Modellordnungsreduktion für strukturmechanische FEM-Modelle von Werkzeugmaschinen
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- Ida Gehrig
- vor 8 Jahren
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1 Modellordnungsreduktion für strukturmechanische FEM-Modelle von Werkzeugmaschinen Professur Mathematik in Industrie und Technik Fakultät für Mathematik, Technische Universität Chemnitz Arbeitsbericht zum Projekt Integrierte Simulation des Systems Werkzeugmaschine - Antriebe - Zerspanprozess auf der Grundlage ordnungsreduzierter FEM-Strukturmodelle Fakultät für Mathematik, TU Chemnitz Mai 8
2 Übersicht
3 Lineare. mit { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t ) = x Σ :, y(t) = Cx(t) + Du(t) Zuständen x(t) R n, Eingängen u(t) R m, Ausgängen y(t) R p.
4 . Lineare.. Mẍ(t) + Gẋ(t) + Kx(t) = Bu(t), Zugehöriges System 1. mit z(t) = ż(t) = [ In K G y(t) = [ ] C p C v z(t) [ ] x(t). ẋ(t) y(t) = C p x(t) + C v ẋ(t). ] [ z(t) + B ] u(t), Beachte: u, y unverändert.
5 . Lineare.. Mẍ(t) + Gẋ(t) + Kx(t) = Bu(t), Zugehöriges Deskriptorsystem 1. mit z(t) = [ In M ] ż(t) = y(t) = C p x(t) + C v ẋ(t). [ In K G y(t) = [ C p C v ] z(t) [ ] x(t). ẋ(t) ] [ z(t) + B ] u(t), Beachte: u, y unverändert.
6 . Lineare. Mẍ(t) + Gẋ(t) + Kx(t) = Bu(t), y(t) = C p x(t) + C v ẋ(t).. Zugehöriges System 1. Falls M regulär: [ ż(t) = I n M 1 K M 1 G y(t) = [ C p C v ] z(t) mit z(t) = [ x(t) ẋ(t) ]. ] [ z(t) + M 1 B ] u(t), Beachte: u, y unverändert.
7 . Idea: Das System Σ, realisiert durch (A, B, C, D), ist balanciert, wenn für die Lösungen P, Q der Lyapunovgleichung AP + PA T + BB T =, A T Q + QA + C T C =, gilt: P = Q = diag(σ 1,..., σ n ) mit σ 1 σ... σ n >. {σ 1,..., σ n } sind die Hankel-Singulärwerte (HSVs) von Σ. Berechnung einer balancierten Realisierung erfolgt durch Zustandsraumtransformation T : (A, B, C, D) (TAT 1, TB, CT 1, D)»» A11 A 1 B1 =, A 1 A B reduziertes Modell: (Â, ˆB, Ĉ, ˆD) = (A 11, B 1, C 1, D)., ˆ C 1 C, D «
8 . Idea: Das System Σ, realisiert durch (A, B, C, D), ist balanciert, wenn für die Lösungen P, Q der Lyapunovgleichung AP + PA T + BB T =, A T Q + QA + C T C =, gilt: P = Q = diag(σ 1,..., σ n ) mit σ 1 σ... σ n >. {σ 1,..., σ n } sind die Hankel-Singulärwerte (HSVs) von Σ. Berechnung einer balancierten Realisierung erfolgt durch Zustandsraumtransformation T : (A, B, C, D) (TAT 1, TB, CT 1, D)»» A11 A 1 B1 =, A 1 A B reduziertes Modell: (Â, ˆB, Ĉ, ˆD) = (A 11, B 1, C 1, D)., ˆ C 1 C, D «
9 . Idea: Das System Σ, realisiert durch (A, B, C, D), ist balanciert, wenn für die Lösungen P, Q der Lyapunovgleichung AP + PA T + BB T =, A T Q + QA + C T C =, gilt: P = Q = diag(σ 1,..., σ n ) mit σ 1 σ... σ n >. {σ 1,..., σ n } sind die Hankel-Singulärwerte (HSVs) von Σ. Berechnung einer balancierten Realisierung erfolgt durch Zustandsraumtransformation T : (A, B, C, D) (TAT 1, TB, CT 1, D)»» A11 A 1 B1 =, A 1 A B reduziertes Modell: (Â, ˆB, Ĉ, ˆD) = (A 11, B 1, C 1, D)., ˆ C 1 C, D «
10 . Idea: Das System Σ, realisiert durch (A, B, C, D), ist balanciert, wenn für die Lösungen P, Q der Lyapunovgleichung AP + PA T + BB T =, A T Q + QA + C T C =, gilt: P = Q = diag(σ 1,..., σ n ) mit σ 1 σ... σ n >. {σ 1,..., σ n } sind die Hankel-Singulärwerte (HSVs) von Σ. Berechnung einer balancierten Realisierung erfolgt durch Zustandsraumtransformation T : (A, B, C, D) (TAT 1, TB, CT 1, D)»» A11 A 1 B1 =, A 1 A B reduziertes Modell: (Â, ˆB, Ĉ, ˆD) = (A 11, B 1, C 1, D)., ˆ C 1 C, D «
11 . Implementierung: SR Methode 1 Berechne (Cholesky)faktoren der Lösungen der Lyapunovgleichungen, Berechne Singulärwertzerlegung P = S T S, Q = R T R. SR T = [ U 1, U ] [ Σ1 Σ ] [ V T 1 V T ]. 3 Setze W = R T V 1 Σ 1/ 1, V = S T U 1 Σ 1/ 1. 4 Reduziertes Modell ist (W T AV, W T B, CV, D).
