Lösungen zu Blatt 13 der Übungen zur Vorlesung Numerik, LMU München, Wintersemester 2016/2017

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1 Lösungen zu Blatt 13 der Übungen zur Vorlesung Numerik, LMU München, Wintersemester 01/017 Peter Philip, Sabine Bögli. Januar Punkte) a) Betrachten Sie R mit der Maximumsnorm. Berechnen Sie die relative Konditionszahl der Abbildung im Punkt x, y), ). f : R R, fx, y) : x + y, xy ), b) Betrachten Sie R n mit einer beliebigen Norm und reelle n n) Matrizen A, B. Zeigen Sie, dass für die Konditionszahlen der Matrizen bezüglich der gewählten Norm gilt: κab) κa)κb). 1) c) Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem ) 1 Ax b, A :, b : 0 ), ) mit gestörter rechter Seite in der -Norm: Es sei b R eine Störung von b und x + x die Lösung des gestörten Systems, also Lösung: Ax b, Ax + x) b + b. 3) Finden Sie β R + so, dass b < β garantiert, dass x / x < 10. Zu a): Die Formel für die relative Konditionszahl bezüglich der Maximumsnorm lautet k rel x, y) Dfx, y) x, y) fx, y). 4) Es ist ) 1 1 Dfx, y) y, Df, ) xy ) 1 1. ) 0

2 Die Operatornorm Dfx, y) ist die Zeilensummennorm, also Einsetzen in 4) liefert mit f, ) 3, 0)): k rel, ) Df, ) Df, ) 4. ), ) f, ) 4 /0 9/ 4.. 7) Zu b): Die Normen im Folgenden seien die von der Norm auf R n erzeugten Matrixnormen. Dann gilt: κab) AB AB) A B B A κa)κb). 8) Zu c): Um die Formel κ A) max λa A) min λa A), 9) anwenden zu können, sind die Eigenwerte von A A zu berechnen. Es ist ) ) ) A A. 10) 1 0 Für das charakteristische Polynom erhält man κ A) χ A A detλ Id A A) λ 1)λ ) 1 λ λ ) mit den Nullstellen λ und λ 3. Daraus folgt dann 3 + ) ) 3 )3 + ) ). 1) Nach der Fehlerabschätzung für lineare Gleichungssysteme mit gestörter rechter Seite gilt für x / x : x κ A) b. 13) x b Ist also so ist x / x < Punkte) b < β : 10 b κ A) 3 + ), 14)

3 a) Angenommen, Sie interpolieren f : [, 0] R, fx) e x durch ein Polynom p auf n N Stützstellen. Geben Sie ein n an, das garantiert, dass f p < 10. b) Gegeben sei der Knotenvektor : x 0,..., x 3 ) : 4,, 0, ) sowie der Vektor mit Stützwerten y 0,..., y 3 ) : 0,,, 1). Berechnen Sie zu diesen Daten die kubische Splinefunktion mit natürlichen Randbedingungen, also das s S,3 mit s 4) s ) 0 sowie sx k ) y k für k 0,..., 3. Lösung: Zu a): Wegen der Interpolation auf n N Stützstellen, ist p P n. Laut der Formel für den Fehlerterm bei der Polynominterpolation gilt dann f p f n) n! ω n. 1) Wegen f n) e 0 1 und ω n b a) n a, b 0), folgt daraus f p n n!. 1) Da nicht nach dem kleinsten n gefragt war, kann man verschwenderisch n 0 setzen und abschätzen: f p < < < ) Zu b): Die Werte von s k : s x k ) ergeben sich für k 1, aus dem linearen Gleichungssystem As g, wobei ) 4h h A, h, 18) h 4h sowie Die Matrix A lautet Die Lösung von As g lautet g 1 y y 1 + y 0 ) g y 3 y + y 1 ) A ) 8 8, 19a) 1. 19b) 0) s 1, s. 1)

4 Für k 0, 1, gilt weiterhin auf [x k, x k+1 ], dass s p k mit und p k x) a k + b k x x k ) + c k x x k ) + d k x x k ) 3 ) a k y k für jedes k {0, 1, }, 3a) b k y k+1 y k h c k s k Einsetzen ergibt d k s k+1 s k h h s k+1 + s k) für jedes k {0, 1, }, 3b) für jedes k {0, 1, }, für jedes k {0, 1, }. 3c) 3d) a 0 0, a 1, a, 4a) b , b ) , b 1 3 3, 4b) c 0 0, c 1 4, c 4, 4c) d , d 1 1 ) + 1 1, d d) Insgesamt erhält man also 11 x + 4) x + 4 4)3 für 4 x, sx) 3 x + ) x + 4 ) + x + 1 )3 für x 0, x x 4 x3 für 0 x. ) Punkte) a) Berechnen Sie eine Näherung für mit der summierten Trapezregel I 1, x dx ) b) Es sei ρx) : x + 1. Finden Sie die Formel für die zugehörige Gaußsche Quadraturformel. Ordnung auf [, 1], indem Sie die Nullstellen des entsprechenden orthogonalen Polynoms und die sich daraus ergebenden Gewichte berechnen.

