Mathematische Grundlagen

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1 Mathematische Grundlagen 1 / 16

2 Vektorraum u R n, u = (u 1,..., u n ), u k R Euklidisches Skalarprodukt Euklidische Vektornorm (u, v) = u k v k u 2 = (u, u) = n u 2 k Vektoren u, v R n heißen orthogonal, falls (u, v) 2 = 0 Cauchy Schwarz Ungleichung (u, v) 2 u 2 v 2 2 / 16

3 Matrix Euklidische Matrixnorm Frobenius Norm A R n n, A = (A[i, j]) n i,j=1, A : R n R n A 2 = Au 2 sup, Au 2 A 2 u 2 0 u R n u 2 A F = (A[i, j]) 2, Au 2 A F u 2 i=1 j=1 Spektrale Konditionszahl einer invertierbaren Matrix κ 2 (A) = A 2 A 1 2 Matrix V R n n heißt orthogonal, falls V V = V V = I R n n 3 / 16

4 Für orthogonale Matrizen folgt und somit auch V u 2 2 = (V u, V u) = (V V u, u) = (u, u) = u 2 2 A 2 = Au 2 V Au 2 sup = sup = V A 2 0 u R n u 2 0 u R n u 2 Für die Frobenius Norm gilt entsprechend A 2 F = (A[i, j]) 2 = A[, j] 2 2 = V A[, j] 2 2 = V A 2 F i=1 j=1 j=1 j=1 Invarianz bezüglich orthogonaler Transformationen A 2 = V A 2 = AV 2 = V AV 2 A F = V A F = AV F = V AV F 4 / 16

5 Eigenwert, Eigenvektor Spektralradius ϱ(a) = Av k = λ k v k max λ k(a),...,n Eigenwerte λ k (A) einer symmetrischen Matrix A = A sind reell und die zugehörigen Eigenvektoren sind orthonormal: (v k, v j ) = i=1 v k i v j i = 0 für k j, (v k, v k ) = 1 Folgerung: Für einen beliebigen Vektor u R n gilt u = γ k v k, (u, v j ) = γ k (v k, v j ), γ k = (u, v k ) u 2 2 = (u, u) = γ k γ j (v k, v j ) = j=1 γ 2 k 5 / 16

6 Eine symmetrische Matrix A = A heißt positiv definit, falls alle ihre Eigenwerte positiv sind. Folgerung: Für einen beliebigen Vektor u R n gilt (Au, u) = (A = Rayleigh Quotient γ k v k, u) = γ k (Av k, u) = λ k (A)γk 2 min λ k(a),...,n γ k λ k (A)(v k, u) γk 2 = min λ k(a) (u, u),...,n min λ k(a),...,n (Au, u) (u, u) max,...,n λ k(a), u 2 > 0 6 / 16

7 A symmetrisch und positiv definit Av k = λ k v k, V = (v 1,..., v n ) R n n, V V = I Dann gilt AV = (Av 1,..., Av n ) = (λ 1 v 1,..., λ n v n ) = VD, D = diag(λ k (A)) Folgerung Folgerung V AV = D, A = VDV = λ k (A)v k v k, A 2 = VDV 2 = D 2 = max λ k(a) = λ max (A) = ϱ(a),...,n Folgerung A F = VDV F = D F = n [λ k (A)] 2 7 / 16

8 A symmetrisch und positiv definit 0 < λ n (A) λ n 1 (A)... λ 2 (A) λ 1 (A) Rang r Approximation A r von A r A r = λ k (A)v k v k, Fehler A A r = λ k (A)v k v k, k=r+1 A A r 2 = V (D D r )V 2 = D D r 2 = λ r+1 (A) A A r F = V (D D r )V F = D D r F = [λ k (A)] 2 k=r+1 8 / 16

9 Für B R m n ist A = B B R n n symmetrisch und wegen 0 Bu 2 2 = (Bu, Bu) = (B Bu, u) = (Au, u) = λ k (A)γk 2 mit folgt Av k = λ k v k, γ k = (u, v k ), λ k (A) 0 für k = 1,..., n. Faktorisierung V AV = V B BV = D = diag(λ k (A)) n 9 / 16

10 Wegen λ k (A) 0 existieren die Singulärwerte σ k (B) = λ k (B B) 0 für k = 1,..., n Insbesondere sei σ k (B) > 0 für k = 1,..., µ min{n, m} Diagonalmatrix Pseudoinverse Σ = diag(σ k (B)) min{n,m} R m n Σ + 1 = diag( σ 1 (B),..., 1, 0,..., 0) Rn m σ µ (B) mit Σ + Σ = ( Iµ ) R n n 10 / 16

11 Faktorisierung V B BV = D = Σ Σ Multiplikation mit Σ +, R m n Σ +, V B BV = Σ R m n Dann ist U BV = Σ, U = BV Σ + R m m Singulärwertzerlegung µ B = UΣV = σ k (B)u k v k, 11 / 16

12 Singulärwertzerlegung µ B = UΣV = σ k (B)u k v k, Rang r Approximation B r von B (r µ) B = Fehler r σ k (B)u k v k, B B r 2 = U(Σ Σ r )V 2 = Σ Σ r 2 = σ r+1 (B) µ B B r F = U(Σ Σ r )V F = Σ Σ r F = [σ k (B)] 2 k=r+1 12 / 16

13 Rand 1 Störung einer regulären Matrix Ansatz für inverse Matrix Einsetzen falls M = A + a b, A R n n, a, b R n M 1 = A 1 + αa 1 a b A 1 M 1 M = [A 1 + αa 1 a b A 1 ][A + a b ] = I + αa 1 a b + A 1 a b + αa 1 a b A 1 a b α αb A 1 a = 0, Sherman Morrison Formel = I + (α αb A 1 a)a 1 a b! = I M 1 = A 1 1 α = 1 + b A 1 a, b A 1 a b A 1 a A 1 a b A 1 Rang p Störung einer regulären Matrix: Sherman Morrison Woodbury Formel 13 / 16

14 Tschebyscheff Polynome T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T k+1 (x) = 2xT k (x) T k 1 (x) x 1 2 Alternative Darstellungen T k (x) = cos[k arccos x] für x [ 1, 1] T k (x) = 1 2 [(x + x 2 1) k + (x + x 2 1) k] 14 / 16

15 Skalierung für 0 < a < b: x = b + a 2t b a [ 1, +1] für t [a, b] Skaliertes Tschebyscheff Polynom MinMax Eigenschaft T k (t) = T k( b+a 2t b a ) T k ( b+a b a ), Tk (0) = 1 min max p k(t) = max T k (t) = p k (t),p k (0)=1 t [a,b] t [a,b] 1 T k ( b+a b a ) 15 / 16

16 Auswertung von Es ist T k (x) = 1 2 [(x + x 2 1) k + (x + x 2 1) k ], x = b + a b a q = x + (b x 2 1 = b + a ) 2 + a b b a 1 = [(b + a) + ] (b + a) b a 2 (b a) 2 = 1 b a [ b + a + 2 ] b + a ab = b a und somit T k ( b + a b a ) = 1 2 [qk + q k ] = q2k + 1 2q k 16 / 16