12 . Implementierung: SR Methode 1 Berechne (Cholesky)faktoren der Lösungen der Lyapunovgleichungen, Berechne Singulärwertzerlegung P = S T S, Q = R T R. SR T = [ U 1, U ] [ Σ1 Σ ] [ V T 1 V T ]. 3 Setze W = R T V 1 Σ 1/ 1, V = S T U 1 Σ 1/ 1. 4 Reduziertes Modell ist (W T AV, W T B, CV, D).
13 . Implementierung: SR Methode 1 Berechne (Cholesky)faktoren der Lösungen der Lyapunovgleichungen, Berechne Singulärwertzerlegung P = S T S, Q = R T R. SR T = [ U 1, U ] [ Σ1 Σ ] [ V T 1 V T ]. 3 Setze W = R T V 1 Σ 1/ 1, V = S T U 1 Σ 1/ 1. 4 Reduziertes Modell ist (W T AV, W T B, CV, D).
14 . Eigenschaften: Reduziertes Modell ist stabil mit HSVs σ 1,..., σ r. Adaptive Wahl von r durch berechenbare Fehlerabschätzung: y ŷ ( n ) u. k=r+1 σ k
15 . Eigenschaften: Reduziertes Modell ist stabil mit HSVs σ 1,..., σ r. Adaptive Wahl von r durch berechenbare Fehlerabschätzung: y ŷ ( n ) u. k=r+1 σ k
16 . Software: Parallele Implementierung: Komplexität O(n 3 /q) auf q-prozessor-rechner. Softwarebibliothek PLiCMR. (B./Quintana-Ortí/Quintana-Ortí seit 1999) Erweiterung auf. und Anpassung auf Chemnitzer Parallelrechner CHIC (14 dual core Knoten) erfolgte im Rahmen von WAZorFEM zunächst durch studentische Hilfskräfte, wurde fortgeführt durch Mitarbeiter, siehe Benner, P.; Döhler, M.; Pester, M.; Saak, J.: PLiCMR - Usage on CHiC, Chemnitz Scientific Computing Preprints CSC/8-1, 8.
17 . Software: Sparse Implementierung: Spezieller Löser für Lyapunovgleichungen (ADI+UMFPACK/MUMPS/SuperLU). Komplexität O(n(k + r )). Software: + Matlab Toolbox LyaPack (Penzl 1999), neue Version in Arbeit, Mitte 8. Erweiterung auf. erfolgt im Rahmen von WAZorFEM durch Mitarbeiter seit Januar 8. + C-Bibliothek SpaRed (Badía/B./Quintana-Ortí/Quintana-Ortí seit 3)
18 MEMS: Micro-Gyroskop. FEM Diskretisierung des strukturdynamischen Modells mit quadratischen Tetraeder Elementen (ANSYS-SOLID187) System. mit n = 17, 361, m = 1, p = 1. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. (n = 34, 7) mit SpaRed berechnet, r = 3. Source: The Oberwolfach Benchmark Collection Courtesy of D. Billger (Imego Institute, Göteborg), Saab Bofors Dynamics AB.