5 Lösung: Zu a): Setzt man f : [0, 3] R, fx) : x, sowie a : 0, b : 3, so lautet die summierte Trapezregel I 1,3 f) h fa) + fx 1 ) + fx ) ) ) + fb). 7) mit h b a)/3 1 und x 0 0, x 1 1, x, x 3 3. Also I 1,3 f) 1 fa) + fx 1 ) + fx ) ) ) + fb) ) + ) ) Zu b): Zunächst bestimmt man das. Orthogonalpolynom p durch Orthogonalisierung von x 0 x) 1, x 1 x) x, und x x) x bezüglich des durch p, q ρ 1 px)qx)1 + x ) dx 9) gegebenen Skalarproduktes, zum Beispiel durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens: Es ist p 0 x 0 1. Dann ergibt sich nacheinander: p 1 x) x 1 x) x 1, p 0 p 0 p 0x) x x 1 1, p 0 x x1 + x ) dx x, ) p 0 p 0 p x) x x) x, p 0 p 0 p 0x) x, p 1 p 1 p 1x) 1 x x 1 + x 1 ) dx x ) dx x3 1 + x ) dx p 1 x Die Nullstellen von p sind x. 31) λ 1 Daraus ergeben sich die Langrangeschen Basispolynome L 1 x) x λ 1 ) x + λ 1 λ x, λ. 3), L x) x λ 1 λ λ 1 1 x ) 33)

6 sowie die Gewichte σ 1 L 1, 1 ρ σ L, 1 ρ 1 1 x λ 1 + x ) dx λ + ) 4 λ 1 λ λ 1 λ 3 3, 34) x λ 1 λ λ x ) dx λ 1 λ λ 1 + ) ) Zusammengefasst ergibt sich damit die Gaußsche Quadraturformel. Ordnung ) I f) σ 1 fλ 1 ) + σ fλ ) 4 )) f + f 3 für jedes f : [, 1] R Punkte) Finden Sie eine QR-Zerlegung der Matrix 1 0 A : 1 3, 37) 1 0 d.h. eine orthogonale Matrix Q und eine Matrix R in Stufenform, so dass A QR gilt. Benutzen Sie dazu das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. Bemerkung: Da A vollen Rang hat, stellt Q, R sowohl eine QR- wie auch erweiterte QR-Zerlegung dar. Lösung: Seien durch x 0, x 1 und x die Spalten von A notiert, d.h. es ist 3) x 0 1,, 1) t, x 1 0, 1, ) t, x, 3, 0) t. 38) Nun wenden wir auf x 0, x 1 und x das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren an und erhalten: da x 1, v 0 0 ist. Da ist, ergibt sich x, v 0 v 0 v : x x, v 0 v 0 v 0 : x 0 1,, 1) t, v 1 : x 1 x 1, v 0 v v 0 0 x 1 0, 1, ) t, 39) und x, v 1 v v 0 x, v 1 v v 1 1, 3, 0) t 1,, 1)t 3 0, 1, )t, 3 3 3, + ) t 40) 11, 11 1, 11 ) t. 41)

7 Normieren liefert: q 0 v 0 v 0 v 0, q 1 v 1 v 1 v 1, q v v 11 v. 4) Und damit ist die Matrix Q, deren Spalten die Vektoren q 0, q 1 und q sind, von der Gestalt 1/ 0 / Q : q 0, q 1, q ) / 1/ /1 1/ / 1/. 43) Aus 39) und 41) ergibt sich q 0 v 0 v 0 x 0, q 1 v 1 v 1 x 1, q v v x v 0 3 v 1, 44) was äquivalent ist zu x 0 v 0 q 0 q 0, x 1 v 1 q 1 q 1, x q q q. 4) Nach Vorlesung ist die Matrix R von der Gestalt r 11 r 1 r 13 R : 0 r r 3. 4) 0 0 r 33 Dabei ist Vergleich mit 4) liefert dann: x 0 r 11 q 0, x 1 r 1 q 0 + r q 1, x r 13 q 0 + r 3 q 1 + r 33 q. 47) r 11, r 1 0, r, r 13, r 3 3, r ) Und so gilt für die durch 0 / R : 0 3/ / 49) definierte Matrix R in Stufenform und für die durch 43) gegebene orthogonale Matrix Q die Gleichung A QR.