..., w n ) von V. Setze W := Rw m Rw n. Dann gilt wegen w i w m+j für i m und j 1 : W W und W + W = V. Erst recht ist dann W + W = V. Es ist noch zu zeigen, dass W W = {}: Ist w W W, so gilt w w, d.h. σ(w, w) =. Nach (SP3) muss dann w = sein. (2.9) Korollar: Ist dim V <, so gilt W = (W ) für alle Untervektorräume W V. Beweis: Für w W ist w u für alle u W, also w (W ). Also ist W (W ). Wende 2.8 an auf W und W. Es folgt dim W = dim V dim W und dim(w ) = dim V dim W. Es folgt dim W = dim(w ). Wegen W (W ) folgt W = (W ). Spezialfall: Sei W R n mit Basis (w 1,..., w m ). Wie bestimmt man eine Basis von W? a 11 w 1 =. a 1n,..., w m = a m1. a mn x 1. Für x =. 7 x n R n gilt

8 x W genau dann, wenn x w 1,..., x w m, d.h. w 1, x = a 11 x a 1n x n =. w m, x = a m1 x a mn x n = Fazit: W ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax =, wenn A die Matrix mit den Zeilen w1, t..., wm t ist. Eine Basis von W läßt sich somit m. H. des Gaußschen Algorithmus gewinnen. M.H. von (2.6) erhält man aus einer ONB von W eine ONB von W und V. 1 2 Rechenbeispiel: E = R 1 + R 4. dim E = 3 dim E = E ist die auf E senkrecht stehende Gerade. Berechnung von E : ( ) ( ) A =. Also erzeugt 1 die Gerade E Probe: 1 1 1, , = ( 2) = = ( 2) = 8