19 MEMS: Micro-Gyroskop. FEM Diskretisierung des strukturdynamischen Modells mit quadratischen Tetraeder Elementen (ANSYS-SOLID187) System. mit n = 17, 361, m = 1, p = 1. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. (n = 34, 7) mit SpaRed berechnet, r = 3. Frequenzantwort Source: The Oberwolfach Benchmark Collection Courtesy of D. Billger (Imego Institute, Göteborg), Saab Bofors Dynamics AB.
20 MEMS: Micro-Gyroskop. FEM Diskretisierung des strukturdynamischen Modells mit quadratischen Tetraeder Elementen (ANSYS-SOLID187) System. mit n = 17, 361, m = 1, p = 1. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. (n = 34, 7) mit SpaRed berechnet, r = 3. Frequenzantwort Hankel Singulärwerte Source: The Oberwolfach Benchmark Collection Courtesy of D. Billger (Imego Institute, Göteborg), Saab Bofors Dynamics AB.
21 . Modellproblem: Vorschubachse Geometrie Strukturmodell. FEM-Modellierung (FEM Strukturmodelle, Koppelelemente für Verbindung der Vorschubachse mit Kugelgewindetrieb und Linearführung) Mẍ(t) + Gẋ(t) + Kx(t) = Bu(t), mit n = 738, M singulär, o.b.d.a. M = ˆ M 1 y(t) = C px(t) + C v ẋ(t),, M1 R n f n f regulär. Hier: Darstellung von M erreichbar nur durch Permutationen!
22 . Modellproblem: Vorschubachse Geometrie Strukturmodell. FEM-Modellierung (FEM Strukturmodelle, Koppelelemente für Verbindung der Vorschubachse mit Kugelgewindetrieb und Linearführung) Mẍ(t) + Gẋ(t) + Kx(t) = Bu(t), mit n = 738, M singulär, o.b.d.a. M = ˆ M 1 y(t) = C px(t) + C v ẋ(t),, M1 R n f n f regulär. Hier: Darstellung von M erreichbar nur durch Permutationen!
23 . Modellproblem: Vorschubachse Geometrie Strukturmodell. FEM-Modellierung (FEM Strukturmodelle, Koppelelemente für Verbindung der Vorschubachse mit Kugelgewindetrieb und Linearführung) Mẍ(t) + Gẋ(t) + Kx(t) = Bu(t), mit n = 738, M singulär, o.b.d.a. M = ˆ M 1 y(t) = C px(t) + C v ẋ(t),, M1 R n f n f regulär. Hier: Darstellung von M erreichbar nur durch Permutationen!
24 .. Betrachte also differentiell-algebraische Gleichung (DAE) 1. (n := n n f ): 3 3 I nf ż 1 6 I n 7 6 ż 7 4 M ż 3 5 = ż I nf I n K 1 K 1 G 1 G 1 K1 T K G1 T G I nf I n K 1 K 1 αm 1 βk 1 βk 1 K1 T K βk1 T βk z 1 z z 3 z 4 bzw. im Falle von Rayleigh-Dämpfung (G = αm + βk): 3 3 I nf ż 1 6 I n 7 6 ż 7 4 M ż 3 5 = ż z 1 z z 3 z B 1 B u(t), 6 4 B 1 B u(t).
25 .. Betrachte also differentiell-algebraische Gleichung (DAE) 1. (n := n n f ): 3 3 I nf ż 1 6 I n 7 6 ż 7 4 M ż 3 5 = ż I nf I n K 1 K 1 G 1 G 1 K1 T K G1 T G I nf I n K 1 K 1 αm 1 βk 1 βk 1 K1 T K βk1 T βk z 1 z z 3 z 4 bzw. im Falle von Rayleigh-Dämpfung (G = αm + βk): 3 3 I nf ż 1 6 I n 7 6 ż 7 4 M ż 3 5 = ż z 1 z z 3 z B 1 B u(t), 6 4 B 1 B u(t).
