Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

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1 Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion von ( der Vektor. (i richtig ( auf ( (ii falsch Die Orthogonalprojektion von v = gegeben durch ( auf w = v, w w, w w = 5 45 ( bezüglich des euklidischen Skalarprodukts, ist ( = (. Seite

2 .b A M n n ist eine orthogonale Matrix genau dann, wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis von R n bezüglich des euklidischen Skalarprodukts bilden. (i richtig (ii falsch Eine Matrix a a a n A = ( a ( a ( a (n a a a n =... Mn n a n a n a nn ist genau dann orthogonal, wenn A A = I n gilt. Nun beachte man, dass der Eintrag von A A in der Zeile i und der Spalte j gleich dem euklidischen Skalarprodukt der Spalte i und der Spalte j ist: (A A ij = n (A ik (A kj = k= Somit ist die Orthogonalität von A äquivalent zu n a ki a kj = a (i, a (j. k= a (i, a (j = (I n ij = δ ij = {, i = j, i j für alle i, j n. Letzteres bedeutet genau, dass die Spalten von A eine Orthonormalbasis bezüglich des euklidischen Skalarprodukts bilden..c Falls sich die Graphen zweier Funktionen f und g senkrecht schneiden, so sind f und g orthogonal bezüglich des Skalarprodukts f, g = b a f(xg(x dx. (i richtig (ii falsch Die Aussage stimmt zum Beispiel für die Funktionen f(x = x und g(x = x nicht. Deren Graphen schneiden sich senkrecht im Ursprung, aber es gilt f, g = b a f(xg(x dx = also sind f und g nicht orthogonal bezüglich,. b a ( x dx = a b <, Seite

3 .d Ist f eine ungerade Funktion und g eine gerade Funktion, so sind f und g orthogonal bezüglich des Skalarprodukts f, g = f(xg(x dx. (i richtig (ii falsch Eine ungerade Funktion f erfüllt die Eigenschaft f( x = f(x und eine gerade Funktion g die Eigenschaft g( x = g(x. Somit liefert die Substitution y = x die folgende Beziehung für das Skalarprodukt f, g : f, g = = f(xg(x dx = ( f(yg(y dy = f( yg( y ( dy = f(yg(y dy = f, g. f( yg( y dy Daraus folgt f, g =, die ungerade Funktion f und die gerade Funktion g sind also orthogonal bezüglich,..e In einem Vektorraum mit Skalarprodukt können zwei Einheitsvektoren ein beliebig grosses Skalarprodukt haben. (i richtig (ii falsch Für zwei Einheitsvektoren v und w besagt die Schwarzsche Ungleichung (Satz 4.5 im Buch von Nipp/- Stoffer v, w v, v w, w = =. Daraus folgt v, w, das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren kann also nicht beliebig gross sein. Seite

4 .f In jedem Vektorraum mit Skalarprodukt können wir beliebig viele paarweise orthogonale Einheitsvektoren finden. (i richtig (ii falsch Man beachte, dass paarweise orthogonale Einheitsvektoren in einem Vektorraum mit Skalarprodukt automatisch linear unabhängig sind (Satz 4. im Buch von Nipp/Stoffer. Somit kann es in einem Vektorraum der Dimension n höchstens n paarweise orthogonale Einheitsvektoren geben. Aufgabe..a Gegeben seien die drei Vektoren a ( =, a ( =, a ( =. Konstruieren Sie mit Hilfe des Schmidt schen Orthogonalisierungsverfahrens aus a (, a (, a ( eine orthonormale Basis b (, b (, b ( bez. des Standardskalarprodukt in R. Lösung: Berechnung von b ( : b ( = a( a ( = =. Berechnung von b ( : c ( = a ( (a (, b ( b ( =, }{{} b ( = c( c ( = = / =. = Seite 4

5 Berechnung von b ( : c ( = a ( (a (, b ( b ( (a (, b ( b ( =, }{{} b ( = = /, }{{} c( c ( = =/ =.b Finden Sie die Koordinaten x, x, x des Vektors 5 v = 7. = bezüglich der in Teilaufgabe.a berechneten orthonormalen Basis b (, b (, b (, d. h. v = x b ( + x b ( + x b (. Lösung: Wir lösen mittels des Gaussverfahrens die Gleichung nach den Koordinaten x, x, x auf: v = x b ( + x b ( + x b ( / / / 5 / / / / / 7 (E / / / 5 / / 8 / / 7 (E / / / 5 / / 8 / 5 Durch Rückwärtseinsetzen bekommt man: x = 5 = 5 x = 8 5 = x = = Seite 5

6 Da b (, b (, b ( eine orthonormale Basis bilden, lassen sich die Koordinaten auch mit weniger Aufwand finden. Denn die Matrix B = (b (, b (, b ( ist orthogonal und damit ist die Lösung des Gleichungssystems x = B T v. Durch Einsetzen der Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation ergibt sich somit x i = b (it v für i =,,. Die i-te Koordinate entspricht also dem Skalarprodukt von v mit dem i-ten Basisvektor b (i. In der Tat gilt: x =(v, b ( = (5,, 7 x =(v, b ( = (5,, 7 x =(v, b ( = (5,, 7 = 5 + =, = =, = = 5..c Lösen Sie Teilaufgabe.a mit Hilfe der QR-Zerlegung in Matlab. Hinweis: In MATLAB liefert der Befehl [Q,R] = qr(a die QR Zerlegung der Matrix A. Lösung: Wir benutzen die QR-Zerlegung, um eine orthonormale Basis zu berechnen. Siehe dazu die Bemerkung auf Seite 5 im Buch. Wir bilden aus den Spaltenvektoren a (,..., a ( die Matrix A = ( a ( a ( a ( und wenden darauf die QR-Zerlegung an. Der folgende Matlab Code liefert das gewünschte Q: A = [- ; - ; ]; [Q,R] = qr(a % Resultat fuer Q: % % % Die Spalten der Matrix Q sind dann die gesuchten Vektoren. Aufgabe. Sei V = P der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad strikt kleiner als. Auf V ist durch ( p (x, p (x := p (x p (x dx ein Skalarprodukt gegeben. Bestimmen Sie eine orthonormale Basis von V, indem Sie das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf die Vektoren, x, x anwenden. Lösung: Gegeben ist das Skalarprodukt ( p (x, p (x := p (ξ p (ξ dξ. Eine Basis von P ist v =, Seite

7 v = x, v = x. Anwendung des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren ergibt: ũ = v = u = ũ ũ = ũ (ũ, ũ = = dx = ũ = v ( ( u, v u = x x dx = x u = ũ ũ = ũ (ũ, ũ = x (x dx ũ = v ( u, v u ( u, v u ( = x ( x dx = x ( x = x x +. = x = ( x x (x dx ( x u = ũ ũ = ũ (ũ, ũ = x x + ( x x + = x x + dx 8 = 5 ( x x + Damit haben wir die Orthonormalbasis: u =, u = (x, u = 5(x x +. Seite 7