26 Bestimmung der inhärenten ODE. Annahme: G (= βk bei Rayleigh-Dämpfung) regulär ( Index-1 DAE), letzte Blockzeile = z 4 = G 1 K1 T z 1 + K z + G1 T z 3 B u = 1 K 1 K1 T β z 1 + z + βk 1 K1 T z 3 K 1 B u Einsetzen =
27 Bestimmung der inhärenten ODE. Annahme: G (= βk bei Rayleigh-Dämpfung) regulär ( Index-1 DAE), letzte Blockzeile = z 4 = G 1 K1 T z 1 + K z + G1 T z 3 B u = 1 K 1 K1 T β z 1 + z + βk 1 K1 T z 3 K 1 B u Einsetzen = 3 4 In f 3 I n 5 4 ż1 ż 5 = ż 3 I nf 4 G 1 K1 T G 1 K G 1 G1 T K 1 + G 1 G 1 K1 T K G 1 G 1 K G 1 + G 1 G 1 G1 T + 4 G 1 B 5 u, B 1 G 1 G 1 B y = ˆ C p,1 C v, G 1 K T 1 C p, C v, G 1 K C v,1 C v, G 1 G T 1 +C v, G 1 B u z 1 z z 3 4 z 1 z z
28 Bestimmung der inhärenten ODE. Annahme: G (= βk bei Rayleigh-Dämpfung) regulär ( Index-1 DAE), letzte Blockzeile = z 4 = G 1 K1 T z 1 + K z + G1 T z 3 B u = 1 K 1 K1 T β z 1 + z + βk 1 K1 T z 3 K 1 B u Einsetzen = 3 4 In f 3 I n 5 4 ż1 ż 5 = ż 3 I nf 4 G 1 K1 T G 1 K G 1 G1 T K 1 + G 1 G 1 K1 T K G 1 G 1 K G 1 + G 1 G 1 G1 T + 4 G 1 B 5 u, B 1 G 1 G 1 B y = ˆ C p,1 C v, G 1 K T 1 C p, C v, G 1 K C v,1 C v, G 1 G T 1 +C v, G 1 B u anwendbar! z 1 z z 3 4 z 1 z z
29 Bestimmung der inhärenten ODE. Annahme: G (= βk bei Rayleigh-Dämpfung) regulär ( Index-1 DAE), letzte Blockzeile = z 4 = G 1 K1 T z 1 + K z + G1 T z 3 B u = 1 K 1 K1 T β z 1 + z + βk 1 K1 T z 3 K 1 B u Einsetzen = 4 In f 3 βk 5 4 ż1 ż M 1 ż 3 4 h y = 3 5 = K1 T K βk1 T (K 1 K 1 K 1 K1 T ) 3 αm 1 β(k 1 K 1 K 1 K1 T ) + 4 B 5 u, B 1 K 1 K 1 B C p,1 1 β C v,k 1 K T 1 C p, 1 β C v, C v,1 C v, K 1 K T β C v,k 1 B u anwendbar! I nf z 1 z z 3 i 4 z 1 z z
30 Vorschubachse n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = 974..
31 Vorschubachse n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = Besetzungsstruktur M Besetzungsstruktur K
32 Vorschubachse n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = 974. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. : r =.. Frequenzantwort: DAE vs. ODE Frequenzantwort: DAE vs. ROM
33 Vorschubachse n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = 974. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. : r =.. Frequenzantwort: DAE vs. ROM Absoluter Fehler
34 Vorschubachse n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = 974. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. : r =.. Frequenzantwort: DAE vs. ROM Relativer Fehler
35 Vorschubachse. n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = 974. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. : r =. Eigenwerte Eigenwerte bei (, )
36 Vorschubachse. n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = 974. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. : r =. Eigenwerte Eigenwerte bei (, )
37 Vorschubachse. n = 738, m = 1, p = 4. n f = 36 des Systems 1. : n = 974. Reduziertes Modell des zugehörigen Systems 1. : r =. BT(E, A γe, B, C, D) ROM (Ê, Â + γê, ˆB, Ĉ, ˆD). Eigenwerte Eigenwerte bei (, )
38 ROM im Regelkreis. Sollwert des Reglers: Lagesprung des Schlittens von 1mm ohne Überschwingen. Als Referenz dient modales Modell der n = 47; d.h., alle Schwingungsformen werden verwendet; Simulation des vollen Systems der n = 1576 nicht realisierbar in verwendeter Simulationssoftware. Rechnungen/Bilder von T. Bonin, iwb/tu München.
39 . M immer durch Permutation in gewünschte Form transformierbar? System ist instabil ein Eigenwert mit positivem Realteil. Modellierung? DAE immer Index 1? Spezielle Balancierungsvarianten für.. Bestimmung der inhärenten ODE bei großen, sparsen n?
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